CATEGORII DOCUMENTE |
Astronomie | Biofizica | Biologie | Botanica | Carti | Chimie | Copii |
Educatie civica | Fabule ghicitori | Fizica | Gramatica | Joc | Literatura romana | Logica |
Matematica | Poezii | Psihologie psihiatrie | Sociologie |
TRANSFORMARI LINIARE
1. Definitia transformArilor liniare. ProprietAtile lor generale
Indisolubil legatA de notiunea de spatiu vectorial este notiunea de transformare liniarA de spatii vectoriale .
Fie V si W douA spatii vectoriale peste campul K.
Definitia 1 Se numeste
transformare liniarA (operator liniar sau morfism) de spatii vectoriale o functie
cu proprietAtile
(1)
(2)
Exemple
1) Trecerea la conjugat in spatiul C al numerelor complexe cu scalari reali este o transformare liniarA cAci
si pentru .
2)
Aplicatia nulA definitA prin relatia
pentru orice
, este o transformare
liniarA. Intr-adevAr,
este indeplinitA,
este indeplinitA.
3) Aplicatia identicA este o transformare liniarA.
4) DacA X este un subspatiu
al lui V, aplicatia definitA prin relatia
, este o aplicatie liniarA. intr-adevAr,
este indeplinitA.
AceastA aplicatie se numeste injectia canonicA a lui X in V. TransformArile liniare ale unui spatiu vectorial V intr-un spatiu vectorial de dimensiune 1 meritA o atentie deosebitA intrucat spatiul V se poate identifica cu corpul K al scalarilor. Aceste aplicatii se numesc forme liniare s-au functionale liniare definite pe V .
Teorema 1 O aplicatie este o transformare liniarA dacA si numai dacA
(3)
Demonstratie. Presupunem cAeste o transformare liniarA. Aplicand (1) si (2) gAsim
Reciproc, dacA satisface conditia (2)
atunci punand
deducem
; punand apoi
avem
ceea ce aratA cA
aplicatia
este liniarA.
Teorema 2 DacA este o transformare liniarA atunci
1)
2). DacA U este un subspatiu
vectorial al lui V , atunci este un subspatiu
vectorial al lui W.
3) DacA vectorii sunt liniar dependenti atunci si vectorii
sunt liniar dependenti.
Demonstratie.
1. Pentru (2) devine
In baza definitiei subspatiului este suficient sA arAtAm cA pentru orice
si orice
(corpul scalarilor
Deoarece
existA
astfel incat
prin urmare
(U fiind subspatiu ). Avem deci :
Operatii cu transformAri liniare. Spatiul dual unui spatiu vectorial
Multimea tuturor transformArilor
liniare definite pe V si cu valori in W se noteazA cu Egalitatea transformArilor
liniare, adunarea si inmultirea cu scalari se definesc ca la functii: dacA
apartin lui
atunci
(4)
(5)
(6)
Teorema 3 In raport cu adunarea endomorfismelor si inmultirea lor cu scalari din K, L(V,W) este un spatiu vectorial peste campul K .
ConsecintA. Multimile L(V,V) si L(V,K) sunt spatii vectoriale peste K.
Denumiri.
a). O transformare liniarAse numeste endomorfism
al spatiului V
b). O transformare liniarA se numeste formA
liniarA.
Cu aceste denumiri, consecinta teoremei 3. poate fi enuntatA astfel:
a). Multimea L(V,V), a endomorfismelor lui V, formeazA un spatiu vectorial peste K.
b). Multimea L(V,K), a formelor liniare definite pe V, formeazA un spatiu vectorial peste K. Acest spatiu se numeste dualul spatiului V.
Compunerea a douA transformAri liniare, definitA ca la functii, este denumitA inmultire (produs) si are ca rezultat tot o transformare liniarA. Compunerea este asociativA dar nu este si comutativA.
Operatia de compunere poate fi combinatA cu operatiile algebrice de adunare si inmultire cu scalari si avem astfel proprietAtile:
1). DacA A,B,C sunt transformAri liniare pentru care au sens A +B, AC si BC, atunci
2). DacA A,B,C sunt transformAri liniare pentru care au sens A+B, CA si C B, atunci
Teorema 4. Endomorfismele unui spatiu vectorial V formeazA un inel cu unitate necomutativ.
Fie un endomorfism al lui
V. Puterile naturale ale lui
se definesc inductiv:
unde I este identitatea. Fie o transformare liniarA bijectivA.
Inversa este tot o
transformare liniarA. In plus dacA
sunt transformAri
liniare bijective atunci
este tot o transformare liniarA bijectivA si
Observatie.
Teoremele 3 si 4 vor fi demonstrate folosind izomorfismele multimilor evidentiate
in enunturile teoremelor, cu spatiul vectorial respectiv cu inelul
.
3. Nucleul si imaginea unei transformAri liniare.
Fie U si V spatii vectoriale
peste K iar o transformare liniarA.
Definitia 2
Se numeste nucleu al morfismului multimea.
(7)
Nucleul lui se noteazA adesea cu
Definitia 3
Se numeste imagine a morfismului multimea valorilor lui
Teorema 5
Fie morfismul
1). Nucleul lui este un subspatiu vectorial al lui U;
2). Imaginea lui U prin este un subspatiu
vectorial al lui V.
Demonstratie.
Fie
Avem deci si
. ArAtAm
Intr-adevAr,
deci ;
este subspatiu al lui U.
U este subspatiu
al lui U si , pe baza Teoremei 2, punctul 2, rezultA cA (deci
) este subspatiu al
spatiului V.
Teorema 6 DacA este o transformare
liniarA atunci sunt echivalente urmAtoarele afirmatii:
1) este injectivA;
2) este inversabilA;
3)
Demonstratie. Echivalenta dintre 1) si 2) este evidentA. De aceea este suficient sA demonstrAm echivalenta dintre 1) si 3).
Presupunem adevAratA relatia
. ConsiderAm
si arAtAm cA x=y.
Intr-adevAr, din
rezultA
deci
si cum
rezultA x-y=0.
Reciproc, dacA si
deci
si cum
este injectivA avem
deci
.
Teorema 7 Fie o transformare liniarA. DacA V este finit dimensional ,
atunci si spatiul
este finit dimensional
si
(8)
Dimensiunea nucleului lui se numeste defectul lui
iar dimensiunea
imaginii lui V prin
se numeste rangul lui
.
Demonstratie. ConsiderAm cA si
DacA p=0 adicA
rezultA
ceea ce, dupA teorema 4. este echivalent cu proprietatea cA
este inversabilA, deci cA
este un izomorfism . Ori douA spatii izomorfe au aceeasi
dimensiune :
Avem n = n+0 si deci relatia 3 este indeplinitA pentru p=0.
ConsiderAm cazul si baza
a lui
pe care o completAm panA la o bazA
a lui V.
Fie
(9)
Aplicand morfismul egalitatatii (9) si tinand
seama de relatiile:
obtinem
Deci este un sistem de generatori pentru spatiul
Dar vectorii
sunt liniar independenti. Intr-adevAr, presupunand cA ar
exista o relatie de dependentA liniarA nebanalA (cu cel putin un coeficient
nenul, de exemplu
).
ar rezulta
adicA vectorul ar apartine spatiului
Cum in
o bazA este
am avea atunci
cu adicA vectorii
ar fi linar dependenti.
Contradictie cu alegerea lor (multimea aceasta a fost consideratA bazA a lui
V).
Astfel este o bazA a lui
si deci
4. Reprezentarea analiticA a unei transformAri liniare. Matricea transformArii
Fie si
douA spatii vectoriale de dimensiuni finite peste campul K si o transformare
liniarA
. Fie
o bazA a lui V.
Deci transformarea liniarA
este datA dacA sunt
dati vectorii
Teorema 8. DacA este o bazA a lui
si
este o bazA a lui
, atunci existA o matrice si numai una
de tipul
astfel incat
Mai mult, dacA
are imaginea
(10)
atunci
(11)
Notand se obtine scrierea matricealA
(12)
Demonstratie. Pentru fiecare vector j fixat, existA
coordonatele sale
in raport cu baza
Deci
Matricea ale cArei coloane au drept elemente coordonatele vectorilor
in raport cu baza
este astfel unic determinatA. Fie
Tinand seama de
expresiile vectorilor avem
Cum pe de altA parte
gAsim
relatii care sunt tocmai cele din enunt.
A se numeste matricea
transformArii liniare in raport cu perechea de baze considerate. Vom scrie
Teorema 9.
Matricele A si B pAtratice de ordinul n cu elemente din K reprezintA aceeasi
transformare liniarA dacA si numai dacA existA o matrice nesingularA C astfel
incat
.Matricea C este matricea de trecere de la baza veche la baza
nouA.
Demonstratie. Fie si
douA baze a lui
iar C matricea de trecere de la prima bazA la a doua, adicA
(13)
Fie o transformare liniarA. NotAm cu
matricea atasatA lui
in prima bazA adicA
(14)
si cu matricea atasatA lui
in cea de-a doua bazA
(15)
Aplicand in (12) si tinand seama de (14) obtinem
Pornind de la (15) si
inlocuind pe cu expresiile lor din (13) obtinem
Cum intr-o bazA datA a unui
spatiu vectorial coordonatele unui vector sunt unice (aici in baza ) rezultA, din cele douA expresii ale lui
, cA:
sau matriceal, CB =AC de unde rezultA
MentionAm cA existA intrucat C este
presupusA nesingularA.
Exemple
1. Fie endomorfismul , unde
fatA de o pereche de
baze pe care le presupunem
ca fiind bazele canonice din
respectiv
. Endomorfismul
este dat dacA este datA
matricea sa, sugeratA prin notatia
.
Fie, de exemplu, in acest caz
endomorfismul
are matricea
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 2640
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved