TRANSFORMARI LINIARE

TRANSFORMARI LINIARE

1. Definitia transformArilor liniare. ProprietAtile lor generale

Indisolubil legatA de notiunea de spatiu vectorial este notiunea de transformare liniarA de spatii vectoriale .

Fie V si W douA spatii vectoriale peste campul K.

Definitia 1 Se numeste transformare liniarA (operator liniar sau morfism) de spatii vectoriale o functie cu proprietAtile

(1)

(2)

Exemple

1) Trecerea la conjugat in spatiul C al numerelor complexe cu scalari reali este o transformare liniarA cAci

si pentru .

2) Aplicatia nulA definitA prin relatia pentru orice , este o transformare liniarA. Intr-adevAr,

este indeplinitA,

este indeplinitA.

3) Aplicatia identicA este o transformare liniarA.

4) DacA X este un subspatiu al lui V, aplicatia definitA prin relatia , este o aplicatie liniarA. intr-adevAr, este indeplinitA.

AceastA aplicatie se numeste injectia canonicA a lui X in V. TransformArile liniare ale unui spatiu vectorial V intr-un spatiu vectorial de dimensiune 1 meritA o atentie deosebitA intrucat spatiul V se poate identifica cu corpul K al scalarilor. Aceste aplicatii se numesc forme liniare s-au functionale liniare definite pe V .

Teorema 1 O aplicatie este o transformare liniarA dacA si numai dacA

(3)

Demonstratie. Presupunem cAeste o transformare liniarA. Aplicand (1) si (2) gAsim

Reciproc, dacA satisface conditia (2) atunci punand deducem ; punand apoi avem ceea ce aratA cA aplicatia este liniarA.

Teorema 2 DacA este o transformare liniarA atunci

1)

2). DacA U este un subspatiu vectorial al lui V , atunci este un subspatiu vectorial al lui W.

3) DacA vectorii sunt liniar dependenti atunci si vectorii sunt liniar dependenti.

Demonstratie.

1. Pentru (2) devine

In baza definitiei subspatiului este suficient sA arAtAm cA pentru orice

si orice (corpul scalarilor Deoarece existA astfel incat prin urmare (U fiind subspatiu ). Avem deci :

Operatii cu transformAri liniare. Spatiul dual unui spatiu vectorial

Multimea tuturor transformArilor liniare definite pe V si cu valori in W se noteazA cu Egalitatea transformArilor liniare, adunarea si inmultirea cu scalari se definesc ca la functii: dacA apartin lui atunci

(4)

(5)

(6)

Teorema 3 In raport cu adunarea endomorfismelor si inmultirea lor cu scalari din K, L(V,W) este un spatiu vectorial peste campul K .

ConsecintA. Multimile L(V,V) si L(V,K) sunt spatii vectoriale peste K.

Denumiri.

a). O transformare liniarAse numeste endomorfism al spatiului V

b). O transformare liniarA se numeste formA liniarA.

Cu aceste denumiri, consecinta teoremei 3. poate fi enuntatA astfel:

a). Multimea L(V,V), a endomorfismelor lui V, formeazA un spatiu vectorial peste K.

b). Multimea L(V,K), a formelor liniare definite pe V, formeazA un spatiu vectorial peste K. Acest spatiu se numeste dualul spatiului V.

Compunerea a douA transformAri liniare, definitA ca la functii, este denumitA inmultire (produs) si are ca rezultat tot o transformare liniarA. Compunerea este asociativA dar nu este si comutativA.

Operatia de compunere poate fi combinatA cu operatiile algebrice de adunare si inmultire cu scalari si avem astfel proprietAtile:

1). DacA A,B,C sunt transformAri liniare pentru care au sens A +B, AC si BC, atunci

2). DacA A,B,C sunt transformAri liniare pentru care au sens A+B, CA si C B, atunci

Teorema 4. Endomorfismele unui spatiu vectorial V formeazA un inel cu unitate necomutativ.

Fie un endomorfism al lui V. Puterile naturale ale lui se definesc inductiv:

unde I este identitatea. Fie o transformare liniarA bijectivA.

Inversa este tot o transformare liniarA. In plus dacA sunt transformAri liniare bijective atunci este tot o transformare liniarA bijectivA si

Observatie. Teoremele 3 si 4 vor fi demonstrate folosind izomorfismele multimilor evidentiate in enunturile teoremelor, cu spatiul vectorial respectiv cu inelul.

3. Nucleul si imaginea unei transformAri liniare.

Fie U si V spatii vectoriale peste K iar o transformare liniarA.

Definitia 2 Se numeste nucleu al morfismului multimea.

(7)

Nucleul lui se noteazA adesea cu

Definitia 3 Se numeste imagine a morfismului multimea valorilor lui

Teorema 5 Fie morfismul

1). Nucleul lui este un subspatiu vectorial al lui U;

2). Imaginea lui U prin este un subspatiu vectorial al lui V.

Demonstratie.

Fie

Avem deci si . ArAtAm Intr-adevAr,

deci ; este subspatiu al lui U.

U este subspatiu al lui U si , pe baza Teoremei 2, punctul 2, rezultA cA (deci ) este subspatiu al spatiului V.

Teorema 6 DacA este o transformare liniarA atunci sunt echivalente urmAtoarele afirmatii:

1) este injectivA;

2) este inversabilA;

3)

Demonstratie. Echivalenta dintre 1) si 2) este evidentA. De aceea este suficient sA demonstrAm echivalenta dintre 1) si 3).

Presupunem adevAratA relatia . ConsiderAm si arAtAm cA x=y. Intr-adevAr, din rezultA deci si cum rezultA x-y=0.

Reciproc, dacA si deci si cum este injectivA avem deci .

Teorema 7 Fie o transformare liniarA. DacA V este finit dimensional , atunci si spatiul este finit dimensional si

(8)

Dimensiunea nucleului lui se numeste defectul lui iar dimensiunea imaginii lui V prin se numeste rangul lui.

Demonstratie. ConsiderAm cA si DacA p=0 adicArezultA ceea ce, dupA teorema 4. este echivalent cu proprietatea cA este inversabilA, deci cA este un izomorfism . Ori douA spatii izomorfe au aceeasi dimensiune :

Avem n = n+0 si deci relatia 3 este indeplinitA pentru p=0.

ConsiderAm cazul si baza a lui pe care o completAm panA la o bazA a lui V.

Fie

(9)

Aplicand morfismul egalitatatii (9) si tinand seama de relatiile: obtinem

Deci este un sistem de generatori pentru spatiul Dar vectorii sunt liniar independenti. Intr-adevAr, presupunand cA ar exista o relatie de dependentA liniarA nebanalA (cu cel putin un coeficient nenul, de exemplu ).

ar rezulta

adicA vectorul ar apartine spatiului Cum in o bazA este am avea atunci

cu adicA vectorii ar fi linar dependenti. Contradictie cu alegerea lor (multimea aceasta a fost consideratA bazA a lui V).

Astfel este o bazA a lui si deci

4. Reprezentarea analiticA a unei transformAri liniare. Matricea transformArii

Fie si douA spatii vectoriale de dimensiuni finite peste campul K si o transformare liniarA . Fie o bazA a lui V. Deci transformarea liniarA

este datA dacA sunt dati vectorii

Teorema 8. DacA este o bazA a lui si este o bazA a lui, atunci existA o matrice si numai una de tipul astfel incat Mai mult, dacA are imaginea

(10)

atunci

(11)

Notand se obtine scrierea matricealA

(12)

Demonstratie. Pentru fiecare vector j fixat, existA coordonatele sale in raport cu baza Deci

Matricea ale cArei coloane au drept elemente coordonatele vectorilor

in raport cu bazaeste astfel unic determinatA. Fie

Tinand seama de expresiile vectorilor avem

Cum pe de altA parte

gAsim

relatii care sunt tocmai cele din enunt.

A se numeste matricea transformArii liniare in raport cu perechea de baze considerate. Vom scrie

Teorema 9. Matricele A si B pAtratice de ordinul n cu elemente din K reprezintA aceeasi transformare liniarA dacA si numai dacA existA o matrice nesingularA C astfel incat .Matricea C este matricea de trecere de la baza veche la baza nouA.

Demonstratie. Fie si douA baze a lui iar C matricea de trecere de la prima bazA la a doua, adicA

(13)

Fie o transformare liniarA. NotAm cu matricea atasatA lui in prima bazA adicA

(14)

si cu matricea atasatA lui in cea de-a doua bazA

(15)

Aplicand in (12) si tinand seama de (14) obtinem

Pornind de la (15) si inlocuind pe cu expresiile lor din (13) obtinem

Cum intr-o bazA datA a unui spatiu vectorial coordonatele unui vector sunt unice (aici in baza ) rezultA, din cele douA expresii ale lui , cA:

sau matriceal, CB =AC de unde rezultA

MentionAm cA existA intrucat C este presupusA nesingularA.

Exemple

1. Fie endomorfismul , unde

fatA de o pereche de baze pe care le presupunem ca fiind bazele canonice din respectiv . Endomorfismul este dat dacA este datA matricea sa, sugeratA prin notatia .

Fie, de exemplu, in acest caz endomorfismul are matricea