| CATEGORII DOCUMENTE |
| Astronomie | Biofizica | Biologie | Botanica | Carti | Chimie | Copii |
| Educatie civica | Fabule ghicitori | Fizica | Gramatica | Joc | Literatura romana | Logica |
| Matematica | Poezii | Psihologie psihiatrie | Sociologie |
Fie data ecuatia f(x) = 0 (1)
Vom considera cazul, cand functia este continua pe [a,b] si f(a)*f(b) < 0. Suplimentar vom considera ca pe [a,b] semnul derivatei 1 a functiei este constant, deci avem doar o singura solutie.
Pentru determinarea solutiei ecuatiei (1) vom detecta mijlocul
segmentului [a,b], x = (a+b)/2, si vom calcula valoarea functiei in acest punct. Daca f(x) = 0, atunci x este solutia ecuatiei. In caz contrar cercetam segmentele
[a, x] si [x, b].
Pentru aproximarea urmatoare vom selecta acel segment, pentru care valoarea functiei in extremitati are semne opuse. Daca sign(f(a)) = sign(f(x atunci vom continua cercetarea pe segmentul [a1, b1], unde a1 x, b1 b . In caz contrar extremitatile vor fi a1 a, b1 x Noul segment [a1, b1] iarasi se divizeaza, apoi se repeta cercetarea semnelor valorilor functiei in extremitati si in mijlocul segmentului. Procedura se repeta pana cand nu se obtine solutia exacta sau (in majoritatea absoluta a cazurilor!) devierea solutiei aproximative de la cea exacta nu devine suficient de mica.
In procesul de constructie a segmentelor succesive obtinem consecutivitatea segmentelor
[a,b], [a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], [an, bn]
Pentru fiecare din ele are loc relatia f(ai)*f(bi) < 0 , i=1,,n (2)
Deoarece lungimea fiecarui segment urmator este egala cu din lungimea celui precedent putem exprima lungimea oricarui segment prin cea a segmentului initial:
bi - ai = ( )i * (b - a) (3)
Din constructie si proprietatile functiei f(x), rezulta ca sirul extremitatilor stangi a, a1, a2, , an , este monoton crescator, marginit superior, iar sirul extremitatilor drepte b, b1, b2, , bn , este monoton descrescator, marginit inferior. De aici rezulta convergenta ambelor siruri si existenta limitei pentru fiecare din ele.
Trecand la limita in egalitatea (3) obtinem:
Trecand la limita in inegalitatea (2) din
continuitatea f(x) primim ( f(x 0. Prin urmare f(x deci x e
solutia ecuatiei (1).
Deoarece x e un punct din segmentul [an, bn] rezulta
x - an 1/2n(b - a)
In cazul cand semnul derivatei intai alterneaza pe segmentul [a, b] , adica radacinile ecuatiei nu sunt separate, metoda permite determinarea doar a unei solutii.
Algoritmizarea metodei.
Datorita simplitatii sale metoda este usor de realizat in forma algoritmica:
0. Ecuatia se aduce la forma y=f(x) (pentru o prezentare mai comoda in forma de functie in interiorul programului)
Se introduc valorile a, b - extremitatile segmentului si e - exactitatea cu care trebuie obtinuta solutia
Se calculeaza c=(a+b)/2, f(a), f(b), f(c).
Daca sign( f(a)) = sign( f(c)),
atunci vom considera ca a trece
in c. In caz contrar
(sign(
f(b) ) = sign( f(c) )) b va primi valoarea lui c.
Pentru noile valori a si b repetam pasii 2 -3 atat timp cat (b - a) e
Afisam in calitate de solutie mijlocul ultimului segment [a,b].
Metoda secantelor
Fie data ecuatia f(x) = 0
Pentru utilizarea metodei secantelor vom cere indeplinirea acelorasi conditii asupra functiei f(x) ca si pentru metoda precedenta
Ca si la metoda precedenta in calitate de solutie vom cauta un punct interior al intervalului, dar de aceasta data el nu va fi mijlocul segmentului, ci punctul intersectiei dreptei ce trece prin punctele (a, f(a)) si (b,f(b)) cu axa 0X.
Ideea generala a metodei este urmatoarea: prin punctele (a, f(a)) si (b,f(b)) se duce o dreapta. Se determina punctul c in care ea intersecteaza axa 0X. Apoi se determina semnul f(c). Extremitatea in care semnul functiei coincide cu semnul f(c), trece in c. Procesul se repeta, pana nu obtinem o apropiere suficienta de solutia exacta. Aceasta interpretare a metodei o face sa fie tot atat de lenta ca si metoda bisectiei.
Daca insa suplimentar, vom cere existenta si semnul constant al derivatei de ordin 2 pentru functia f(x) pe tot segmentul [a,b]. ( pe segmentul dat functia sa fie sau concava sau convexa.), putem aplica o variatie mai puternica a acestei metode:
Ecuatia dreptei ce trece prin 2 puncte date este determinata de relatia:
In cazul intersectiei cu axa X y=0, deci putem calcula pozitia punctului c pe axa X:
Pentru a realiza calculul solutiei vom crea sirul conform regulei:
La pasii urmatori valorile elementelor sirului se vor forma, tinand cont de urmatoarele situatii:
a) daca functia este convexa (f''(x) > 0 ) (secanta este plasata mai sus de graficul functiei) atunci extremitatea segmentului initial, in care valoarea functiei este pozitiva ramane nemiscata (fixa), iar cealalta extremitate trece de fiecare data in punctul nou calculat.
b) daca functia este concava (f''(x) < 0 ) (secanta este plasata mai jos de graficul functiei) atunci extremitatea segmentului initial, in care valoarea functiei este negativa ramane nemiscata (fixa), iar cealalta extremitate trece de fiecare data in punctul nou calculat.
Cu alte cuvinte, metoda secantelor are un punct fix, celalalt se modifica de fiecare data. Observam, ca fixa este extremitatea, pentru care are loc relatia:
Pentru a calcula cealalta extremitate a noului segment, trebuie sa tinem cont de urmatoarele cazuri posibile:
1) f'(x) > 0 f''(x) > 0 2) f'(x) > 0 f''(x) < 0 3) f'(x) < 0 f''(x) > 0 4) f'(x) < 0 f''(x) < 0
Vom cerceta cazul 1 - functia este convexa, crescatoare. (Celelalte cazuri se cerceteaza la fel)
Deoarece a doua derivata e mai mare ca 0, graficul functiei este inferior coardei. Pornind din extremitatea in care functia este pozitiva vom obtine intersectia cu axa 0x intr-un punct interior al [a,b] (mai intai se intersecteaza axa, apoi se ajunge la extremitatea opusa.) Repetand procedura vom obtine un sir de puncte interioare, care tind spre solutia exacta. Daca insa vom fixa extremitatea negativa, coarda generata la pasul 2 va intersecta mai intai graficul, apoi axa 0X, ceea ce poate genera parasirea segmentului [a,b].
Deoarece functia este crescatoare, vom fixa extremitatea B, luand in calitate de x0 extremitatea A.
Conform formulei pentru secanta
dupa care a x1
Repetand procedura, obtinem:
Vom demonstra acum, ca sirul de
aproximari a= x0 , x1 , ., xn . converge catre solutia ecuatiei f(x) = 0
Din formula recurenta
rezulta ca xn+1 > xn n (numitorul fractiei este pozitiv deoarece functia este crescatoare, numaratorul - negativ, deoarece xn, este punctul de intersectie a coardei cu 0X, iar graficul functiei in acest punct este inferior coardei, deci + negativ, (b - xn) - pozitiv, deci tot produsul este negativ, cu - in fata, trece in +).
Asa dar avem sirul x0 < x1 < . <xn .< x < b
Sirul este crescator si marginit, deci exista limita lui x . Trecand la limita in formula recurenta, obtinem
sau, dupa inlocuire
de unde rezulta 0 = f(x (numitorul
fractiei e diferit de 0, al doilea factor - la fel). Deci x este solutia ecuatiei initiale. x x ceea ce si trebuia de demonstrat.
Celelalte trei cazuri se demonstreaza analogic.
Determinam, care va fi extremitatea fixa a segmentului. Pentru aceasta calculam punctul de intersectie (x1) a coardei ce trece prin f(a)) si (b,f(b)) cu axa 0X. Drept extremitate fixa vom lua acel punct pentru care semnul functiei difera de semnul f(x1).
Extremitatea "flotanta" primeste valoarea calculata x1.
Calculam urmatoarea aproximatie conform formulei:
Repetam pasul 3 pana nu obtinem solutia cu exactitatea ceruta.
Estimarea erorii.
Faptul ca sirul aproximarilor succesive prin metoda coardelor converge catre solutia exacta implica urmatoarea concluzie: cu cat mai multe iteratii ale metodei vor fi realizate, cu atat mai bine va fi aproximata solutia. Totusi, am putea determina o formula, care permite estimarea exacta a erorii de calcul, si, prin urmare, exactitatea solutiei obtinute.
Vom considera, ca prima derivata a functiei f(x) este continua pe segmentul [a,b].
Fie atunci m1 si M1 doua numere pozitive, pentru care are loc relatia
0 < m1 | f'(x) | M1 < +
Pentru simplitate, vom cerceta cazul, cand aproximarile succesive se fac dupa formula (2) (cazul, cand e folosita formula (1) se demonstreaza analogic). Asa dar,
(exprimam xn prin xn-1)
(Tinand cont de faptul ca 0 = f(x il adaugam la numaratorul fractiei, apoi estimam diferenta intre solutia exacta si cea aproximativa.
Pentru a deduce formula finala vom folosi urmatoarea teorema (se demonstreaza in cursul de analiza matematica)
Teorema Lagrange Fie f:[a,b] R, continua si derivabila pe [a,b] . Atunci cI(a, b) astfel incat:
f(b) -f(a) = (b -a) f'(c)
n fara demonstratie n
Vom aplica formula din teorema aparte pentru partea stanga si partea dreapta a ultimei egalitati.
Inlocuind, obtinem:
Deci daca e necesar sa obtinem
solutia cu exactitate data e, vom repeta aproximarile pana la obtinerea
inegalitatii
Aici xn si xn+1 sunt doua aproximatii succesive iar M1 si m1 corespunzator marginea superioara si inferioara a f'(x) pe [a, b]. Metoda tangentelor
Pentru a determina extremitatea din care pornim, trebuie sa tinem cont de urmatoarele cazuri posibile:
1) f'(x) > 0 f''(x) > 0 2) f'(x) > 0 f''(x) < 0
3) f'(x) < 0 f''(x) > 0 4) f'(x) < 0 f''(x) < 0
Este adevarata afirmatia: Selectarea in calitate de punct initial al metodei tangentelor a extremitatii, pentru care se indeplineste relatia f(x)*f''(x) > 0 permite determinarea solutiei cu orice grad de exactitate e
Vom cerceta cazul 1 - functia este convexa, crescatoare. (Celelalte cazuri se cerceteaza la fel)
Deoarece a doua derivata e mai mare ca 0, graficul functiei este superior coardei. Pornind din extremitatea in care functia este pozitiva vom obtine intersectia cu axa 0x intr-un punct interior al [a,b] Vom considera acest punct noua extremitate a intervalului. Repetand procedura vom obtine un sir de puncte interioare, care tind spre solutia exacta. Daca insa vom fixa extremitatea negativa, tangenta generata poate parasi segmentul [a,b].
Deoarece functia este crescatoare, vom fixa extremitatea B
Daca f(a)*f(b )<0, f'(x) si f''(x) si isi pastreaza semnul pe [a, b], atunci, pornind de lo o aproximare initiala x0 I[a, b] (f(x0)f''(x0) > 0) solutia unica a ecuatiei x pe [a, b] poate fi calculata cu orice grad de exactitate e
Demonstratie: fie f(a) < 0, f(b) >0, f'(x) > 0 f''(x) > 0. consideram x0 = b, f(x0)>0. Pentru demonstrare vom folosi metoda inductiei matematice, verificand ipoteza, cum ca toate valorile sirului xn sunt > x n.
n = 0. x0 = b, f(x0)>0. evident.
Fie, pentru un careva n ipoteza este adevarata, xn > x Consideram x = xn + (x - xn), apoi aplicam formula Tailor (pentru descompunerea functiei in suma de polinoame) si obtinem:
0 = f(x) = f(xn) + f'(xn) (x - xn) +1/2 f''(cn) (x - xn)2 unde x <cn < xn.
Deoarece f''(x) > 0, rezulta f(xn) + f'(xn) (x - xn) < 0 sau f'(xn) (x - xn) < - f(xn) T x - xn) < - f(xn)/ f'(xn)
T x < xn - f(xn)/ f'(xn) = xn+1.
Din formula recurenta rezulta direct ca x0 > x1 > . >xn .> x limita xn.
Trecand la limita obtinem
x x - f(x )/ f'(x de unde f(x deci x x ceea ce si trebuia de demonstrat.
Calculam semnul derivatei 2 pe segmentul [a,b].
Fixam punctul initial x0 conform formulei: f(x0)*f''(x0)>0
Calculam urmatoarea aproximatie
conform formulei:
Repetam pasul 2 pana nu obtinem solutia cu exactitatea ceruta.
Estimarea erorii.
Faptul ca sirul aproximarilor succesive prin metoda tangentelor converge catre solutia exacta implica urmatoarea concluzie: cu cat mai multe iteratii ale metodei vor fi realizate, cu atat mai bine va fi aproximata solutia. Totusi, am putea determina o formula, care permite estimarea exacta a erorii de calcul, si, prin urmare, exactitatea solutiei obtinute.
Vom considera, ca prima derivata a functiei f(x) este continua pe segmentul [a,b].
Fie atunci m1 si M1 doua numere pozitive, pentru care are loc relatia
0 < m1 | f'(x) | M1 < +
(exprimam xn prin xn-1, tinand cont de faptul ca 0 = f(x il adaugam in partea stanga a egalitatii, apoi estimam diferenta intre solutia exacta si cea aproximativa.
Pentru a deduce formula finala vom folosi
Teorema Lagrange Fie f:[a,b] R, continua si derivabila pe [a,b] . Atunci cI(a, b) astfel incat:
f(b) -f(a) = (b -a) f'(c)
n fara demonstratie n
Inlocuind, obtinem:
Deci daca e necesar sa obtinem solutia cu exactitate data e, vom repeta aproximarile pana la obtinerea inegalitatii
Aici xn si xn+1 sunt doua aproximatii succesive iar M1 si m1 corespunzator marginea superioara si inferioara a f'(x) pe [a, b].
|
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 3572
Importanta: 
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved
