Siruri si serii de elemente din ().

Aplicatii la caracterizarea unor puncte, multimi si functii remarcabile

I

I.1) Sa se studieze natura urmatoarelor siruri si, atunci cand este cazul, sa se determine limitele corespunzatoare:

a)      , unde , si ;

b)      , unde si ;

c)      , unde , si ;

d)      , unde si ;

e)      , , si ;

f)       , , ;

g)      , unde si ;

h)      , unde si ;

i)        , unde , si ;

j)       , unde , cu , si , , cu .

k)      , unde , ,

si , .

I.2) Sa se determine multimea derivata a fiecareia din multimile:

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)      .

II

II.1) Folosind diverse criterii de convergenta, sa se stabileasca natura seriilor de mai jos. Sa se calculeze apoi, ori de cate ori este posibil, sumele in cauza.

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)      ;

e)      ;

f)       ;

g)      ;

h)      ;

i)        ;

j)       .

II.2) Sa se studieze, in raport cu parametrii implicati, natura urmatoarelor serii:

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)      ;

e)      .

II.3) a) Fie o serie din R, cu . Sa se arate ca seria are

aceeasi natura cu a celei date.

b)      Sa se demonstreze ca daca seria , cu , este convergenta, atunci la fel este si seria .

c)       Sa se arate ca daca seriile de numere reale si sunt convergente, atunci seria este de asemenea convergenta.

III

III.1) Sa se determine , astfel incat, in , punctul sa apartina multimii

.

III.2) Fie un sir de elemente din , unde d este o metrica pe . De

asemenea, fie, . Sa se arate ca este un sir Cauchy

in , daca si numai daca sirul diametrelor multimilor , adica , este

convergent si are limita egala cu 0.

III.3) Fie A o submultime nevida, compacta a spatiului metric si diametrul lui A,

in raport cu distanta d. Sa se arate ca exista si din A, astfel incat .

III.4) Fie d o metrica pe si . Definim .

Sa se arate ca un punct z este din daca si numai daca .

III.5) Fie si d o metrica pe . Sa se demonstreze ca ,

, unde este functia-distanta definita in exercitiul precedent.

III.6) Fie d o distanta pe , in raport cu care este un spatiu metric complet.

De asemenea , fie o functie , astfel incat , pentru orice , exista

si are loc relatia :

.

Sa se arate ca daca seria este convergenta, atunci f are un punct fix unic.

F. Iacob