DERIVAREA NUMERICA A FUNTIILOR

DERIVAREA NUMERICA A FUNTIILOR

(acest curs nu se cere la examen)

1. INTRODUCERE

Pentru derivarea sau integrarea functiilor date sub forma analitica se folosesc diverse metode, cunoscute din manualele de analiza matematica. Sunt insa functii ale caror expresii sunt deosebit de complicate, ceea ce face dificila obtinerea derivatei sau primitivei. De asemenea, din diferite experimente rezulta valorile numerice ale unor functii a caror derivate sau primitive trebuie calculate. De exemplu, la diferite momente de timp s-a masurat viteza unui mobil si dorim sa cunoastem acceleratia acestuia sau distanta parcursa intre doua puncte date. Deoarece viteza este obtinuta numeric, trebuie sa cautam formule de derivare si integrare numerica pentru rezolvarea problemei.

2. DERIVAREA NUMERICA A FUNCTIILOR

Expresiile diferitelor formule de derivare numerica se obtin prin mai multe metode, cum ar fi: folosirea definitiei drivatei intr-un punct, utilizarea dezvoltarii in serie Taylor sau folosirea polinoamelor de aproximare.

2.1. Formule de derivare care folosesc definitia derivatei

Daca se foloseste definitia derivatei intr-un punct, expresia

, (2.1)

reprezinta derivata functiei in punctul , cu conditia ca limita functiei sa existe. In acest sens, raportul

,

constituie o aproximatie a derivatei functiei in punctul , adica:

, (2.2)

unde h este distanta dintre doua noduri.

In figura 2.1, se observa ca panta curbei in punctul a fost inlocuita cu secanta dusa prin punctele A si B.

Desigur, raportul

,

reprezinta o alta aproximatie a derivatei functiei in punctul , adica:

, (2.3)

unde s-a considerat pozitiv.

Fig. 2.1. Reprezentarea geometrica a aproximatiilor derivatei unei functii

De asemenea, din figura 2.1 se observa ca odata cu micsorarea lui pantele celor doua drepte si , care trec prin punctele A si B, respectiv C si A, sunt mai apropiate de tangenta la curba in punctul de abscisa . Totusi, h nu poate fi prea mic, deoarece am ajunge la scaderea a doua numere aproximativ egale, ceea ce ar conduce la o eroare relativa foarte mare.

O aproximatie mai buna a derivatei functiei in punctul se obtine daca se considera dreapta care trece prin punctele C si B, dreapta a carei panta este mai apropiata de tangenta la curba in punctul . In acest sens, derivata functiei , in punctul de abscisa , poate fi aproximata de raportul

,

care reprezinta media celor doua fractii (2.2) si (2.3), adica:

. (2.4)

2.2. Formule de derivare care folosesc dezvoltarea in serie Taylor

Dezvoltarea in serie Taylor a functiei , in punctul de abscisa x, situat in jurul lui , este:

. (2.5)

Daca se fac inlocuirile: si , se obtin relatiile:

; (2.6)

. (2.7)

Prin scaderea parte cu parte a celor doua relatii (2.6) si (2.7), se obtine:

, (2.8)

iar prin adunare:

. (2.9)

Relatiile (2.8) si (2.9) reprezinta formulele pentru calculul aproximativ al derivatelor de ordinul unu si doi ale functiei , cand pe curba se considera trei puncte (, , ) (v.figura 2.2).

Fig. 2.2. Valorile functiei in nodurile considerate

Daca functia este data numeric, adica pentru nodurile , , se cunosc ordonatele , , relatiile de calcul aproximativ al derivatelor de ordinul unu si doi sunt:

, (2.10)

respectiv

, (2.11)

unde .

Daca functia este neperiodica, pentru determinarea derivatelor de ordinul unu sau doi in punctul de abscisa , se foloseste interpolarea liniara sau patratica. Daca insa functia este periodica, pentru determinarea derivatelor de ordinul unu si doi in punctul se folosesc relatiile:

; . (2.12)

Daca se considera 5 puncte de pe graficul functiei , atunci pentru derivatele de ordinul unu si doi avem urmatoarele relatii:

, (2.13)

.

In cazul functiilor periodice, pentru calculul derivatelor de ordinul unu si doi in nodurile , si , se folosesc relatiile:

;

;

;

;

;

.

In practica, de cele mai multe ori functia este cunoscuta numeric. De aceea, inainte de a se trece la derivarea propriu-zisa, se recomanda o analiza mai atenta a datelor numerice (obtinute din experimentari sau dintr-un grafic), eliminarea punctelor care nu se incadreaza intr-o anumita distributie sau efectuarea unei uniformizari a datelor prin media a trei valori consecutive. De asemenea, pentru obtinerea derivatei de ordinul doi, se recomanda folosirea formulelor corespunzatoare derivatei de ordinul unu, aplicate la valorile derivatei de ordinul unu, dupa ce acestea au fost uniformizate.

Eroarea de trunchiere a primei derivate a functiei , in punctul de abscisa , este de forma:

. (2.15)

Folosind dezvoltarile in serie Taylor ale functiei , in jurul punctului , cu retinerea a patru termeni:

;

,

unde: , , rezulta:

. (2.16)

Daca este continua, exista astfel incat

. (2.17)

Folosind relatia (2.17), eroarea de trunchiere (2.16) capata forma:

. (2.18)

Din relatia (2.18), se observa ca eroarea de trunchiere devine cu atat mai mica, cu cat pasul de derivare h este mai mic. Totusi, prin reducerea exagerata a pasului de derivare se poate ajunge la scaderea a doua numere aproximativ egale, ceea ce conduce la anularea prin scadere, adica la o eroare relativa foarte mare.