Functii caracteristice unidimensionale

Fie un -camp de probabilitate, o variabila aleatoare a carei functie de repartitie este F.

Definitie. Se numeste functie caracteristica a variabilei aleatoare aplicatia definita de relatia

Daca este de tip discret si ia valorile cu probabilitatile atunci (6.1.) devine:

Daca este de tip continuu cu densitatea de repartitie ƒ, atunci (6.1.) devine:

Exemplul 6.1. Daca este o variabila aleatoare Poisson avem , variabila este de tip discret, deci

Vom da in continuare cateva proprietati ale functiei caracteristice:

(P1)          

(P2)           Pentru orice , .

(P3)           , pentru orice .

(P4)           este uniform continua pe .

(P5)           Daca , atunci .

(P6)           Functia caracteristica a unei sume finite de variabile aleatoare independente este egala cu produsul functiilor caracteristice corespunzatoare termenilor

Teorema 2.1. Fie o variabila aleatoare pentru care exista atunci functia caracteristica este de n ori derivabila si

Exemple 6.2 Sa se determine functia caracteristica si momentele unei variabile aleatoare normala .

R. Avem: .

Cu schimbarea de variabila obtinem:

Avem:

deci .