Serii de timp cu doua componente

Serii de timp cu doua componente

Evolutia dotarii populatiei cu aparate radio la 1000 de locuitori in perioada 1980-1994 este prezentata in tabelul de mai jos:

Tabelul nr. 1

Se cere:

a)      Sa se justifice utilizarea unui model aditiv cu doua componente pentru descrierea evolutiei fenomenului analizat;

b)      Sa se estimeze componentele modelului formulat la punctul precedent si sa se verifice semnificatia acestuia;

c)      Sa se estimeze valorile fenomenului pentru urmatorii 2 ani.

Rezolvare

a)      In cazul seriilor cronologice sau a seriilor de timp, specificarea modelului porneste de la reprezentarea grafica a datelor, respectiv construirea cronogramei.

Deoarece, in perioada analizata, evolutia fenomenului prezinta o crestere permanenta, fara oscilatii semnificative, iar curba punctelor empirice prezinta o forma ce poate fi aproximata cu o dreapta, modelul ce poate fi utilizat pentru aproximarea fenomenului este de forma:

unde:

=valorile inregistrate de fenomen in perioada analizata (linia 2 din tabelul nr. 1);

=componenta trend ce poate fi descrisa cu ajutorul unei functii liniare:

=variabila reziduala.

b)          Modelul construit la punctul a) fiind , rezolvarea acestuia presupune estimarea celor doua componente:

estimatia componentei trend;

estimatia variabilei reziduale.

Estimarea componentei trend se realizeaza cu ajutorul metodei celor mai mici patrate, care consta in minimizarea functiei:

Conditia de minim a acestei functii rezulta din:

In urma efectuarii calculelor a rezultat urmatorul sistem de ecuatii:

Pe baza estimatorilor se vor calcula valorile estimate ale componentei trend:

Valorile estimate ale variabilei reziduale vor rezulta din urmatoarea relatie:

In vederea testarii semnificatiei parametrilor si a modelului se vor calcula:

dispersia variatiei reziduale:

unde:

T =numarul de termeni ai seriei; T =15;

k =numarul variabilelor explicative; k =1;

abaterile medii patratice ale celor doi estimatori si :

Deoarece numarul de termeni al seriei este mai mic de 30, testarea estimatorilor se va face cu ajutorul testului "t" - Student. Din tabela distributiei Student, pentru un prag de semnificatie si in functie de numarul gradelor de libertate v=n-k-1=13, se preia valoarea .

Deci, pentru un prag de semnificatie de 5%, ambii estimatori sunt semnificativ diferiti de zero.

valoarea raportului de corelatie:

Testarea semnificatiei raportului de corelatie se realizeaza cu ajutorul testului Fisher-Snedecor:

Din tabela distributiei Fisher-Snedecor, pentru un prag de semnificatie si in functie de numarul gradelor de libertate =k=1 si =T-k-1=13, se preia valoarea .

Deoarece , valoarea raportului de corelatie este semnificativ diferita de zero, pentru un prag de semnificatie .

In vederea verificarii independentei valorilor variabilei reziduale se va utiliza testul Durbin-Watson, care consta in calcularea valorii:

Din tabela distributiei Durbin-Watson, pentru un prag de semnificatie , in functie de numarul observatiilor T=15 si de numarul variabilelor exogene k=1, se preiau valorile (pentru cazul n=15): =1,08; =1,36.

Deoarece     d=1,4628 > =1,36 si

d=1,4628 < 4-=2,64,

se poate accepta ipoteza de independenta a valorilor variabilei reziduale.

Verificarea verosimilitatii modelului se realizeaza cu ajutorul metodei analizei variatiei, calculele fiind prezentate in tabelul urmator:

Deoarece , modelul este acceptat, cu un prag de semnificatie de .

Din ecuatia analizei variatiei:

rezulta ca modelul explica 99.212% din variatia totala a numarului de aparate de radio la 1000 de locuitori.

In final, modelul econometric devine:

; R =

(1,08809666) (0,11967467) d =1,4628

c)      Deoarece modelul a fost acceptat ca semnificativ, acesta poate fi folosit la estimarea prognozei fenomenului analizat. Astfel, nivelul previzional al fenomenului va fi:

in 1995:

=337.520952 + 4.8457*16 = 415.0521

Abaterea standard a nivelului previzionat al fenomenului va fi egala cu:

Intervalul de incredere al prognozei fenomenului, estimat cu un prag de semnificatie , pentru care valoarea lui , preluata din tabela distributiei Student, este de , se calculeaza cu ajutorul relatiei:

in 1996:

337.520952 + 4.8457*17 = 419.8978

In concluzie, in urma efectuarii calculelor, se poate aprecia ca in 1995 nivelul fenomenului va fi cuprins in intervalul [409,0973; 421], iar in 1996 in intervalul [407.8935; 431.90201], probabilitatea de realizare a acestor prognoze fiind de 95%.