Sisteme de ecuatii lineare

Sisteme de ecuatii lineare

Fie sistemul:

Un sistem de numerese numeste solutie a sistemului daca inlocuind necunoscutele toate ecuatiile sunt verificate.

Un sistem care nu are solutii se numeste incompatibil.

Un sistem care are cel putin o solutie se numeste compatibil. Un sistem compatibil se numeste determinat daca are o singura solutie si nedeterminat daca are mai multe solutii.

Notam cu A matricea sistemului si cu matricea extinsa a sistemului:

respectiv

I. REZOLVAREA SISTEMELOR:

Teorema: Daca este un determinant de ordin nenul, iar care se obtine prin adaugarea unei linii si a unei coloane cu d este nenul, atunci ultima coloana (respectiv linie) a lui este o combinatie liniara de celelalte coloane (linii).

Consecinte:

1. Un determinant este nul daca si numai daca una dintre coloanele sau liniile sale este o combinatie liniara de celelalte coloane sau linii.
2. Rangul r al unei matrice A este egal cu numarul maxim de coloane sau linii care se pot alege dintre coloanele respectiv liniile matricei A, astfel incat nici una dintre ele sa nu fie combinatie liniara a celorlalte.

Algoritm de calculare a rangului:

Fiind data o matrice nenula, aceasta are un minor de ordin nenul. Acesta se bordeaza cu elementele corespunzatoare unei linii sau coloane ramase si calculam minorul. Daca am gasit un minor de ordin k nenul, il bordam cu elementele corespunzatoare liniilor si coloanelor, obtinand astfel toti minorii de ordin care il contin.

Daca toti acesti minori sunt nuli, rangul matricei este de ordin k.

Regula lui Cramer:

Fie d, determinantul matricei A. Daca d este diferit de zero, atunci un sistem cu n ecuatii si n necunoscute are solutie unica, anume: unde se obtin inlocuind in A coloana cu coloana termenilor liberi.

Teorema Kronecker-Capelli:

Fie un sistem cu n ecuatii si n necunoscute, A matricea sistemului si matricea extinsa a sistemului. Un sistem cu n necunoscute si m ecuatii este compatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului A este egal cu rangul .

rang A = rang

Teorema lui Rouche:

Un sistem de ecuatii este compatibil daca si numai daca toti minorii caracteristici sunt nuli.

II. ALGORITM PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE:

Fie sistemul

pasul

Scriem matricea sistemului, A si matricea extinsa a sistemului,

pasul

Calculam. Daca (numarul de necunoscute), atunci sistemul este compatibil determinat (solutie unica), sistem Cramer (). Calculam unde =d

Daca (numarul de necunoscute), atunci trecem la pasul 3.

pasul 3:

Calculam Daca atunci sistemul este incompatibil.

Daca (regula Kronecker-Capelli), atunci sistemul este compatibil si trecem la pasul 4.

pasul 4:

Conform teoremei lui Rouche: toti determinantii caracteristici atunci sistemul este compatibil nedeterminat. Alegem necunoscutele principale si ecuatiile principale in functie de rangul lui A si

Alegem necunoscutele secundare si ecuatiile secundare; necunoscutele secundare se trec in dreapta cu termenii liberi iar ecuatiile secundare se neglijeaza. Trecem la pasul 5.

pasul 5:

Rezolvam sistemul in necunoscute principale si ecuatii principale.

Scriem solutia sistemului in functie de necunoscuta secundara.

III. DISCUTIA SISTEMELOR CU ECUATII LINIARE

pasul 1:

Scriem matricea sistemului A si calculam

pasul 2:

Daca atunci numarul de necunoscute si sistemul este compatibil determinat (solutie unica), sistem Cramer.

pasul 3:

Daca atunci numarul de necunoscute. Introducem parametrul in sistem si calculam

pasul 4:

Daca atunci sistemul este incompatibil.

Daca sisistemul este compatibil nedeterminat.

pasul 5:

Alegem necunoscutele principale si ecuatiile principale in functie de rangul lui A respectiv de rangul lui . Alegem necunoscutele secundare si ecuatiile secundare.

pasul 6:

Rezolvam sistemul si scriem solutiile.

IV. SISTEME DE ECUATII LINIARE OMOGENE

Un sistem este omogen, daca termenul liber al fiecarei ecuatii este nul. sistem omogen admite solutia nula:

Conditia necesara si suficienta ca un sistem sa admita si alte solutii este ca rangul lui A sa fie mai mic decat numarul de necunoscute.

Pentru rezolvare procedam ca la sisteme liniare cu coeficienti liberi diferiti de 0, urmand pasii de la 1 la 5.