INTEGRALE DUBLE

INTEGRALE DUBLE

1. Definirea integraleleor duble

Proprietati ale integralelor duble

Integrale duble improprii

Caz I    Domeniu plan nemarginit

Un domeniu plan este nemarginit daca de exemplu el contine puncte exterioare oricarui cerc cu centru in originea axelor de coordonate.

Def.1: Fie D o multime nemarginita in plan. Spunem ca D admite o exhaustiune daca exista un sir (D_n)_nIN de multimi plane, compacte care au arie si indeplinesc conditiile:

Sirul este ascendent fata de operatia de incluziune, adica: (D_n)Ì(D_n+1) si =D.

Orice multime compacta din D este continuta intr-un D_n.

Obs.1 Daca D este un domeniu plan nemarginit atunci o exhaustiune a lui D se poate realiza astfel: a). se alege un sir (r_n)_nIN strict crescator cu r_n= +¥ , b). se alege sirul de multimi: C_n= si D_n=D K_n . (dupa cum este reprezentat schematic in Fig.1).

Fig.1

Obs.2 Daca D este un domeniu plan nemarginit atunci o exhaustiune a lui D se poate realiza astfel: a). se alege un sir de patrate cu centru in origine si de latura egala cu 2_n cu (_n)_nIN , strict crescator cu _n= +¥ b). se alege sirul de multimi: P_n=£_n} si D_n=D P_n . (dupa cum este reprezentat schematic in Fig.2).

Fig.2

Def.2: Fie f o functie reala definita pe un domeniu nemarginit DÌR si integrabila pe orice subdomeniu compact, care are arie, al lui D. Spunem ca f este integrabila impropriu pe D, daca exista un numar I, astfel incat pentru orice exhaustiune (D_n) a lui D sa avem:

(x, y)dxdy=I si vom scrie: (x, y)dxdy=(x, y)dxdy.

Despre integrala din membrul stang spunem ca este convergenta pe D.

T1: Daca f:D R f³0 iar D este nemarginit si f este integrabila pe orice subdomeniu compact, care are arie atunci f este integrabila impropriu pe D daca si numai daca exista o exhaustiune (D_n) a lui D astfel incat limita: (x, y)dxdy=I , exista si este finita. Are loc egalitatea: I=(x, y)dxdy.

T2: Pentru ca f sa fie integrabila pe un domeniu D nemarginit este necesar si suficient ca este ca functia |f| sa fie integrabila impropriu pe D.

T3 Fie f si g doua functii reale definite pe un acelasi domeniu nemarginit DÌR integrabile pe orice subdomeniu compact, cu arie, a lui D. Daca:1. g este integrabila impropriu pe D, 2. |f(x, y)|£|g(x, y)| pentru orice (x, y)ID, atunci f este integrabila impropriu pe D.

T4: Fie f, g:R R functii absolut integrabile pe R, atunci produsul f(x)g(y) definit prin (x, y) f(x)g(y) este integrabil si are loc egalitatea:(x)g(y)dxdy=(x)dx(y)dy.

Caz II f este nemarginita

Fie functia reala f(x, y) definita intr-un domeniu D din R² cu exceptia unui punct M_o(x_o. y_o) din D si in orice vecinatate V a lui M_o f este nemarginita(deci f(x, y)= ¥). Presupunem ca D si V au arie si ca f este integrabila pe D V. Punctul M_o(x_o. y_o) poate fi si pe frontiera lui D. Se considera, de asemeni, un sir de vecinatati descendente ale lui M_o (V_n)_nIN, adica V_n+1ÌV_n si V_n=, deci sirul este descrescator si punctul limita este M_o.

Def.3 Spunem ca f este integrabila pe D daca exista un numar I, astfel incat pentru orice sir de vecinatati (V_n) ale lui M_o de forma celor prezentate sa avem:

(x, y)dxdy=I si vom scrie: (x, y)dxdy=(x, y)dxdy

Despre integrala din membrul stang spunem ca este convergenta pe D.

Exemple (Integrale duble improprii)

Ex.1 Fie f(x, y)=xy, f:R² R, deci D=R² si sa luam:

D_n=, atunci: ydxdy=qcosqsinqdr=0, si deci:ydxdy=0.

Pe de alta parte daca luam: D¢_n=, atunci:

ydxdy=dxdy=, si cum ydxdy=¥ rezulta ca f nu este integgrabila impropriu.

Ex.2 (procedeul de calcul al lui Poisson) Fie f(x, y)= f: R, deci D= R₊ R . Vom arata ca f este integrabila impropriu pe D. Deoarece f³0 pe D este suficient sa consideram o exhaustiune particulara a lui D. Luam D_n==si atunci:

I=dxdy=dxdy.

Daca facem schimbarea de variabile si anume cea in coordonate polare obtinem:

dxdy=qrdr==

Daca consideram exhaustiunea D¢_n=, atunci:

dxdy=xdy==.

Daca tinem seama de teorema data avem: .

Ex.3:cos(x²+y²)dxdy cu a>0

Cu exhaustiunea D_n== avem:

(x, y)dxdy=qcosr rdr=2pcosr rdr pcostdt=.

Ex.4: In conditiile Th.3, daca f(x, y)£g(x, y)= ,a>1, M>0 atunci f(x, y) este integrabila.

Pentru K_n= nIN si D_n=K_n D, (x, y)dxdy£(x, y)dxdy, iar

(x,y)dxdy=Mq==£.

Ex.5:

Folosind Th.4 se poate stabili formula lui Jacobi, care da legatura intre functiile lui Euler b si G astfel: G(p)=e^-ydy si G(q)=e^-xdx, cu p, q>0 rezulta ca:

G(p)G(q)=x^q-1y^p-1dxdy

Daca facem schimbarea de variabile: Û .

Aceasta transformare duce D¢ ¥ [0, 1] in D=[0, ¥ ¥

Determinantul matricii lui Jacobi este: =u uv+uv=u si deci vom avea:

G(p)G(q)=vu^p+q-1v^p-1(1 v)^q-1du=u^p+q-1du(1 v)^q-1dv=G(p+q)b(p, q)

Ex.6:

Sa se afle valorile valorile lui aIR pentru care integrala:

, unde D=, este convergenta.

In acest caz V_n=, si atunci:

(x, y)dxdy=q= 2p=

Deci, pentru a>0, (x, y)dxdy exista daca si numai daca a<1.

Pentru a£0 integrala in cauza nu mai este improprie.