Proprietatile logaritmilor

Proprietatile logaritmilor

Folosind proprietatile puterilor cu exponenti reali obtinem urmatoarele proprietati

pentru logaritmi

a. Daca A si B sunt doua numere pozitive,atunci

log_a(AB)=log_aA+log_aB

(logaritmul produsului a doua numere este egal cu suma logaritmilor celor doua numere).

Intr-adevar,daca log_aA=x si log_aB=y,atunci a^x=A si a^y=B.Cum a^x+y=a^xa^y,obtinem

A^x+y =A*B si deci log_a(AB)=x+y=log_aA+log_aB.

Observatie.

Proprietatea se poate da pentru n numere pozitive A₁,A₂,,A_n adica

Log_a(A₁A_2.A_n)=log_aA₁+log_aA₁+log_aA₂+.+log_aA_n.

b. Daca A si B sunt doua numere pozitive,atunci

log_aaA-log_aB

(logaritmul catului a doua numere este egal cu diferenta dintre logaritmul numara-

torului si cel al numitorului

Intr-adevar,tinand cont de proprietatea a.,avem log_aA=log_a=log_a+log_aB,

de unde rezulta ca log_a log_aA-log_aB.

Observatie.

Daca punem A=1 si tinem cont ca log_a1=0,obtinem egalitatea:

log_a=-log_aB

c. Daca A este un numar pozitiv si m un numar real arbitrar,atunci

log_aA^m=mlog_aA

(logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponentul puterii si loga

ritmul numarului).

Intr-adevar,daca log_aA=x,atunci a^x=A.Dar atunci A^m=(a^x)^m=a^mx si deci log_aA^m=mx=

=mlog_aA.

d. Daca A este un numar pozitiv si n un numar natural(n2),atunci

log_a=log_aA/n

(logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponentul puterii si logaritmul numarului

Intr-adevar, proprieatea d este un caz particular al proprietatii c, punand m=.

Exemple:

Sa se calculeze log₃75.

Log₃75=Log₃(3*25)=Log₃3+Log₃25=1+Log₃5²=1+2Log₃5.

Sa se determine log₂1000-log₂125

Avem log₂100-log₂125=log₂=log₂8=log₂2³=3.

Sa se calculeze lg0,18-lg180.

Avem lg0,18-lg180=lg=lg=lg10^-3=-3.

Sa se calculeze log₆+log_6.

Avem log₆+log₆=-log₆18-log₆12=-(log₆18+log₆12)=-log₆(18*12)=-log₆6³=-3.

Sa se calculeze log₂.Avem log₂=log₂81=log₂3⁴=log₂3.

Sa se calculeze log_2.Avem log₂=log₂8=log₂2³=log₂2=.

Schimbarea bazei logaritmului aceluiasi numar

Daca a si b sunt doua numere pozitive diferite de 1,iar A un numar pozitiv oarecare,are loc egalitatea

Log_aA=Log_bA*Log_ab

Intr adevar,daca Log_aA=x si Log_bA=y,atunci avem a^x=A si b^y=A,de unde obtinem a^x=b^y.Dar atunci Log_aa^x=Log_ab^y sau xLog_aa=yLog_ab.

Cum Log_aa=1,avem x=yLog_ab,adica Log_aA=Log_bA*Log_ab.

Observatie.

Daca in egalitatea de mai sus A=a,obtinem Log_aa=Log_ba*Log_ab.Cum Log_aa=1,rezulta

ca

Log_ab=

e.        Formula de schimbare a bazei (formula de trecere a unui logarithm in baza a la logaritmul aceluiati numar int-o baza noua b).

f. Daca , atunci

Exemple:

1) Sa se scrie log₂x in functie de log₄x.

Avem log₂x=log₄x*log₂4=2log₄x.

2) Sa se arate ca log₂6+log₆2>2.

Avem log₂6+log₆2=log₂6+.

Deci trebuie sa aratam ca log₂6+>2 sau (log₂6)²-2log₂6+1>0,sau inca (log₂6-1)²>0

inegalitate evidenta deoarece log₂61.

Aplicatii

I.Admiterea in invatamantul superior

1. Sa se calculeze expresia

E=log₂25-log₂

_{Informatica,Baia Mare,1997}

E=log₂E=log₂35*log₂log₂1=0

E=0.

2. Sa se rezolve sistemul

xy=40

x^lgy=4

_{Colegiu de Informatica,Cluj,1997}

xy=40y=

x^lgy=4

lgx^lgy=lg4

lgy*lgx=lg4

lg*lgx=lg4

(lg40-lgx)lgx=lg4

lgx*lg40-lg²x=lg4

lg²x-lgxlg40+lg4=0

Notam lgx=y

y²-ylg40+lg4=0

lg²40-4lg4=(lg4+lg10)²-4lg4=lg²4+2lg4+1-4lg4=lg²4-2lg4+1=(lg4-1)²

y_1,2=

=

Stiind ca log₄₀100=a,sa se exprime log₁₆25 in functie de a.

_{Chimie,Metalurgie,1981}

Log₄100=a=a

Stiind ca a=lg2 si b=lg3 sa se calculeze x=3

_{Matematica-Fizica,Sibiu,1998}

X=3

Sa se arate ca expresia: E=este independenta de valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelor x,z,y.

_{Inginerie,Constanta,1996}

Notam x

II. Concursurile scolare

1. Gorj2001-faza locala

Sa se arate ca daca x,,y,zare loc inegalitatea:

Log_xyz+log_yxz+log_zxy

Log_xyz+log_yxz+log_zxy=(log_xy+log_yx)+(log_xz+log_zx)+(log_yz+log_zy)

Daca x,y

Log_xyz+log_yxz+log_zxy are loc doar cand x=y=z.

2. Bacau2001-faza locala

Sa se calculeze:

=E

Notam a=log₂12

Log₂24=log₂12*2=log₂12+log₂2=a+1

Log₉₆2=

Log₂192=log₂12*16=log₂12+log₂16=a+4

Log₁₂2=

(a+1)(a+3)-a(a+4)=3   

3. Cluj2001-faza locala

Sa se rezolve ecuatia:

unde este partea intreaga a numarului .

Cos Z

I.

II.

III.

S₃=