Metoda descompunerii in factori

Metoda descompunerii in factori

Aceasta metoda este una din cele mai frecvente si presupune o cunoastere satisfacatoare a formulelor trigonometrice.

Exemplul 16. Sa se rezolve ecuatiile (Culegere de probleme , clasa aXa , Marius Burtea)

Rezolvare. a) sin³x - cos³x = cos2x   Û   (sinx - cosx)(sin²x + sinxcosx + cos²x) = cos²x - sin²x   Û   (sinx - cosx)(1 + sinxcosx + (cosx + sinx)) = 0   Û

b) Se trec toti termenii in stanga ecuatiei si se grupeaza convenabil:

(sin3x + sinx) + 2cosx - (sin2x + 2cos²x) = 0.

Se utilizeaza formulele sumei sinusurilor si sinusului unghiului dublu si se obtine

(2sin2xcosx + 2cosx) - (2sinxcosx + 2cos²x) = 0

sau

2cosx[(sin2x + 1) - (sinx + cosx)] = 0.

Se tine seama ca sin2x + 1 = 2sinxcosx + sin²x + cos²x = (sinx + cosx)² si ecuatia devine

2cosx[(sinx + cosx)² - (sinx + cosx)] = 0

sau

2cosx(sinx + cosx)(sinx + cosx - 1) = 0,

de unde se obtine totalitatea

Din prima ecuatie a totalitatii se obtine Cea secunda reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai cu solutiile Ecuatia a treia se rezolva, de exemplu, prin metoda introducerii unghiului auxiliar si are solutiile x = 2pn,   n I Z si Ultimul set de solutii se contine in multimea solutiilor primei ecuatii si prin urmare multimea solutiilor ecuatiei initiale este

c) DVA al ecuatiei este Ecuatia se scrie

sau

4sinxcosx + 2cos²x - 2cosx - 3sinx = 0.

Se grupeaza convenabil:

2cosx(2sinx - 1) + (2cos²x - 3sinx) = 0,

sau, cum 2cos²x = 2(1 - sin²x) = 2 - 2sin²x,

2cosx(2sinx - 1) + (2 - 3sinx - 2sin²x) = 0.

Cum 2 - 3sinx - 2sin²x = 2 - 4sinx + sinx - 2sin²x = 2(1 - 2sinx) + sinx(1 - 2sinx) = (1 - 2sinx)(2 + sinx), ecuatia devine

2cosx(2sinx - 1) + (1 - 2sinx)(2 + sinx) = 0,

sau

(2sinx - 1)(2cosx - sinx - 2) = 0.

Cum         ecuatia se scrie

de unde rezulta

Toate solutiile obtinute verifica DVA al ecuatiei.