Derivabilitate (Gateaux) si diferentiabilitate (Frchet) de ordinul I

Derivabilitate (Gateaux) si diferentiabilitate (Frchet) de ordinul I.

Derivate (ordinare, directionale, partiale) si diferentiale (gradienti, jacobiene)

I

I.1) Sa se studieze derivabilitatea ( dupa caz - ordinara, directionala, Gateaux sau partiala a ) urmatoarelor functii, in punctele ori pe multimile si - unde este cazul - pe directiile indicate:

a) , , in ;

b) , , pe ;

c) , , pe R ;

d) , , in ;

e)      , , in , pe directia vectorului ;   

f) , , in ;

g) , , intr-un punct din ,

pe directia v a intersectiei planelor si ;

h), in punctul , pe directia

v a dreptei ce trece prin punctele si ;

i) , , in ;

j) , , in , unde si .

I.2) Sa se analizeze diferentiabilitatea ( Frchet ) in origine a fiecareia din urmatoarele functii:

a) , ;

b) , , , ;

c) , ;

d) , ,

, .

I.3) Sa se investigheze derivabilitatea functiei limita a sirului sau, dupa caz, suma a seriei de

functii de mai jos:

a) , unde ;

b) , unde ;

c) , unde ;

d) , unde ;

e) , unde ;

f) , unde

.

II

II.1) Fie , .

a)      Sa se studieze derivabilitatea Gateaux si diferentiabilitatea Frchet a lui f pe Ker f ;

b)      Sa se arate ca jacobiana functiei f exista si este singulara in orice punct din .

II.2) Fie , , unde si .Sa se calculeze:

a) si ;

b) in punctul ;

c) si ;

d) intr-un punct curent .

II.3) Sa se arate ca functiile de mai jos, derivabile pe multimea lor de definitie, satisfac relatiile indicate:

a) , ;

b) ,

;

c) , ;

d) ,

;

e) ,

;

f) , ,

;

g) ,

,.

II.4) Sa se determine diferentialele de ordinul intai ale urmatoarelor functii:

a) ;

b) ;

c) , ;

d) , , cu si .

II.5) Sa se verifice veridicitatea urmatoarelor afirmatii:

a)      Daca , unde , atunci , , ;

b)      Daca , atunci , , ;

c)      Daca , atunci , , ;

d)      Daca , atunci , .

F. Iacob, 01.10.2006