Inegalitati intre liniile importante in triunghi

Inegalitati intre liniile importante in triunghi

Aplicatia II.7.1: Sa se arate ca in orice triunghi ABC are loc inegalitatea:

fig.II.7.1

Solutie:

Fie triunghiul ABC si A'B'C' mijloacele laturilor (BC), (CA), (AB). Fie astfel incat si M simetricul lui A' fata AC. Fie astfel incat si N simetricul lui A' fata de AB. Se observa ca

(1)

Cum triunghiurile MM'B si A'M'B' sunt congruente (L.U.L) obtinem:

(2)

De asemenea (L.U.L.) ceea ce implica

(3).

Inlocuind (2) si (3) in (1) deducem ca: si cum A'B'C' sunt mijloacele laturilor (BC), (CA), (AB) obtinem:

(4)

Prin constructie , M'N' este linie mijlocie in triunghiul A'MN, ceea ce conduce la:

MN= 2M'N' (5), dar din teorema sinusurilor (in triunghiul A'N'M') deducem

(6)

Cum obtinem ca patrulaterul AN'A'M' este inscriptibil si, deci adica: si din: (7)

Iar (8)

In triunghiul A'M'A, ,de unde obtinem: (9)

Inlocuind (7), (8) si (9) in (6) deducem succesiv ceea ce conduce la:M'N'=AA',adica dar avand in vedere (5) obtinem: iar relatia (4) devine ceea ce implica:

, care este echivalenta cu , adica: si prin urmare: , deci , cu egalitate in cazul triunghiului echilateral.

Aplicatia II.7.2. Sa se demonstreze ca in orice triunghi ABC au loc inegalitatile:

1)

2)

Solutie:

1)Se stie ca: ,prin urmatoarele:

ceea ce conduce la: cu egalitate in cazul triunghiului echilateral.

2) Fie triunghiul ABC si

astfel incat (fig.II.7.2)

In triunghiul AA'B, ceea ce implica:

c>h_{a .}

In triunghiul ACC', si deci b>h_c,

iar in triunghiul BB'C, de unde a>h_b

fig.II.7.2

Prin urmare, c>h_a , b>h_c si a>h_b ceea ce conduce la a+b+c>h_a+h_b+h_c si deci: h_a+h_b+h_c>2p

Aplicatia II.7.3: Fie ABC un triunghi dreptunghic cu (fig. II.7.3.)Atunci are loc inegalitatea :

fig.II.7.3

Solutie:

Se stie ca : si . Prin urmare, inegalitatea din enunt devine: (*)

Din relatia obtinemdeci pentru a demonstra (*) este suficient sa verificam:

care este adevarata Egalitate avem daca b=c, adica in cazul triunghiului dreptunghic isoscel.

Aplicatia II.7.4: Sa se demonstreze ca in orice triunghi ABC au loc inegalitatile:

1)

2)

3)

Solutie:

1) Fie triunghiul ABC si (fig.II.7.4)

In triunghiul ABA': , iar in triunghiul

ACA': , deci 2m_a=a+b+c, de unde m_a<p

Celelalte relatii se obtin in mod analog.

fig.II.7.4

2) Fie triunghiul ABC si

Consideram punctul M ca fiind simetricul lui A

fata de mijlocul segmentului (BC) (fig.II.7.5)

Prin urmare AM=AA'+A'M=m_a+m_a.

Triunghiurile AA'C si MA'B sunt congruente

(L.U.L) ceea ce implica: BM=AB=b

In triunghiul ABM avem: AM<AB+BM, ceea

ce implica 2m_a <b+c. fig.II.7.5

Celelalte relatii se obtin in mod similar

3) Fie triunghiul ABC si astfel incat AA', BB', CC' sunt mediane (fig.II.7.6)

conform punctului 2) avem:

ceea ce implica

adica (*)

Consideram punctul N ca fiind

intersectia dreptei BC cu paralela

prin A la mediana BB'. Notam cu

, unde M este simetricul

lui A fata de mijlocul segmentului (BC),

iar cu fig.II.7.6

Observam ca AEBB' este paralelogram de unde rezulta ca EB=AB'=b/2 si cu BM=AC=b, obtinem ME=3b/2.

In triunghiul MNA avem: NA' este mediana iar BE=ME/3 si BM=2ME/3 prin urmare, NA', ME si AF sunt mediane .

De asemenea, AM=2m_a, NM=2m_c, AN=2m_b, iar (**)

Conform relatiilor din punctul 2) vom avem in triunghiul ANM: 2AF<AN+AM, 2ME<MA+MN, 2NA'<NA+NM, dar avand in vedere relatiile (**) obtinem:

de unde rezulta 3(a+b+c)<4(m_a+m_b+m_c) care este echivalenta cu : , dar si deci p<m_a+m_b+m_c, care impreuna cu (*) ne da dubla inegalitate din enunt.

Aplicatie II.7.5: Se considera triunghiul ABC si m_a,m_b,m_c respectiv lungimea medianelor corespunzatoare laturilor BC, AC, AB. Sa se arate ca a>b>c daca si numai daca m_a<m_b<m_c

Solutie:

Fie triunghiul ABC, A'B'C' mijloacele

laturilor (BC), (AC),(AB) si G centrul

de greutate al triunghiul ABC (fig.II.7.7)

"=>" presupunem a>b>c. deoarece

in triunghiurile AC'C si BC'C avem

,

Obtinem conform teoremei II.1.8 ca

Prin urmare in triunghiurile AC'G si BC'G,

avem si fig.II.7.7

obtinem conform teoremei II.1.8 ca BG>AG dar BG=2m_b/3

iar AG=2m_a/3 ceea ce implica .

Analog se demonstreaza ca si deci .

"<=" presupunem ca . Cum obtinem de unde . Deci in triunghiurile AC'G si BC'G avem

de unde rezulta Prin urmare comparand triunghiurile AC'C si BC'C avem AC'=BC' ceea ce implica , deci In mod analog, avem si deci: .

Aplicatia II.7.6: Se noteaza cu M,N si P respectiv mijloacele laturilor (BC); (AC) si (AB) ale triunghiul ABC oarecare. Dreptele AM , BN si CP intersecteaza cercul circumscris triunghiul ABC in Q,S,T (fig.II.7.8). Sa se arate ca:

Solutie:

Puterea punctului M fata de cerc implica:

AM/MQ=BM/BC dar BM=MC=A/2 iar

AM=m_a de unde rezulta deci

. In mod analog obtinem

si . Avand cele trei relatii si folosind

teorema medianei avem:

fig.II.7.8

.

In concluzie .

Aplicatia II.7.7: Se considera triunghiul ABC in care: si D mijlocul lui (BC)

(fig.II.7.9). Sa se arate ca

Solutie:

Din ipoteza

dar ,

prin urmare: , ceea

ce conduce la conform teoremei

II.1.3 in triunghiul ABD sau

, deci in triunghiul ADC, fig.II.7.9

conform teoremei II.1.3 deducem ca . Deci sau , ceea ce implica .

Aplicatia II.7.8 (Problema 2'717 G.M. nr.3/1989): Daca a,b,c sunt laturile unui triunghi, iar sunt lungimile medianelor corespunzatoare acestor laturi, atunci avem: .

Solutie:

Conform aplicatiei II.7.4 putem scrie: .

Aplicand inegalitatea mediilor pentru si obtinem:

si in mod analog deducem ca: si . Prin urmare, si inegalitate din enunt este demonstrata.

Aplicatia II.7.9: Sa se arate ca intr-un triunghi oarecare ABC: .

Solutie:

Fie triunghiul ABC si astfel incat Avem si (*).

Din teorema bisectoarei .

Deducem de unde

si deci adica ceea ce

implica .

Utilizand teorema lui Pitagora in triunghiurile

si reiese

ca: si

obtinem: (**). Prin urmare din relatiile

(*) si (**) obtinem . Daca

triunghiul ABC este isoscel, ,

inaltimea, bisectoarea interioara si mediana

duse din A coincid si, drept urmare . fig.II.7.10

Aplicatia II.7.10: Daca intr-un triunghi ABC avem , atunci .

Solutie:

Avem:

, dar , , implica: ceea ce este echivalent cu . Egalitatea este verificata pentru a=b sau , deci cand triunghiul ABC este isoscel cu varful in C sau dreptunghic cu .

Aplicatia II.7.11: Sa se arate ca in orice triunghi ABC are loc inegalitatea:

, ,

Solutie:

Din teorema medianei avem: , dar si deci rezulta de unde obtinem: (1) cu egalitate pentru b=c.

Pe de alta parte,, conduce la . Celelalte relatii se deduc in mod asemanator.

Aplicatia II.7.12: In orice triunghi au loc inegalitatile:

Solutie:

adevarat.

Avem egalitate pentru triunghiul echilateral.

Fie i centrul cercului circumscris (fig.II.7.11).

Exprimam pe AI: In

In

Fie .

In triunghiul IBC (fig.II.7.12):

fig.II.7.11

Deci

fig.II.7.12