EXTREMELE SI VARIATIA UNEI FUNCTIONALE

EXTREMELE SI VARIATIA UNEI FUNCTIONALE

1. Probleme de extremum clasice

a). Problema brahistocronei. Un punct material porneste din O(0,0) fara viteza initiala si se misca sub actiunea gravitatii pe un arc de curba OA cuprins intr-un plan vertical. Se cere arcul de curba pe care mobilul ajunge din O in A(x₁,y₁) in timpul cel mai scurt.

Considerand axa Oy dirijata dupa verticala in jos, viteza mobilului in fiecare punct al arcului OA este

,

g fiind acceleratia gravitatii. Timpul in care mobilul descrie arcul OA va fi dat de integrala curbilinie

. (1)

Fie

y = y(x), x[0,x₁] ,

ecuatia a arcului OA. Integrala (1) se mai poate scrie

. (1')

Avem de determinat arcul OA, cu extremitatile date, pe care integrala (1) este minima. Cu alte cuvinte se cere functia y(x) care satisface conditiile

y(0) = 0, y(x₁) = y₁

si care minimalizeaza integrala (1

b). Problema geodezicelor. Dintre toate arcele de curba trasate pe o suprafata S care unesc doua puncte A si B de pe suprafata, sa se determine arcul care are lungimea minima.

Fie

F(x,y,z) = 0 (2)

ecuatia suprafetei S si A(x₁,y₁,z₁) , B(x₂,y₂,z₂) cele doua puncte de pe suprafata. Daca

y = y(x), z = z(x); x [x₁,x₂]

sunt ecuatiile unui arc de curba trasat pe suprafata care uneste cele doua puncte A si B, functiile y(x), z(x) verifica ecuatia suprafetei si satisfac conditiile

y(x₁) = y₁ , y(x₂) = y₂ ; z(x₁) = z₁ , z(x₂) = z₂. (3)

Lungimea arcului AB este

. (4)

Problema se poate formula astfel: Se cer functiile y(x) si z(x), legate prin relatia (2), care satisfac conditiile la limita (3) si minimalizeaza integrala (4).

c). Problema suprafetelor minime (Plateau). Data fiind o curba simpla inchisa C, situata in spatiul cu trei dimensiuni, se cere sa se determine suprafata deschisa S marginita de aceasta curba care are aria minima.

Sa presupunem ca proiectia a curbei C pe planul xOy este tot o curba simpla de ecuatie j(x,y) = 0 si ca domeniul marginit din planul xOy, avand frontiera , este proiectia suprafetei S pe acest plan.

Fie

z = z(x,y);

M(x,y) ,

ecuatia suprafetei S si

ecuatiile curbei C.   

Aria suprafetei S este data de integrala

. (5)

Avem deci de determinat functia z = z(x,y) care face minima integrala (5) si ia valorile pe curba , frontiera domeniului .

d). Problema izoperimetrica. Se cere curba plana inchisa, de lungime data l , care delimiteaza un domeniu marginit de arie maxima.

Fie

x = x(t) , y = y(t) ; t [t₁,t₂] , (6)

ecuatiile parametrice ale unei curbe C. Curba C fiind inchisa avem

x(t₁) = x(t₂) , y(t₁) = y(t₂). (7)

Conditia ca lungimea curbei C sa fie l se scrie

. (8)

Aria marginita de acesta curba este data de integrala

, (9)

in ipoteza ca pentru t crescator, punctul M[x(t),y(t)] descrie curba C in sens trigonometric.

Avem deci de determinat functiile (6), supuse conditiilor (7), care verifica egalitatea (8) si maximizeaza integrala (9).

2. Functionala. Variatia argumentului, vecinatate

In cele patru exemple s-a pus problema extremelor unei integrale care depinde de functiile care intervin sub semnul de integrare. Astfel, in primul exemplu am avut o integrala de forma

, (10)

in al doilea o integrala

, (11)

ale carei valori depind de doua functii y(x), z(x) legate intr-o ecuatie f(x,y,z) = 0, in al treilea o integrala

, (12)

ale carei valori depind de o functie de doua variabile.

Definitie. Fie F o multime de functii. Daca fiecarei functii f F facem sa-i corespunda un numar real, vom spune ca avem o functionala I[f] definita pe multimea F cu valori in R.

Elementul arbitrar f F se numeste functia argument al functionalei, iar multimea F se numeste domeniul de definitie al functionalei I[f]. Functionala I[f] este ansamblul format din multimea F , multimea R a numerelor reale si corespondenta de la F la R.

Se mai spune ca functionala I[f] este o aplicatie a multimii F in multimea R a numerelor reale.

Sa consideram o multime F de functii f(x) definite pe un interval a,b f I C^o a,b

Definitie. Se numeste vecinatate de ordinul zero a functiei f_o F, multimea functiilor f F care verifica inegalitatea

, x [a,b] , (13)

ε fiind un numar strict pozitiv dat.

Inegalitatea trebuie sa fie satisfacuta pentru toate valorile lui x din intervalul [a,b].

Evident, dand lui ε diverse valori, se obtin diverse vecinatati.

Se numeste vecinatatea de ordinul n a functiei f_o F, multimea functiilor f F care pentru orice x [a,b] verifica inegalitatile

,

, (14)

..........

,

unde ε este un numar strict pozitiv dat.

Diferenta

, x [a,b] ,

se numeste variatia argumentului functionalei I[f] cand se trece de la functia f_o F la functia f F.

Notiunile de vecinatate si de variatie se extind in mod natural si in cazul cand elementele multimii F sunt functii de mai multe variabile.

3. Extremele unei functionale, functii admisibile.

Extreme absolute, extreme relative

Se numesc functii admisibile intr-o problema de extremum a unei functionale I[f], f F, acele functii din F care satisfac conditiile suplimentare impuse de problema respectiva.

Fie I[f] o functionala definita pe multimea F si G multimea functiilor admisibile intr-o problema de extremum a functionalei I[f]. Evident G F.

Se spune ca I[f] admite un maxim absolut pentru f₀ G daca pentru orice functie f G avem

I[f₀] I[f].

Daca pentru orice functie f G avem

I[f₀] I[f],

atunci se spune ca f₀ realizeaza un minim absolut al functionalei I[f].

Ca si pentru extremele unei functii, uneori ne intereseaza nu extremele absolute ale unei functionale, ci extremele relative in care notiunea de vecinatate joaca un rol important.

Se spune ca functionala I[f] admite un maxim relativ tare pentru f₀ G daca exista o vecinatate de ordinul zero a functionalei f₀ astfel incat, pentru orice functie f G continuta in aceasta vecinatate ,

I[f₀] I[f].

Daca aceasta inegalitate are loc numai pentru functiile f G situate intr-o vecinatate de ordinul intai a functiei f₀, se spune ca I[f] admite pentru f₀ un maxim relativ slab.

Analog se definesc minimele relative tari si slabe ale functionalei I[f].

Maximele si minimele unei functionale se numesc extremele acelei functionale.

Evident, oricare extremum absolut al unei functionale este si extremum relativ tare. De asemenea, orice extremum relativ tare indeplineste si conditiile unui extremum relativ slab.

In cele ce urmeaza vom determina conditiile necesare de extremum relativ slab, acestea fiind conditiile necesare si pentru un extremum relativ tare sau pentru un extremum absolut.

Prezentam doua leme, care se demonstreaza simplu prin reducere la absurd.

Lema 1. Fie f(x) o functie continua pe intervalul [x₁, x₂]. Daca

pentru orice functie (x) din clasa C² [x₁,x₂] care se anuleaza la capetele intervalului,

(x₁) = 0 , (x₂) = 0 ,

atunci pe [x₁,x₂] .

Lema 2. Fie D un domeniu marginit, dintr-un spatiu euclidian cu n dimensiuni, si Σ frontiera sa. Fie f(P) o functie continua pe .

Daca

pentru orice functie η(P) din clasa C² pe , nula in toate punctele frontierei , atunci pe .

4. Ecuatia lui Euler in cazul integralelor simple

Sa consideram functionala

, (15)

definita pe o multime F de functii y(x), x [x₁,x₂]. Vom determina o conditie necesara de extremum relativ considerand ca functii admisibile functiile y(x) F care apartin clasei C² [x₁,x₂] si care verifica in plus conditiile la limita

y(x₁) = y₁ , y(x₂) = y₂ , (16)

y₁ si y₂ fiind doua numere date.

Fie y(x) functia care realizeaza un extremum relativ al functionalei. Consideram o functie arbitrara η(x) din clasa C² [x₁,x₂] , cu proprietatea

. (17)

Functia

Y(x) = y(x) + , (18)

unde α este un parametru mic, este evident o functie admisibila si apartine unei vecinatati de ordinul intai date a functiei y(x) pentru suficient de mic. Inlocuind in (15) pe y(x) cu Y(x) si presupunand η(x) fixa, obtinem o integrala functie de parametrul ,

.

Daca y(x) realizeaza un extremum relativ al integralei in multimea tuturor functiilor admisibile, acesta va trebui sa fie un extremum relativ si in multimea functiilor Y(x) obtinute din (18) pentru diversele valori ale lui . Rezulta ca o conditie necesara de extremum este

.

Ne situam in ipoteza ca F(x,y¢,)C² pentru [x₁,x₂].

Avem

,

unde

.

Ultimul termen poate fi integrat prin parti

.

Datorita conditiilor (17), primul termen din membrul drept al acestei inegalitati este nul. Deci, conditia devine

. (19)

in care y = y(x) este functia care realizeaza un extremum al integralei (15) , iar este derivata sa.

Aceasta egalitate are loc pentru orice η(x) din clasa C² [x₁,x₂] supusa conditiilor (17). Tinand seama de prima lema deducem ca functia y(x) verifica ecuatia

. (20)

Deoarece

aceasta ecuatie, care se numeste ecuatia lui Euler corespunzatoare functionalei, se mai poate scrie sub forma

. (20')

Am obtinut astfel urmatorul rezultat :

Teorema (Euler). Daca apartine clasei C² pentru x [x₁,x₂] si luand valori arbitrare si daca y(x) realizeaza un extremum relativ al integralei (15) in multimea functiilor din clasa C² x [x₁,x₂] care satisfac conditiile la limita (16), atunci y(x) verifica ecuatia lui Euler (20), respectiv (20').

In ipoteza ca pe intervalul [x₁,x₂] , solutia generala a ecuatiei lui Euler depinde de doua constante arbitrare care se determina folosind conditiile la limita (16).

De remarcat ca forma ecuatiei lui Euler atasata integralei (15) nu depinde de extremitatile intervalului [x₁,x₂] si nu depinde de conditiile la limita (16). Insa, dat fiind intervalul [x₁,x₂], ecuatia lui Euler trebuie considerata numai pe acest interval.

Ecuatia lui Euler este o conditie necesara, dar nu suficienta pentru functia y(x) care realizeaza un extremum al functionalei (15).

Orice curba integrala a ecuatiei lui Euler (20) se numeste extremala a functionalei (15), chiar daca aceasta nu realizeaza un extremum al functionalei.

5. Generalizari

Rezultatele referitoare la integrala (15) pot fi extinse pentru cazul cand F depinde si de derivate de ordin superior ale lui y(x) sau pentru cazul cand functionala depinde de mai multe argumente.

Teorema (Poisson). Fie ) o functie din clasa Cⁿ⁺¹ pentru x [x₁,x₂] si , luand valori arbitrare.

Daca y(x) realizeaza un extremum relativ al functionalei

(21)

in multimea functiilor din clasa C²ⁿ [x₁,x₂] care satisfac conditiile

(22)

unde sunt 2n constante date, atunci y(x) este solutia ecuatiei diferentiale

(23)

Aceasta ecuatie este de ordinul 2n si se numeste ecuatia lui Euler-Poisson corespunzatoare functionalei (21).

Multimea functiilor admisibile in aceasta problema de extremum este multimea functiilor y(x) din clasa C²ⁿ [x₁,x₂] care verifica egalitatile (22).

Demonstratia ecestei teoreme este analoaga cu cea a teoremei precedente.

Orice solutie a ecuatiei (23) se numeste extremala a functionalei (21) chiar daca nu realizeaza un extremum al functionalei. O anumita extremala este determinata prin conditiile la limita (22).

Sa consideram acum o integrala care depinde de mai multe functii de o singura variabila t. Fie acestea

x₁(t), x₂(t), ., x_n(t) .

Notam derivatele lor cu

asa cum se obisnuieste in mecanica in cazul cand t reprezinta timpul.

Teorema lui Lagrange. Fie o functie din clasa C² pentru t [t₁,t₂] si luand valori arbitrare.

Daca sistemul de functii realizeaza un extremum relativ al functionalei

(24)

in multimea sistemelor de functii din clasa C² t [t₁,t₂] care satisfac conditiile la limita

; k = 1, 2, ., n, (25)

unde sunt 2n numere date, atunci sistemul este o solutie a sistemului de ecuatii diferentiale

; k = 1, 2, ., n. (26)

Acest sistem de ecuatii se numeste sistemul lui Euler-Lagrange corespunzator functionalei (24).

In ecuatiile (26) intervin functiile x_k impreuna cu derivatele lor de primele doua ordine si .

Multimea sistemelor de functii admisibile este multimea sistemelor de functii din clasa C² [t₁,t₂] care verifica conditiile (25).

Daca F este o functie din clasa C² pentru t [t₁,t₂] si x_k, oarecare si daca sistemul de functii realizeaza un extremum relativ slab al integralei (24) in multimea sistemelor de functii admisibile

; k = 1, 2, ., n ,

atunci sistemul de functii verifica sistemul lui Euler-Lagrange (26), iar derivatele secunde (t) exista si sunt continue in orice punct t [t₁,t₂] pentru care determinantul functional

.

6. Cazul integralelor multiple. Ecuatia lui Euler-Ostrogradski

Pentru usurinta expunerii vom considera functionala definita printr-o integrala dubla

, (27)

unde u_x,u_y sunt derivatele partiale de ordinul intai ale functiei u(x,y).

Se pune problema extremelor acestei functionale in multimea functiilor u(x,y) care fac parte din clasa C² pe domeniul D si iau valori date pe frontiera C a domeniului D,

. (28)

Teorema lui Ostrogradski. Daca F este o functie din clasa C² pentru (x,y) I D si u,u_x,u_y luand valori arbitrare, iar functia u(x,y) realizeaza un extremum relativ al functionalei (27) in multimea functiilor din clasa C² pe domeniul D care verifica egalitatea (28), atunci u(x,y) este solutie a ecuatiei cu derivate partiale

. (29)

Pentru demonstratie se considera multimea functiilor

U(x,y) = u(x,y) + (x,y) , (30)

unde u(x,y) este functia pentru care integrala (27) admite un extremum, (x,y) este o functie fixa arbitrara din clasa C² pe domeniul D si care pe frontiera C verifica conditia

, (31)

iar α este un parametru care ia valori mici in modul.

Daca u(x,y) realizeaza un extremum in multimea functiilor admisibile, aceeasi proprietate o va avea si in multimea functiilor (30). Pentru aceasta este necesar ca integrala

sa admita un extremum pentru α = 0. Conditia se scrie dezvoltat

.

Integrala referitoare la ultimii doi termeni se mai poate scrie

Folosind formula lui Green, prima integrala din membrul drept se poate transforma intr-o integrala pe frontiera C a domeniului D si avem

Datorita conditiei (31), integrala curbilinie este nula si conditia devine

.

De aici rezulta ecuatia (29) si teorema este demonstrata.

Ecuatia (29) se numeste ecuatia lui Euler-Ostrogradski corespunzatoare functionalei (27).

Orice solutie a ecuatiei (29) se numeste extremala a functionalei (27) chiar daca acea functie nu realizeaza efectiv un extremum al functionalei. Adaugand la ecuatia (29) o conditie la limita de forma (28) se obtine o extremala particulara.