Gradientul in sens Gateaux pentru functionale neliniare

Gradientul in sens Gateaux pentru functionale neliniare

Fie H un spatiu hilbertian real, o functionala pe H,derivabila in sens Gateaux pe Atunci exista astfel incat :

.

Cum insa ,conform teoremei Riesz,daca F este o functionala liniara si continua pe H,exista ,unic,astfel incat:

F h=

rezulta existenta unui element astfel incat:

,

Vom considera dupa teorema Riesz si fie

operatorul care ataseaza fiecarui acel element cu care,dupa teorema Riesz,

.

Operatorul ,care satisface egalitatile de mai sus,se numeste gradientul in sens Gateaux al functionalei pe multimea .

Observatie

Din modul in care a fost introdus gradientul in sens Gateaux pentru functionale G-derivabile pe spatii hilbertiene reale rezulta,in mod evident,ca forma gradientului depinde de produsul scalar pe H.Fie,intr-adevar,H un spatiu liniar real pe care s-au introdus doua produse scalare si care genereaza normele echivalente si .

Daca H este complet in norma ,el este complet si in norma .

Fie si presupunem ca este G-derivabila in punctul x.Exista atunci astfel incat:

Deoarece ,functionala :

este liniara si marginita pe ,deci:

Daca produsul scalar este definit cu ajutorul unui operator strict pozitiv,liniar,continuu si autoadjunct,

,

atunci din egalitatea:

se scoate:

Definitia 1

Fie X un spatiu normat real, si Un operator se numeste gradientul in sens Gateaux al functionalei pe multimea daca exista pentru orice si orice si este adevarata egalitatea:

(1)

In legatura cu aceasta definitie se observa urmatoarele:

1.Daca este deschisa,atunci poate fi considerata definita doar pe si definitia 1 are sens.

2.Daca este derivabila in sens Gateaux pe ,atunci:

(2)

Intr-adevar,daca este derivabila in sens Gateaux pe ,atunci exista astfel incat:

, (3)

care comparata cu (1) conduce la (2).

3.In conditiile definitiei 1,daca H este un spatiu hilbertian real,atunci ,considerand H identificat algebric si topologic cu ,se scrie:

(4)

unde este produsul scalar pe H.

In virtutea lui 2,toate exemplele de functionale derivabile in sens Gateaux pe multimi din spatii Banach sunt,in acelasi timp,exemple de functionale ce poseda gradient in sens Gateaux pe multimile respective.

Din exemplul 4(capitolul II) rezulta:daca H este un spatiu hilbertian real,L(H,H) si

astfel:

functionala poseda gradient in sens Gateaux pe H si:

.

Din exemplul 5 (capitolul II) rezulta: fie o functie de clasa astfel incat urmatoarele conditii sunt satisfacute:

si fie o multime deschisa si marginita din si functionala astfel:

;

atunci aceasta functionala poseda gradient in sens Gateaux pe ,si:

Din exemplul 7 (capitolul II) rezulta:fie H un spatiu hilbertian    si urmatoarea functionala pe H:

atunci aceasta functionala poseda gradient in sens Gateaux pe H si:

Din exemplul 8 rezulta:fie H un spatiu hilbertian real si urmatoarea functionala pe H:

Aceasta functionala poseda gradient in sens Gateaux pe si:

Cu alte cuvinte,intr-un spatiu hilbertian real,norma poseda gradient in sens Gateaux in orice punct diferit de si:

Din exemplul 9(capitolul II)(vezi propozitia 4 din capitolul II) rezulta:fie spatiul Banach real , si functionala :

;

aceasta functionala poseda gradient in sens Gateaux pe ,daca

.