Modelul multifactorial liniar

Modelul multifactorial liniar

1 Specificarea si definirea modelului multifactorial

Sub forma generala, un model explicativ multifactorial se defineste prin urmatoarea relatie:

y = f (x _j ) + u (1.1)

unde:

y = variabila endogena, dependenta sau explicata;

x _j = variabilele exogene, independente sau explicative;

, k = numarul variabilelor exogene;

u = variabila reziduala sau aleatoare sau eroare;

f (x _j ) = functia de regresie cu ajutorul careia vor fi estimate (aproximate) valorile variabilei y, determinate numai de influenta factorilor x_j, considerati esentiali, principali, hotaratori, exceptand influenta celorlalti factori ai fenomenului y, care sunt considerati factori neesentiali, nesemnificativi de explicare a aparitiei si a evolutiei in timp si in spatiu a fenomenului y, acestia find tratati separat cu ajutorul variabilei reziduale u.

Modelul econometric trebuie interpretat ca o expresie formala a metodei econometrice de investigare a unui obiect economic:

Realitatea (y) = Teoria [f (x _j )] + Intamplarea (u)

Ca regula generala si fundamentala, specificarea unui model econometric se face pe baza teoriei economice. Fenomenul economic y se precizeaza pe baza conceptelor, definitiilor si a relatiilor cauza-efect elaborate de catre aceasta si se accepta fenomenul x_j ca factor esential, sau se respinge si se trece in categoria factorilor intamplatori prin intermediul variabilei aleatoare u.

Dimensiunea pachetului de variabile explicative x_j depinde insa si de banca de date statistice a variabilelor respective, de cantitatea si de calitatea acestora.

In economie, modelele multifactoriale au o arie vasta de aplicare, acestea putand fi utilizate in mai multe situatii si sub diverse forme, ca, de exemplu:

a)      modelarea consumului

C = f (V, P, N) + u (1.2)

unde:

C = consumul unui produs sau grupe de produse;

V = venitul pe familie;

P = pretul produsului sau indicele preturilor grupei de produse;

N numarul membrilor unei familii.

b)      functia de productie Cobb-Douglas

Q = f (K, L,) + u (1.3)

unde:

Q = volumul (valoarea productiei);

K = capitalul;

L = forta de munca.

c)      modelarea evolutiei preturilor

I ^p = f (I ^v, I ^cv, I ^m) + u    (1.4)

unde:

I ^p = indicele preturilor;

I ^v = indicele veniturilor (salariilor) consumatorilor;

I ^cv = indicele cursului valutar;

I ^m = indicele masei monetare.

2 Identificarea modelului multifactorial

Ca si in cazul modelului unifactorial, identificarea econometrica consta in alegerea unei functii matematice in vederea descrierii legaturii, a relatiei dintre variabila endogena y si factorii sai de influenta, x₁, x₂, ., x_j, ., x_k. Aceasta alegere se face in concordanta cu seriile statistice (serii de spatiu sau de timp ale variabilei y si ale variabilelor x_j) ale acestor variabile, preluate dintr-o baza de date sau construite in urma unor observari statistice special organizate.

Astfel, daca se dispune de urmatoarele informatii:

unde:

, n = numarul termenilor seriilor statistice;

, k = numarul variabilelor exogene.

Identificarea presupune ca, pe baza datelor experimentale, y_t si x_jt, sa se gaseasca o functie matematica, Y_t = f (x_jt), cu ajutorul careia sa se estimeze valorile variabilei y numai pe baza valorilor variabilelor x_jt

Spre deosebire de cazul unifactorial, unde procedeul grafic sau calculele algebrice ofereau informatii relativ corecte pentru identificarea functiei de regresie, in cazul modelelor multifactoriale acest lucru ramane valabil doar in cazul in care se va lucra cu serii bidimensionale: y_t, x_1t ; y_t, x_2t ; y_t, x_jt ; .; y_t, x_kt.

Un alt mod de alegere a functiei de regresie multifactoriale consta utilizarea, estimarea, verificarea si compararea mai multor tipuri de functii de regresie si de a decide in final - vezi coeficientii de performanta ai unui model multifactorial liniar - care este cel mai performant model in raport cu datele experimentale.

De regula, in economie, principalele functii de regresie multifactoriale sunt de forma:

- functia liniara

Y _t = b ₀ + b ₁ x _1t + b ₂ x _2t + .b _k x _kt (2.1)

- functia liniara dublu logaritmica

(2.2)

(2.3)

- functia liniara semilogaritmica

(2.5)

sau

(2.6)

(2.7)

(2.8)

unde:

De retinut ca, atat in etapa de specificare a modelului, cat si in etapa de identificare, solutiile acceptate:

x_j - principalii factori de influenta ai fenomenului y;

- relatia de dependenta;

nu sunt altceva decat simple ipoteze de lucru.

Validarea sau infirmarea acestora va constitui, de altfel, principalul obiectiv al etapei de verificare econometrica a modelului.

3 Estimarea parametrilor modelului multifactorial

Estimarea parametrilor modelului se face in urma etapei de identificare a acestuia. Deoarece marea majoritate a modelelor econometrice pot fi liniarizate, un model multifactorial, in forma generala, se prezinta astfel:

y _t = b ₀ x _0t + b ₁ x _1t + b ₂ x _2t     + .+ b _j x _jt + .+ b _k x _kt + u _t (3.1)

unde:

, n = numarul termenilor seriilor statistice;

, k = numarul variabilelor exogene,

ceea ce analitic devine:

unde: x ₀ = (1, 1, .,1) reprezinta variabila ce se ataseaza termenului liber, ale carei valori x _{t 0} sunt egale cu unitatea

Definind cu:

vectorul coloana al variabilei endogene (y _t ) de dimensiune (n, 1);

matricea variabilelor exogene (x_j) de dimensiune (n, k + 1);

vectorul coloana al parametrilor (b _j) de dimensiune (k + 1, 1);

vectorul coloana al variabilei aleatoare (u _t ) de dimensiune (n, 1).

Relatia (3.1), sub forma matriceala, devine:

Y = XB + U (3.3)

Relatia (3.3) se mai poate scrie astfel:

(3.4)

Functia de regresie corespunzatoare modelului, scrisa sub forma unei ecuatii matriceale, este:

(3.5)

Reziduurile _t (estimatiile variabilei aleatoare u) se definesc astfel:

(3.6)

unde: = valorile estimate (ajustate) ale variabilei Y.

In cazul unui model multifactorial parametrii pot fi estimati prin intermediul mai multor metode cum ar fi: metoda punctelor empirice, metoda punctelor medii, metoda celor mai mici patrate (M.C.M.M.P.), metoda verosimilitatii maxime etc.

Metoda punctelor empirice si metoda punctelor medii sunt folosite in cazul modelelor in care aplicarea metodei celor mai mici patrate este anevoioasa, necesitand calcule complicate, de regula pentru functiile neliniare (functia logistica).

Metoda celor mai mici patrate este metoda cel mai des utilizata. In cazul unui model multifactorial aplicarea acesteia presupune minimizarea functiei:

care implica calculul derivatei functiei in raport cu estimatorul si anularea acesteia:

(3.8)

T

In cazul in care matricea (X'X) admite inversa, prin inmultirea la stanga a ecuatiei matriceale (3.9) cu (X'X) ^{- 1} rezulta ca:

(3.10)

Estimatorii parametrilor se calculeaza astfel cu ajutorul relatiei:

(3.11)

Estimarea parametrilor unui model econometric multifactorial liniar se poate face si pe baza matricei variantelor si covariantelor si a matricei coeficientilor de corelatie liniara simpli.

Fie modelul:

Se insumeaza (3.12) si se imparte la n obtinandu-se ecuatia:

(3.13)

Se scade ecuatia (3.13) din (3.12) si rezulta:

(3.14)

Se noteaza cu:

Modelul (3.14), construit pe baza abaterilor centrate (standard) ale variabilelor, devine:

(3.15)

Valorile ajustate ale variabilei endogene se calculeaza cu ajutorul relatiei:

   

Estimarea parametrilor acestui model se realizeaza cu ajutorul M.C.M.M.P.:

Minimul acestei functii este dat de calculul derivatelor partiale in raport cu parametrii modelului:

(3.18)

Fiecare din ecuatiile sistemului de ecuatii (3.18) se imparte la n:

_{In final, sistemul de ecuatii se prezinta astfel:}

Estimatorii parametrilor se vor calcula astfel:

Termenul liber, , poate fi estimat din relatia (3.13), dupa calculul estimatorilor parametrilor si , astfel:

Matricea variantelor si covariantelor se defineste astfel:

(3.20)

sau, in cazul general:

(3.21)

unde:

este dispersia variabilei y;

este dispersia variabilei (

Dispunand de matricea V, estimatorii se calculeaza cu ajutorul relatiei:

(3.22)

unde:

determinantul matricei variantelor si covariantelor din care se elimina linia y si coloana

determinantul matricei variantelor si covariantelor din care se elimina linia y si coloana y.

Raportul de corelatie multipla poate fi exprimat cu ajutorul matricei variantelor si covariantelor astfel:

Estimarea parametrilor modelului cu ajutorul matricei coeficientilor de corelatie liniara presupune efectuarea urmatoarelor operatii:

- se inmulteste relatia (3.15) cu si

(3.24)

- abaterile standard normate se noteaza cu:

- relatia (3.24) devine:

(3.25)

- functia de regresie corespunzatoare este urmatoarea:

(3.26)

- se estimeaza parametrii modelului, cu ajutorul M.C.M.M.P., care presupune minimizarea functiei:

T

Se stie ca: si

In acest caz, sistemul de ecuatii normale (3.27) devine:

(3.28)

Matricea coeficientilor de corelatie liniara simpla a variabilelor se defineste:

(3.29)

sau, in cazul general:

(3.30)

Dispunand de aceasta matrice estimatorii se calculeaza pe baza relatiei urmatoare:

(3.31)

unde:

determinantul matricei R din care s-a eliminat linia y si coloana

determinantul matricei R din care s-a eliminat linia y si coloana y.

Cu ajutorul acestei matrici se pot calcula:

- coeficientii de corelatie partiali

(3.32)

(3.33)

- raportul de corelatie multipla

(3.34)

4 Ipoteze pentru estimarea parametrilor

Aplicarea M.C.M.M.P. in cazul unui model multifactorial se fundamenteaza pe cateva ipoteze si anume:

I₁: Variabilele y, x₁,. x_k nu sunt afectate de erori de masura.

I₂: Variabila aleatoare (reziduala) U este de medie nula M(u₁)= M(u₂) = .= M(u_n) = 0 iar dispersia ei s _u este constanta si independenta de variabilele exogene X_j - ipoteza de homoscedasticitate.

I₃: Valorile variabilei reziduale U sunt independente, respectiv nu exista fenomenul de autocorelare a erorilor, cov (u ₁, u _n) = 0,

I₄: Legea de probabilitate a variabilei reziduale este legea normala de medie zero si de abatere medie patratica s _u.

In afara acestor ipoteze care sunt aceleasi si in cazul unui model unifactorial, exista o ipoteza specifica modelului multifactorial si anume - I₅: Variabilele exogene X_j sunt independente intre ele, formand un sistem de vectori liniari independenti. In caz contrar apare fenomenul de multicoliniaritate care implica imposibilitatea calcularii matricii inverse(X'X)^-1, precum si a estimarii parametrilor.

Daca ipotezele I₁,.,I₅ exista, atunci se pot demonstra urmatoarele:

, estimatiile variabilei reziduale U,

unde: = valorile empirice ale variabilei endogene Y;

= valorile teoretice ale variabilei endogene calculata pe baza functiei de regresie - sau

= estimatia dispersiei a variabilei reziduale u, n fiind numarul de observatii, iar k numarul variabilelor explicative;

    estimatiile dispersiilor parametrilor

unde: c_ij = elementul (j+1) situat pe diagonala principala a matricei inverse (X'X)^-1,

- media conditionata a variabilei Y in functie de valorile factorilor X_j la momentul t, este egala cu

   

- dispersia conditionata a variabilei Y (eroarea de estimare a acesteia) se calculeaza cu ajutorul relatiei:

unde: este vectorul coloana al valorilor variabilelor factoriale X_j, in momentul t, de dimensiune (1, k + 1), iar transpusa matricei X_t.

5Verificarea semnificatiei modelului

Verificarea semnificatiei modelului presupune: verificarea ipotezelor de aplicare a M.C.M.M.P., verificarea semnificatiei estimatorilor, a verosimilitatii modelului si a semnificatiei raportului de corelatie.

In aceasta etapa este necesara verificarea < a posteriori > a ipotezelor de aplicare a M.C.M.M.P. deoarece, in general, estimarea parametrilor se efectueaza in urma acceptarii apriorice a valabilitatii ipotezelor enuntate.

Verificarea ipotezelor I₁, I₂, I₃ si I₄, ca si testarea estimatorilor , a modelului si a raportului de corelatie se face dupa aceleasi principii prezentate in cazul regresiei unifactoriale.

Verificarea ipotezei I₅ presupune ca variabilele exogene sa formeze un sistem de vectori liniari independenti, respectiv variabilele exogene sa nu fie corelate.

Opusul acestui fenomen il reprezinta multicoliniaritatea variabilelor exogene, care este un fenomen foarte frecvent in domeniul economic, datorita multiplelor relatii de dependenta si interdependenta dintre fenomenele economice. In acest scop se impune o abordare econometrica in scopul depistarii si eliminarii acestuia.

Depistarea fenomenului de multicolinearitate se poate face cu ajutorul mai multor procedee cum ar fi:

- reprezentarea grafica a seriilor de valori corespunzatoare variabilelor explicative (vezi Figura nr. 5.1). In cazul in care se constata analogii in evolutie, acestea indica existenta unei corelatii suficient de intense intre variabilele respective.

Figura nr. 5.1

- calculul determinantului matricei X`X, D(X`X), in sensul ca, pe masura ce se apropie de zero, acesta indica o intercorelare din ce in ce mai stransa. Daca D(X`X < 0,1 se considera ca fenomenul de multicoliniaritate este prezent.

- calculul marimii coeficientului de determinare (R²). Aceasta valoare este comparata cu marimea aceluiasi coeficient obtinut in conditiile in care una dintre variabilele factoriale a fost omisa din model. In cazul in care valorile coeficientilor sunt apropiate ca marime se poate considera ca variabila omisa este coliniara cu celelalte variabile factoriale. Absenta acestei variabile din model ar fi de dorit intrucat ar conduce la diminuarea multicoliniaritatii fara a afecta semnificativ gradul de determinare a factorilor asupra variabilei efect.

- testele statistice Student, t- utilizat in vederea verificarii semnificatiei parametrilor modelului, si Fisher-Snedecor, F- utilizat in vederea verificarii semnificatiei modelului. In cazul in care testul F semnaleaza semnificatie, iar testul t , aplicat aceluiasi model, semnaleaza nesemnificatii in randul parametrilor, acest lucru reprezinta un indiciu ca multicoliniaritatea este prezenta.

Efectele multicoliniaritatii sunt proportionale cu intensitatea prezentei acesteia in randul variabilelor explicative. Valorile estimatorilor parametrilor modelului sunt afectate, avand drept consecinta deformarea acestor valori intr-o asemenea masura, incat devine neinteligibila influenta separata a variabilelor explicative asupra variabilei efect. Multicoliniaritatea afecteaza, de asemenea, si gradul de determinare a factorilor asupra variabilei efect, in sensul diminuarii sale.

Atenuarea multicoliniaritatii poate fi realizata astfel:

- datorita faptului ca seriile de date privind variabila efect si factorii sai determinanti sunt alcatuite, de cele mai multe ori, dintr-un numar redus de termeni (n < 10), se recomanda includerea de termeni suplimentari (n > 15), astfel incat, eventualele analogii, datorate hazardului, sa fie, pe cat posibil, eliminate;

- in situatia in care doua variabile cauzale sunt intens corelate (una dintre ele este coliniara cu cealalta), se poate renunta la una dintre ele, considerandu-se ca variabila omisa este exprimata de cea retinuta in model;

- daca datele sunt prezentate sub forma de serii cronologice, se pot calcula diferentele de ordinul 1 - D = y_t - y_t-1 - sau pot fi logaritmate valorile lui Y_t, X_j in scopul atenuarii coliniaritatii cauzate de prezenta trendului in cadrul seriilor de date;

- utilizarea de serii de date formate in optica transversala (serii sincrone) poate constitui o modalitate de diminuare sau chiar de eliminare a interdependentei factorilor Aceasta situatie este valabila in cazul in care observarea se refera la un esantion statistic de intreprinderi, judete, familii etc. Ca urmare a faptului ca datele sunt culese pentru aceeasi perioada de timp, pe baza aceleasi metodologii, dar in conditii diferite de manifestare a factorilor, exista sanse mai mari ca ipoteza privind independenta factorilor sa fie regasita in setul de date.

Eliminarea fenomenului de multicoliniaritate poate fi realizata cu ajutorul urmatoarelor procedee:

Metode apriorice - sunt utilizate in vederea selectarii si ordonarii introducerii in model a variabilelor explicative. Una dintre aceste metode este metoda regresiei iterative care consta in:

- calculul matricei coeficientilor de corelatie liniara corespunzatori variabilelor exogene. Aceasta matrice rezulta in urma eliminarii liniei y si coloanei y din matricea coeficientilor de corelatie liniara corespunzatoare modelului, respectiv:

Pe baza acestei matrice se fundamenteaza metoda regresiei pas cu pas. Prima operatie consta in depistarea fenomenului de coliniaritate dintre variabilele exogene. Daca in matricea coeficientilor de corelatie exista doua variabile explicative al caror coeficient de corelatie liniara indica o corelatie puternica, pozitiva sau negativa, se recomanda de la inceput renuntarea la una dintre aceste variabile. Se va retine acea variabila pentru care exista prezumtia ca nu este afectata de erori, renuntarea facandu-se din punct de vedere statistic si economic.

A doua operatie consta in aplicarea metodei regresiei pas cu pas. Aceasta poate fi folosita in doua maniere: ascendent si descendent.

Metoda regresiei pas cu pas ascendenta porneste de la analiza coeficientilor de corelatie . Conditia ca prima variabila sa fie introdusa in model este data de relatia:

(5.2)

Fie (5.3)

Se calculeaza coeficientii de corelatie partiala , unde

La pasul 2 se introduce variabila x care prezinta cea mai puternica corelatie cu , respectiv

Fie variabila noua ce va fi introdusa in model:

Se calculeaza () si se introduce in model variabila cea mai puternic corelata cu si se continua procedeul.

Toate aceste modele obtinute pe parcurs se testeaza cu ajutorul testelor cunoscute, "t " si "F ", urmarindu-se si verificarea conditiei : (5.5), adica are loc o crestere progresiva a coeficientului de determinare R².

Metoda regresiei pas cu pas descendenta presupune construirea modelului:

(5.6)

pentru care se calculeaza abaterile corespunzatoare parametrilor. Vor fi eliminate din model acele variabile pentru care se realizeaza conditia : (5.7)

Dupa ce se elimina variabilele pentru care se verifica conditia respectiva se construieste modelul numai in functie de variabilele ramase, considerate ca avand o influenta semnificativa, conform pasului 1.

Fie se elimina variabila x₂. Se construieste modelul:

(5.8)

Se compara cei doi coeficienti de determinare si trebuie sa rezulte ca ei sunt aproximativ egali. Eliminarea variabilei x₂ nu diminueaza cu nimic gradul de performanta al modelului.

2. O alta categorie de metode care poate fi folosite la selectia variabilelor factoriale sunt metodele aposteriorice, care constau in construirea de modele econometrice cu toate variabilele explicative si acceptarea acestora ca variabile exogene semnificative numai dupa verificarea testelor statistice care valideaza aceasta ipoteza. Aceste metode se bazeaza pe definirea si interpretarea gradului de performanta al modelului. Astfel, coeficientii de performanta globala se calculeaza cu ajutorul relatiei: (5.9), iar coeficientii de performanta partiala cu relatia: (5.10).

In acest sens se construieste modelul:

, pentru care se calculeaza variatia explicata de variabila reziduala -

(5.11)

unde: j = 0, 1, .q, ., k; k = numarul variabilelor exogene

, n = numarul observatiilor.

Pe baza acestui model se pot defini urmatoarele notiuni:

a)      coeficientii de performanta globala ai unui model format din 1,2,.,q,., k variabile explicative in raport cu modelul initial M₀

(5.12)

b)      coeficientii de performanta partiala ai unui model M_q+1 fata de M_q

(5.13)

Aceasta relatie poate fi folosita in cazul regulei de acceptare a introducerii sau excluderii variabilei x_q+1.

(5.14)

Variabila x_q+1 este semnificativa daca: (5.15)

Aceasta regula are o deficienta deoarece a fost construita pe baza raportului de corelatie, R, care a fost calculat cu ajutorul relatiei:

(5.16)

Acesta nu tine seama de doua neajunsuri care apar in cazul modelului multifactorial, respectiv de numarul de observatii pe baza carora au fost estimati parametrii modelului si de numarul variabilelor factoriale ale modelului.

Pentru eliminarea acestor vicii ale raportului de corelatie clasic, acesta se inlocuieste cu raportul de corelatie ajustat (corectat) a carui relatie de calcul este urmatoarea:

(5.17)

OBS. Numarul observatiilor trebuie sa fie mai mare decat numarul parametrilor modelului,

De asemenea, se observa ca, in cazul unui model unifactorial (k = 1), cele doua raporturi de corelatie sunt egale. In cazul in care k > 1 T

O alta problema care se ridica este aceea privind alegerea celui mai bun model multifactorial din grupul modelelor posibile construite in functie de factorii explicativi.

Rezolvarea acestei probleme permite atat alegerea celui mai bun model cat si eliminarea multicoliniaritatii.

Un model multifactorial este de forma:

y = f ( x₁, .x_j, .x_k ) + u

Pe baza celor x_k variabile factoriale se pot construi urmatoarele modele caracterizate prin suma patratelor abaterilor sau prin raporturile de corelatie

- M : y = f (x₁) + u₁ ; S u ₁ ² ;

- M : y = f (x₁ , x₂ ) + u ₂ ; S u ₂ ² ;

M

- M _j : y = f (x₁, .x_j ) + u _j ; S u _j ² ; (5.18)

M

- M _k : y = f (x₁, .x_k ) + u _k ; S u _k ² ;

_{In mod logic, introducerea unei variabile factoriale intr-un model econometric este justificata daca:}

S u ₁ ² > S u ₂ ² > K> S u _j ² > K> S u _k² (5.19)

_{Pe baza celor doua relatii, alegerea celui mai bun model econometric se poate face pe baza urmatoarelor restrictii:}

_{- fie}

_{- fie}

_{unde: k = numarul variabilelor explicative (exogene).}

_{Aceste doua restrictii trebuie completate de urmatoarele calcule:}

In cazul in care diferentele dintre sumele patratelor erorilor sau dintre raporturile de corelatie ajustate (corectate) a doua modele cu un numar diferit de variabile exogene, respectiv M _k si M _q (q k, k > q) nu sunt evidente, acceptarea unuia dintre modele se poate realiza cu ajutorul testului Fisher - Snedecor care consta in verificarea inegalitatii:

-daca (5.19)

rezulta ca intre cele doua modele exista diferente semnificative, iar cel mai bun model va fi ales in conformitate cu restrictiile mentionate anterior.

- daca , atunci diferentele dintre cele doua modele nu sunt semnificative, rezulta ca se alege modelul cu numarul de variabile explicative cel mai mic.

In vederea aplicarii acestui test se definesc urmatoarele marimi:

reprezinta suma patratelor erorilor corespunzatoare modelului M _k ;

reprezinta suma patratelor erorilor corespunzatoare modelului M _q ;

, n = numarul observatiilor;

- j = 0, 1, ,q, , k; k = numarul variabilelor exogene;

- v₁= k - q , v₂= n-k-1, v₁ si v₂= numarul gradelor de libertate.

6. Simulare si prognoza

Daca in urma etapei de verificare a semnificatiei modelului au fost satifacute conditiile cerute de testele si ipotezele prezentate mai sus, atunci se poate afirma faptul ca modelul este corect specificat, identificat si estimat si, ca atare, poate fi utilizat la prognoza si simularea fenomenului analizat.

In cazul unui model multifactorial, daca se cunosc valorile variabilelor factoriale X_j pentru momentul (n+v), prognoza variabilei endogene se realizeaza pe baza unui interval de incredere, deoarece Y este o variabila aleatoare normala de medie si de abatere medie patratica (vezi ipotezele H₁ si H₄ ale M.C.M.M.P.):

(6.1)

unde:

- y _{n +v} = valoarea reala a variabilei y in momentul de prognoza (

estimatia punctuala a valorii de prognoza pentru variabila y, care se calculeaza cu ajutorul relatiei:

Sub forma matriceala, relatia de mai sus devine:

unde:

= vectorul coloana a valorilor de prognoza ale variabilelor pentru momentul (

t_a;v variabila aleatoare Student (sau variabila normala z , daca n>30), preluata din tabelul distributiei respective, in functie de pragul de semnificatie a si de numarul gradelor de libertate v = n -k - 1 ;

(6.4) reprezinta abaterea de prognoza a variabilei endogene Y, care exprima eroarea de previziune.

Eroarea de previziune () este cu atat mai mica cu cat numarul de observatii va fi mai mare, cu cat valorile variabilelor in momentul de prognoza (n+v) vor fi mai apropiate de media lor, cu cat dispersiile variabilelor exogene X_j vor fi mai mari si cu cat dispersia variabilei reziduale (s _u²)     este mai mica.

Dispersia variabilei reziduale (s _u²) va fi cu atat mai mica cu cat modelul econometric va explica o parte tot mai mare din variatia variabilei prognozate Y, sau cu cat raportul de corelatie () va avea o valoare mai apropiata de 1.

Bibliografie

1. Baltagi, B., - Econometrics, Springer, Berlin, 1999

2. Giraud R., Chaix N. - conomtrie, PUF, Paris, 1989

3. Greene H.,W., Econometric Analysis, Macmillan Publishing Company, New York, 1993

Gujarati, R., N., - Basic Econometrics, 3^rd ed., Mc Graw-Hill, New York, 1995

5. Gujarati, R., N., - Essentials of Econometrics ,Mc Graw-Hill, New York, 1998

Johnston, J., - Econometric Methods, 3^rd ed., Mc Graw-Hill, New York, 1984

Labrousse, C. - Introduction a l' conomtrie, Dunod, Paris, 1972

8. Maddala, G., S., - Introduction to Econometrics, 3^rd ed., McMillan Co., New York, 1992

Pecican, E., Tanasoiu, O., - Econometrie, lito ASE, Bucuresti, 1989

Pecican, E., - Econometrie, Editura ALL, Bucuresti, 1994

Pecican, E., - Finante, banci si econometrie, Editura Economica, Bucuresti, 2000

12. Pindyck, R., S., Rubinfeld, D., S., - Econometric Models and Economic Forecasts, 5^nd ed., Mc Graw-Hill, New York, 1981

13. Vangrevelinghe, G., - conomtrie, Hermann Collection Mthodes, Paris, 1983