MARIMILE MEDII - Media aritmetica

MARIMILE MEDII

Notiuni teoretice privind marimile medii

Media aritmetica

Modul

Mediana. Quantilele

Mediala

Marimi medii cu aplicatie speciala

Relatii intre valorile marimilor medii

Notiuni teoretice privind marimile medii

In centrul metodelor si tehnicilor elaborate de statistica pentru reprezentarea sintetica a colectivitatilor se situeaza marimile medii.

In prima jumatate a secolului al XIX- lea, media devine in statistica o categorie atat de insemnata, incat unii statisticieni legau de ea insusi obiectul statisticii. Statisticienii au fost preocupati de cautarea unor tehnici de calcul superioare, dar si de ideea de a justifica stiintific notiunea de medie. S-a ajuns astfel ca media sa reprezinte o categorie metodologica specializata, cea mai cuprinzatoare si specifica statisticii, cu forme de calcul variate.

Statistica a elaborat o teorie a mediei, teorie bazata pe principiul compensarii reciproce a influentei factorilor intamplatori, neesentiali.

Reglarea influentei factorilor intamplatori ce intervin in dezvoltarea fenomenelor de masa se realizeaza conform asa-numitei legi a numerelor mari. Enuntata de Jakob Bernoulli inca din sec. 18, aprofundata de matematicianul Poisson (care ii da si numele de lege a numerelor mari), aceasta lege stabileste in esenta ca in cercetarea unui fenomen de masa, cu cat se cuprinde un nr. mai mare de cazuri, cu atat erorile intamplatoare isi vor micsora mai mult influenta asupra nivelurilor reprezentative ale fenomenului.

Media este o metoda de separare a influentelor venite pe calea factorilor intamplatori in dezvoltarea colectivitatilor.

Media este o categorie metodologica a statisticii avand rolul de a caracteriza in mod sintetic nivelurile individuale ale unei caracteristici definite intr-o colectivitate statistica, scotand in evidenta ceea ce este esential, legic in continutul acelei caracteristici.

In statistica contemporana se utilizeaza un numar mare de marimi medii care difera intre ele atat prin definitia lor, prin modul de calcul, cat si prin continutul si rolul lor specific pe care il au in cercetarea statistica.

Astfel, se cunosc:media aritmetica, media cronologica, media patratica, mediile mobile, media armonic, media geometrica, mediana, modul, mediala etc.

In functie de modul de determinare, marimile medii sunt:

-marimi medii de pozitie, ce cuprind: mediana, modul si mediala si se determina prin identificarea termenului care cuprinde in serie grupa elementelor normale, reprezentative.

-marimi medii de calcul, cuprind toate celelalte medii.

In calculul acestor medii se succed 2 operatii matematice:

-acumularea tuturor nivelurilor individuale (realizata prin insumare sau produs),

-revenirea la un nivel reprezentativ pentru toti termenii inclusi in calcul (realizata prin impartire sau extragere de radical).

Dupa locul pe care-l ocupa in practica statisticii, marimile medii pot fi:

- marimi medii fundamentale, cuprind media aritmetica, mediana, modul si se utilizeaza in mod curent in statistica,

- marimi medii cu aplicatie speciala, cuprind media geometrica, patratica, armonica, mobila, progresiva, medii care se utilizeaza in cazuri speciale.

In functie de felul seriei pentru care se calculeaza, marimile medii sunt:

medii simple, se calculeaza in serii simple,

medii ponderate, se calculeaza in serii cu frecvente.

Indiferent de natura lor, marimile medii trebuie sa satisfaca mai multe conditii generale, cunoscute in literatura de specialitate sub denumirea de conditiile lui Yule, dupa numele statisticianului englez care le-a formulat pentru prima data.

Aceste conditii sunt:

-marimile medii trebuie definite in mod precis si obiectiv, indiferent de aprecierea subiectiva a fiecarui cercetator;

-marimile medii trebuie sa fie reprezentative, adica sa reprezinte toti termenii seriei;

-media trebuie sa aiba o semnificatie concreta, usor de conceput si observat chiar pentru nespecialisti;

-media trebuie sa fie simplu de calculat si sa se preteze la calcule algebrice ulterioare;

-media trebuie sa fie cat mai putin sensibila la fluctuatiile de selectie. Adica, indiferent prin ce esantioane s-ar obtine datele asupra unei colectivitati, media rezultata trebuie sa fie aproximativ aceeasi.

In general, nu toate aceste conditii pot fi satisfacute de orice marime medie.

Media aritmetica

Definitie si mod de calcul

Media aritmetica este cel mai des utilizata in practica statisticii, facand parte din categoria mediilor fundamentale si de calcul.

Notata cu , media se calculeaza atat pentru serii simple, cat si pentru serii cu frecvente.

Media aritmetica simpla se foloseste pentru seriile in care fiecare nivel al caracteristicii este purtat de o singura unitate statistica.

Calculul acestei medii presupune insumarea nivelurilor individuale ale caracteristicii si impartirea la numarul lor.

Consideram seria: x₁, x₂, x₃,,x_n. Media aritmetica se va calcula astfel:

sau , , n=volumul colectivitatii

Ex. Valoarea vanzarilor realizate la nivelul unei firme in 6 zile se prezinta astfel (mil. lei): 700, 650, 850, 750, 500, 450.

Sa se calculeze valoarea medie zilnica a vanzarilor firmei.

mil. lei.

Media aritmetica ponderata se foloseste in cazul seriilor cu frecvente. In acest caz, se va tine seama de marimea frecventei corespunzatoare fiecarui nivel al caracteristicii.

Daca x₁, x₂, x₃,,x_m sunt niveluri individuale ale ale caracteristicii, iar n₁, n₂, n₃,,n_m nivelurile corespunzatoare frecventelor, atunci media ponderata se va calcula astfel:

sau

Ex. Gruparea salariatilor dupa productia orara (buc.):

Sa se determine productia medie orara.

buc.

Cand intr-o serie calitativa cu atribut cantitativ, caracteristica este data sub forma de intervale, inainte de a aplica relatia de calcul a mediei, se va proceda la inlocuirea fiecarui interval prin cate o singura varianta a caracteristicii. Aceasta varianta este data de centrul intervalului, determinat ca o medie aritmetica simpla a limitelor intervalelor.

Ex. Gruparea muncitorilor dupa timpul nefolosit productiv zilnic (minute):

Sa se determine timpul nefolosit productiv zilnic in medie de un muncitor.

minute.

Din definitia mediei aritmetice rezulta ca aceasta este sensibila la prezenta valorilor aberante, adica daca seria are o valoare cu mult diferita ca marime fata de celelalte valori, atunci media nu mai exprima seria. In astfel de cazuri se elimina valoarea aberanta in vederea calcularii unei medii reprezentative.

Proprietati ale mediei aritmetice

Media aritmetica are o serie de proprietati:

1. Media aritmetica este o valoare interna a unei serii

Aceasta proprietate exprima faptul ca media aritmetica a unei variabile statistice este cuprinsa intre cea mai mica si cea mai mare valoare a caracteristicii.

< <

2. Media aritmetica a unui sir de valori constante este egala cu acea constanta

Daca in seria x₁, x₂, x₃,, x_i,,x_m

n₁, n₂, n₃,,n_m

consideram ca x₁=x₂= x₃== x_i==x_m=k,

atunci:

3. Media aritmetica este asociativa

Daca se inlocuiesc, in cadrul unei serii statistice, mai multe niveluri individuale ale caracteristicii cu media lor, atunci media seriei nu se schimba. In particular, daca intr-o serie statistica se inlocuiesc toate nivelurile individuale ale caracteristicii cu media lor, atunci valoarea totala a caracteristicii ramane neschimbata.

4. Media aritmetica este translativa

Daca se micsoreaza fiecare nivel individual al caracteristicii dintr-o serie cu o cantitate constanta "a", media se micsoreaza cu acea constanta.

Pe baza acestei proprietati, rezulta urmatoarele formule de calcul simplificat a mediei aritmetice:

-pt. serii simple:

-pt. serii ponderate:

Pentru o simplificare maxima a calculelor, constanta "a" se alege egala cu un nivel al caracteristicii din centrul sirului x_i.

e.       Daca se micsoreaza fiecare varianta a caracteristicii de un anumit numar de ori "k", atunci media seriei se micsoreaza de acelasi numar de ori.

Se obtin urmatoarele relatii:

-pt. serii simple:

-pt. serii ponderate:

Pentru obtinerea unor simplificari maxime a calculelor, valoarea constantei "k" se alege egala cu cel mai mare divizor comun al variabilelor x_i.

f.       Daca frecventele seriei se micsoreaza de un numar "c" de ori, atunci media aritmetica ramane neschimbata.

Aceasta proprietate se aplica numai seriilor cu frecvente.

Valoarea constantei "c" se considera agela cu cel mai mare divizor comun al frecventelor, pentru a obtine o simplificare mai mare a calculelor.

g.      Suma algebrica a abaterilor nivelurilor individuale ale caracteristicii de la media lor este egala cu zero.

Aceasta proprietate ne arata ca media caracteristicii este o valoare reprezentativa a seriei.

Utilizand concomitent proprietatile enuntate se obtin urmatoarele formule de calcul simplificat al mediei aritmetice:

-pt. serii simple:

-pt. serii ponderate:

Ex. Gruparea muncitorilor dupa nr. de piese realizate lunar se prezinta astfel:

Sa se determine nr. mediu de piese realizate lunar de un muncitor cu ajutorul calculului simplificat al mediei aritmetice.

-media aritmetica ponderata: piese

-calcul simplificat: piese.

Media unei caracteristici alternative

Caracteristicile alternative sunt acele caracteristici la care, pentru fiecare unitate, apare fie forma sa de manifestare directa, fie opusul ei.

Unitatile colectivitatii se pot imparti in doua parti:

-unele la care se inregistreaza forma directa de manifestare a unei caracteristici;

-altele la care se inregistreaza opusul ei.

Pentru a le exprima numeric se vor considera in mod conventional variantele cu raspuns afirmativ ca avand valoarea 1, iar variantele cu raspuns negativ ca avand valoarea zero.

Daca notam cu "n" numarul total al unitatilor colectivitatii si cu "n₁" efectivul acelor unitati care au valoarea 1, atunci efectivul celor care nu poarta acea caracteristica va fi (n-n₁).

Media, in cazul caracteristicii alternative, este egala cu ponderea unitatilor care poarta caracteristica in totalul unitatilor colectivitatii. Aceasta se noteaza cu "p" si se calculeaza astfel:

Media unitatilor care nu poarta acea caracteristica se noteaza cu "q" si se determina astfel:

Intre p si q se verifica relatia:

p+q=1.

Ex. Dintr-un lot de 500 de piese supuse controlului de calitate s-au gasit 60 de piese rebut. Sa se determine media rebuturilor din lot si media unitatilor care nu poarta caracteristica de rebut.

n=500

n₁=60

La fiecare 100 piese receptionate pot sa apara cate 12 rebuturi.

p+q=0,12+0,88=1.

Modul

Denumit si dominanta, modul face parte din marimile fundamentale de pozitie.

Modul este valoarea caracteristicii cel mai des observata intr-o distributie, respectiv valoarea ce corespunde frecventei dominante. Ca urmare, modul se determina numai in cazul seriilor cu frecvente.

In cazul seriilor in care caracteristica se prezinta sub forma de variante, pentru aflarea modului parcurgem etapele:

-se gaseste frecventa maxima a seriei;

-se identifica modul ca fiind valoarea caracteristicii corespunzatoare frecventei maxime.

Daca seria este plurimodala, atunci modul este dat de valoarea caracteristicii care se intalneste cel mai frecvent.

Ex. Gruparea muncitorilor dupa productia lunara (metri) se prezinta astfel:

Sa se determine productia medie lunara pe un muncitor cu ajutorul modului.

-frecventa maxima = 60

-modul = 170.

Pentru seriile in care caracteristica se prezinta sub forma de intervale de variatie, determinarea modului se poate realiza prin calcul si pe cale grafica.

Prin calcul se parcurg operatiile:

-aflarea frecventei maxime;

-identificarea intervalului modal, ca interval al caracteristicii corespunzator frecventei maxime;

-aplicarea relatiei de calcul a modului:

, unde:

x₀ = limita inferioara a intervalului modal,

d = marimea intervalului modal,

= diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului anterior celui modal,

= diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului urmator celui modal.

Pe cale grafica, modul se determina pe baza histogramei. Se reprezinta grafic seria cu ajutorul hististogramei, urmand apoi determinarea punctului densitatii maxime a frecventelor, in cadrul intervalului modal. Pentru aceasta, in coloana cea mai inalta, corespunzatoare intervalului modal, se traseaza diagonalele care unesc colturile bazei de sus a acestuia cu colturile coloanelor vecine. Din punctul lor de intersectie se coboara perpendiculara pe axa absciselor si marimea obtinuta este modul.

Modul are avantajul de a fi determinat foarte rapid si are semnificatie directa, simpla. Se utilizeaza pentru a obtine o prima estimare a valorii centrale a unei distributii.

Ex. Gruparea salariatilor unui atelier dupa productia zilnica (metri) se prezinta astfel:

Sa se determine productia medie zilnica cu ajutorul modului, prin calcul si grafic.

-frecventa maxima = 15,

-interv. Modal = (14-18),

- m

Mediana

Mediana este valoarea centrala a unei colectivitati, ea impartind efectivul, ordonat dupa marimea caracteristicii, in doua parti egale.

Pentru a calcula mediana, se determina mai intai unitatea mediana, ca unitate care imparte in 2 parti egale efectivul unei colectivitati.

Mediana poate fi definita ca valoare a caracteristicii purtate de unitatea mediana.

Metodologia de calcul a medianei este diferita dupa natura seriei luate in calcul.

Pentru serii simple se intalnesc doua situatii:

-seria are un numar impar de termeni, cand mediana este acea varianta a caracteristicii cu rangul , dupa ce in prealabil seria a fost ordonata crescator, unde n = nr. termenilor.

Ex. Pp. ca 9 echipe de muncitori realizeaza zilnic urmatoarea productie (nr. piese): 30, 25, 10, 27, 18, 9, 20, 11, 22. Sa se determine productia medie zilnica cu ajutorul medianei.

ordonam seria in sens crescator:

calculam rangul medianei =

Me va fi al 5-lea termen al seriei ordonate

Me = 20 piese.

-seria are un numar par de termeni, situatie in care mediana este data de semisuma termenilor centrali ai seriei ordonate.

Ex. Sa se determine productia medie saptamanala a unei firme, cu ajutorul medianei, pe baza datelor (mii tone):

30, 28, 35, 25, 40, 32

- ordonam seria in sens crescator:

- Me = mii t.

Pentru seriile cu frecvente, mediana se poate obtine prin calcul si grafic. Si aici intalnim 2 situatii:

-cand caracteristica se prezinta sub forma de variante, pentru obtinerea medianei prin calcul, efectuam operatiile:

o       determinam sirul frecventelor cumulate N_i;

o       calculam unitatea mediana: ;

o       cautam locul unitatii mediane in sirul frecventelor cumulate, alegand un nivel egal sau mai mare decat aceasta;

o       se identifica mediana ca fiind nivelul caracteristicii corespunzator unitatii mediane.

Pe cale grafica, mediana se determina cu ajutorul curbei frecventelor cumulate - ogiva. Pe axa ordonatelor se fixeaza sirul frecventelor cumulate si locul unitatii mediane. Din acest loc se duce o paralela la axa absciselor pana intalneste curba. Din acest loc se coboara perpendiculara si marimea obtinuta pe axa absciselor este Me.

Ex. Gruparea persoanelor dupa timpul de deplasare (minute):

Sa se determine timpul mediu de deplasare prin intermediul medianei, prin calcul si grafic.

Me = 25 minute.

-cand caracteristica se prezinta sub forma de intervale de variatie, mediana se obtine prin calcul parcurgand urmatoarele etape:

o       se determina sirul frecventelor cumulate N_i;

o       se calculeaza unitatea mediana: ;

o       se identifica locul unitatii mediane pe sirul frecventelor cumulate, ca fiind un nivel egal sau mai mare decat aceasta;

o       se afla intervalul median, ca interval corespunzator unitatii mediane

o       se aplica formula de calcul a medianei:

, unde:

x₀ = limita inferioara a intervalului median;

d = marimea intervalului median;

Na = frecventa cumulata anterioara intervalului median;

n_Me = frecventa reala a intervalului median.

Pe cale grafica mediana se determina ca si in situatia precedenta cu ajutorul curbei frecventelor cumulate.

Ex. Gruparea salariatilor dupa productia zilnica (buc.) se prezinta astfel:

Sa se determine productia medie zilnica cu ajutorul medianei, prin calcul si grafic.

buc.

Mediana reprezinta o marime centrala a unei serii statistice, avand un continut esential comun cu cel al mediei aritmetice. Ea nu este insa o sinteza a tuturor elementelor componente ale seriei asa cum este media aritmetica. In determinarea sa se cuprinde numai intervalul caracteristicii termenului median, celelalte fiind neglijate. Mediana poarta caracterul de marime medie aproximativa.

Quantilele

Quantilele sunt marimi medii de pozitie din sistemul medianei. Sunt valori ale caracteristicii care impart seria intr-un numar de grupe cu efective egale. Quantilele folosite in mod obisnuit sunt cele care impart colectivitatea in patru, zece sau o suta de parti egale, numite quartile, decile, centile. Quantilele se folosesc in calculul unor indicatori ai dispersiei.

Quartilele

Sunt in numar de trei si impart efectivul colectivitatii in patru parti egale. Se determina astfel:

x₀ = limita inferioara a intervalului quattilic;

d = marimea intervalului quartilic;

U^Q1, U^Q2, U^Q3 = unitatile quartilice;

Na = frecventa cumulata anterioara intervalului quartilic;

n_Q1, n_Q2, n_Q3 = frecventele reale ale intervalului quartilic.

Pentru determinarea quartilelor se procedeaza astfel:

-se determina sirul frecventelor cumulate Ni;

-se calculeaza unitatile quartilice dupa relatiile:

; ;

-se cauta locul unitatilor quartilice pe sirul frecventelor cumulate;

-se identifica intervalele quartilice ca fiind intervalele corespunzatoare unitatilor quartilice;

-se aplica formula.

Quartilele se pot obtine si pe cale grafica cu ajutorul curbei frecventelor cumulate, asemanator medianei.

Ex. Gruparea firelor dupa rezistenta la rupere se prezinta astfel:

Sa se determine marimile medii de pozitie din sistemul medianei, prin calcul si grafic.

Intervalul quartilic 1 este (6-8).

x₀ = 6; d = 2; U^Q1= 27,5; Na = 21; n_Q1 = 1

Intervalul quartilic 2 este (10-12).

x₀ = 10; d = 2; U^Q1= 55; Na = 44; n_Q1 = 21.

Intervalul quartilic 1 este (12-14).

x₀ = 12; d = 2; U^Q1= 82,5; Na = 65; n_Q1 = 35.

Decilele

Sunt in numar de 9 si impart efectivul colectivitatii in 10 parti egale. Se determina in mod asemanator medianei si quartilelor, dupa relatiile:

D₅ = Me = Q₂

.

Centilele

Sunt in numar de 99 si impart efectivul colectivitatii in 100 parti egale. Se determina asemanator celorlalte marimi medii de pozitie din sistemul medianei.

Mediala

Reprezinta o alta medie de pozitie asemanatoare prin tehnica sa de calcul cu mediana.

Mediala reprezinta nivelul caracteristicii care imparte volumul total al colectivitatii in 2 parti egale.

Daca mediana imparte in 2 parti egale efectivul unei serii (), mediala imparte in 2 parti egale volumul total al colectivitatii ().

Calculul medialei se face similar cu cel al medianei, numai ca, in locul frecventelor cumulate, se vor considera produsele cumulate.

In cazul seriilor cu frecvente in care caracteristica este data pe variante, mediala se calculeaza in urmatoarele etape:

-se determina produsele;

-se calculeaza sirul produselor cumulate, notate cu L_i;

-se determina unitatea mediala conform relatiei: ;

-se cauta locul unitatii mediale pe sirul L_i, alegand un nivel egal sau mai mare decat acesta;

-se identifica mediala ca fiind nivelul caracteristicii corespunzator unitatii mediale.

Mediala se poate determina si e cale grafica, asemanator medianei, numai ca pe axa ordonatelor se fixeaza sirul L_i si apoi se traseaza curba frecventelor cumulate.

Ex. Distributia elevilor dintr-o scoala dupa rezultatele obtinute la un test (nr. puncte):

Sa se determine numarul mediu de puncte obtinut de un elev, cu ajutorul medialei, prin calcul si grafic.

≥ 1406

Ml = 8 puncte.

In cazul seriilor cu frecvente si caracteristica sub forma de intervale de variatie, mediala se determina tot prin calcul si grafic.

Prin calcul se parcurg operatiile:

-se determina produsele ;

-se calculeaza sirul produselor cumulate, notate cu L_i;

-se determina unitatea mediala conform relatiei: ;

-se cauta locul unitatii mediale pe sirul L_i, alegand un nivel egal sau mai mare decat acesta;

-se identifica intervalul medial, ca fiind intervalul caracteristicii corespunzator unitatii mediale;

-se aplica formula medialei: , unde:

x₀ = limita inferioara a intervalului medial;

d = marimea intervalului medial;

U^Ml = unitatea mediala;

La = produsul cumulat anterioar intervalului medial;

= produsul corespunzator intervalului medial.

Pe cale grafica, mediala se determina asemanator situatiei precedente.

Ex. Distributia dupa timpul de deplasare a unui esantion de persoane se prezinta astfel:

Sa se determine timpul mediu de deplasare cu ajutorul medialei prin calcul si grafic.

x_i = mijlocul intervalelor.

Interv. medial = 90-120.

x₀ = 90; d = 30; U^Ml= 7350; La = 7125; = 4725.

Marimi medii cu aplicatii speciale

Media cronologica

Media armonica

Mediile mobile

Media progresiva

Media geometrica

Media patratica

Media cronologica

Este o medie care are la baza principiul de calcul al mediei aritmetice, ea fiind aplicata la determinarea nivelului mediu al seriilor cronologice de momente.

Formula mediei cronologice este o adaptare a formulei mediei aritmetice la elementele seriilor cronologice.

Termenii seriei delimiteaza perioade de timp.

Daca "n" este numarul termenilor seriei, atunci numarul perioadelor delimitate de acestia este "n-1".

In functie de distanta dintre momentele de timp ale seriei, se va calcula:

-media cronologica simpla,

- media cronologica ponderata.

Media cronologica simpla se calculeaza cand momentele sunt egal distantate intre ele.

Pentru seria , .

Prin transformare, aceasta relatie devine: .

Ex. Numarul salariatilor unei firme intr-un semestru a evoluat astfel:

Sa se determine nr. mediu lunar al salariatilor.

salariati.

Media cronologica ponderata se calculeaza atunci cand intervalele de timp dintre termenii seriilor de momente sunt inegale.

In acest caz, mediile partiale, din care se calculeaza media intregii perioade, sunt ponderate cu durata perioadelor partiale dintre termenii seriei, notate cu t_i.

Ex. Numarul salariatilor unei firme la diferite momente de timp:

Sa se determine nr. mediu lunar al salariatilor.

t₁ = 1 luna, t₂ = 2 luni, t₃ = 2 luni, t₄ = 1 luna

Media armonica

Este definita ca o marime inversa a mediei aritmetice, calculata din marimile inverse ale caracteristicii.

Media armonica simpla

Media armonica ponderata

Media armonica este influentata mai mult de valorile mici ale seriei, pe cand media aritmetica este influentata de valorile mari.

In practica statisticii este utilizata, in special, in calculul indicelui mediu armonic ponderat.

Ex. Salariul mediu orar si fondul de salarii la 3 ateliere ale unei firme:

Sa se determine salariul mediu orar pe firma.

Mediile mobile

Se calculeaza ca un sir de medii aritmetice dintr-un numar determinat de termeni ai unei serii dinamice, luat prin deplasare consecutiva cu o unitate pe scara de variatie a timpului.

Mediile mobile sunt medii aritmetice pe grupuri din termenii seriei. Se pot calcula in 2 situatii:

-dintr-un nr. impar de termeni ai seriei;

-dintr-un nr. par de termeni ai seriei.

Consideram seria: .

-mediile mobile din cate 3 termeni:

, , , .

-mediile mobile din cate 4 termeni:

, ,, .

Mediile mobile se utilizeaza in ajustarea seriilor care caracterizeaza variatia sezoniera a fenomenelor economico-sociale. Pentru mediile mobile calculate dintr-un nr. impar de termeni se stabileste usor termenul seriei inlocuit prin media mobila. Nu acelasi lucru se intampla in cazul mediilor mobile calculate dintr-un nr. par de termeni. Pentru acestia se va proceda la centrarea mediilor mobile obtinute in prima etapa.

Centrarea consta in determinarea unor medii aritmetice din cate doua medii mobile consecutive.

Ex. Conflictele colective de munca si frecventa lor lunara au evoluat astfel:

Sa se determine numarul mediu al conflictelor de munca cu ajutorul mediilor mobile calculate din cate 5 si 6 termeni.

Medii mobile din cate 5 termeni

.

Medii mobile din cate 6 termeni

.

Centrarea mediilor mobile calculate din cate 6 termeni:

Media progresiva

Colectivitatile isi au progresivitatea lor, fie ca este privita in timp sau sub aspect calitativ.

Media progresiva reprezinta o medie a tipurilor de nivel calitativ superior in cadrul unei colectivitati date. In mod practic, media progresiva se gaseste intre media aritmetica generala a seriei si media termenilor calitativ superiori ai aceleiasi serii.

, unde:

= media generala a seriei;

= media termenilor calitativ superiori mediei generale.

In cazul fenomenelor in care superioritatea se exprima cantitativ printr-o regresie, se tine seama de acest specific al seriei. Ex.: costuri, cheltuieli, preturi, consumuri. In acest caz, se va calcula din termenii seriei mai mici decat media generala.

Ex. Evolutia productiei unor firme dintr-un sector de activitate (mld. lei):

Sa se determine productia medie a unei firme cu ajutorul mediei progresive.

mld. lei

mld. lei

mld. lei

Ex. Gruparea firmelor dupa cheltuielile materiale (mil. lei) se prezinta astfel:

Sa se determine nivelul mediu al cheltuielilor materiale pe o firma cu ajutorul mediei progresive.

mil lei

mil lei

mil lei

Media geometrica

Este una din cele mai importante medii cu aplicatii speciale.

Media geometrica este o medie calculata prin extragerea radacinii de un ordin egal cu numarul termenilor seriei, din produsul acestor termeni.

Media geometrica simpla

Media geometrica ponderata

In practica statisticii se utilizeaza ca metoda de calcul a ritmului de variatie in timp a fenomenelor.

Ex. Cifra de afaceri a unei firme creste cu 10% in primul an, cu 15% in urmatorii 2 ani si cu 18% in ultimul an al unei perioade de 4 ani observate.

Sa se determine cresterea medie anuala cu ajutorul mediei geometrice.

Media geometrica simpla

Cresterea medie anuala a cifrei de afaceri este de 1,145 ori sau cu 14,5%.

Media patratica

Este o marime medie calculata prin extragerea radacinii patrate din media aritmetica a patratelor termenilor seriei.

Media patratica simpla

Media patratica ponderata

Aplicatiile acestei medii sunt legate de determinarea abaterii medii patratice, o categorie metodologica a statisticii din sistemul dispersiei.

Ex. Gruparea persoanelor dupa veniturile saptamanale (mii lei):

Sa se determine veniturile medii saptamanale cu ajutorul mediei patratice.

mii lei.

Relatii intre valorile marimilor medii

Intr-o serie "ideala", caracterizata de o simetrie perfecta a distributiei unitatilor in colectivitate, mediile fundamentale - media aritmetica, mediana, modul si mediala - coincid.

In cazul unei curbe moderat asimetrice, mediana se situeaza de obicei intre media aritmetica si dominanta, la 1 3 din distanta dintre medie si dominanta, masurata de la medie. Aceasta se poate exprima prin relatia:

Alegerea celei mai potrivite si semnificative valori centrale cere, pe de o parte un examen atent al distributiei, iar pe de alta parte cere sa se tina seama de principalele particularitati ale valorilor centrale.

Media aritmetica, fiind o medie de calcul, este influentata de fiecare valoare a seriei, ca urmare este foarte sensibila la valorile extreme. Media aritmetica poate fi utilizata in calcule algebrice ulterioare.

Modul si mediana, fiind marimi medii de pozitie, sunt influentate mai mult de numarul decat de marimea valorilor unor serii, prin urmare, nu sunt influentate de valorile aberante.

Mediana, tinand seama doar de valorile ce ocupa o pozitie centrala, se poate calcula chiar si cand nu se cunosc limitele seriei.

Modul, fiind valoarea cea mai des intalnita, cea mai frecventa intr-o serie, este valoarea cea mai tipica sau cea mai probabila, dar netinand seama de toate valorile seriei ca si mediana, se gaseste sub semnul aproximarii.

De asemenea, mediana si modul, mai au dezavantajul de a nu fi utilizate in calcule algebrice, dezavantaj compensat insa de faptul ca sunt marimi foarte usor de obtinut.