Functia exponentiala

Functia exponentiala

1). Puteri cu exponent real

a). Puteri cu exponent real pozitiv

Fie a > 1. Se numeste puterea x a lui a un numar real y care, pentru orice numar natural n , satisface inegalitatile :

,

unde numarul real x>0 are reprezentarie zecimale si prin lipsa si repectiv prin ados cu o eroare mai mics decat .

Numarul y dat de definitia precedenta se noteaza si se citeste a la puterea x.

Fie 0 < a < 1 si x un numar real pozitiv. Se numeste puterea x a lui a un numar real y care, pentru orice numar natural n , satisface inegalitatile :

Atentie Oricare ar fi a > 0 si x > 0 are loc > 0.

b). Puteri cu exponent real negativ

Daca a > 0 si x > 0 este un numar real negative, atunci prin definitie are loc:

Prin conventie se scrie .

c). Proprietati ale puterilor cu exponent real

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

2). Functia exponentiala

Definitie. Functia f:R ), f(x) = , unde a > 0, a 1 se numeste functia exponentiala de baza a.

Proprietati

1). a). Daca a >1, atunci pentru x > 0 avem >1 ar loc > 1, iar pentru x < 0 are loc < 1.

b). Daca 0 <a <1, atunci pentru x > 0 avem <1, iar pentru x < 0 avem > 1.

2). Daca x = 0. atunci oricare ar fi a > 0 are loc

3). Pentru a > 1, functia exponentiala f:R ), f(x) = este strict crescatoare, iar pentru 0 < a < 1, functia este strict descrescatoare.

4). Functia exponentiala f:R ), f(x) =, a > 0, a 1 este bijectiva.

Demonstratie.Se arata ca f este injectiva. Fie, astfel incat . Atunci are loc sau . Sa presupunem, de exemplu, ca . Atunci, dupa monotonia functiei exponentiale, rezulta ca :

1). Daca a > 1, atunci si deci

2). Daca 0<a>1, atunci si deci

Analog, rezulta pentru

Deci f este injectiva.

Surjectivitatea nu se poate demonstra in clasa a X-a. Dar, daca se foloseste graficul, se observa ca oriceparalela dusa prin puncteale codomeniului (0, + ) graficul functiei este interesctat in cel putin un punct.

5). Functia exponentiala f:R ), f(x) =, a > 0, a 1 este inversabila. Inversa functiei exponentiale se numeste functie logaritmica.

3). Graficul functiei exponentiale

Graficul functiei exponentiale se construieste prin puncte.

Exemplu

Sa se construiasca graficul functiei f:R ), f(x) =, pentru

Se intocmeste un tablou de valori pentu cele doua cazuri :

Graficele celor doua functii sunt reprezentate mai jos :

Analizand cele doua grafice, constatam ca ele au urmatoarele proprietati :

1. Graficele se gasesc deasupra axei Ox ;
2. Trec prin punctul de coordonate (0, 1) ;

Graficul fiecarei functii este construit dintr-o singura ramura care ,,urca''

Graficul se apropie din ce in ce mai mult de axa Ox pozitiva daca daca 0<a<1 si de Ox     negativa daca a > 1.

CE TREBUIE SA STIM

Orice putere rationala de forma se poate scrie sub forma unui radical de forma

Daca a>1 este un numar real, atunci dintre doua puteri cu exponent rational pozitivale ale acestui numar, este mai mare acela al carei exponent este mai mare.

Daca 0 < a <1 este un numar real, atunci dintre doua puteri cu exponent rational pozitivale ale acestui numar, este mai mare acela al carei exponent este mai mic.

Prin numarul real se inteleg aproximarile:

Probleme rezolvate

E1. C3-1. Ce se intelege prin numarul real se inteleg aproximarile:

E1. C3-1. Rezolvare

E2. C31-1. Sa se demonstreze ca functia f:R ), f(x) = este strict crescatoare.

E2. C3-1. Rezolvare. Din , rezulta ca exista u > 0 astfel incat . Atunci si deoarece u > 0 dupa proprietatea functiei exponentiale rezulta ca . Asadar, de unde . Inseamna ca Tf strict crescatoare.

E3. C32-1. Sa se aduca la forma cea mai simpla

E3. C3-1. Rezolvare. Avem succesiv:

E4. C3-1. Sa se compare m si n daca este adevarata inegaitatea:

E4. C3-1. Rezolvare. Baza fiind subunitara , pentru adevarul inegalitatii rezulta m n

E5. C3-1. Sa se afle multimea valorilor lui x pentru care:

E5. C3-1. Rezolvare. Avem succesiv :

.

E6. C3-1. Sunt echivalente inegalitatile si

Fisa de studiu

S1. C3-1. Sa se afle care numar din perechile de numere este mai mare:

a). si b). si c). si

S2. C3-1. Sa se afle multimea valorilor lui x pentru care este adevarata inegalitatea :

a). b). c).

S3. C3-1. Sa se compare m si n daca este adevarata inegalitatea:

a). b). ; c).

S4. C3-1. Comparati numerele cu 1:

a). b). ; c). ; d.

S5. C3-1. Sa se afle x astfel incat , unde a >0 este un numar real pozitiv.

S6. C3-1. Sa se demonstreze ca functia f:R ), f(x) = este strict crescatoare.

S7. C3-1. Sa se studieze monotnia functiiei f:R ), f(x) =

S7. L2-1. Sa se traseze graficul functiilor

a).  ; b).  ; c).  ;

d). e). c).

S7. C3-1. Sa se traseze graficul functiilor

a).  ; b).  ; c).

d).  ; e).  ; c).