NUMARUL DE AUR

NUMARUL DE AUR

Inca de la inceputuri, omul a fost fascinat de numere. El trebuia sa stie, cumva, cate provizii mai are, cat vanat exista in zona, de cati pesti are nevoie pentru a hrani comunitatea. In existenta sa tribala, omul nu a stiut ce este numarul. Mai tarziu au aparut numerele.
Cand Dumnezeu a creat lumea, El a creat si numerele. 'Lumina a numit-o Dumnezeu ziua, iar intunericul l-a numit noapte. si a fost seara si a fost dimineata: ziua intai.' Dumnezeu a creat si formele cu detaliile lor, a creat si vietuitoarele, aceste masini minunate care actioneaza sub impulsul unui program numit ADN. Totul a fost facut de la inceput si numerele.

Omul a devenit constient de formele minunate create doar de circa 30 de ani incoace. El a descoperit haosul si fractalii, minunate forme ce modeleaza natura creata de Dumnezeu. Norii sunt fractali, iar clima haotica. Ne intrebam, noi cei de aici, de ce omul are doua picioare, cainele patru, paianjenul sase, caracatita opt, dar trifoiul are trei petale. Particularitatea petalelor florilor este ceva curios. Se spune ca un trifoi cu patru foi iti poarta noroc. Oare de ce? Pentru ca omul doreste sa asemuie deosebitul la diferite situatii. Orice iesire din sablon, este ceva deosebit. Se observa ca numarul total de petale al florilor alcatuieste secvanta de numere 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. De obicei crinii au trei petale, galbenelele au treisprezece, iar margaretele pot avea treizeci si patru, cincizeci si cinci sau chiar optzeci si noua de petale. Aceleasi caracteristici pot fi gasite si in asezarea semintelor de pe floarea soarelui. O explicatie va fi formulata in continuare.

Numerologia este una din cele mai usoare stiinte, dar si una din cele mai periculoase. Amestecarea numerelor si a formelor poate crea monstri, si nu haos, care a fost creat in la inceputuri. Dificultatea majora in practicarea acestei stiinte consta in a identifica corect relatiile numerice semnificative de cele aleatoare. Un exemplu clar il constituie descoperirea planetelor (sase) de catre Johanness Kepler. Acesta a observat ca daca imparte cubul distantei fiecarei planete la patratul perioadei sale orbitale, obtinem mereu acelasi numar. Aceasta a fost o afirmatie clara si adevarata. Nu acelasi lucru se poate spune despre afirmatia ca in sistemul solar sunt doar sase planete.

Ce sunt numerele? Abstractii matematice, vor spune unii; obiecte matematice, vor spune altii. Ele sunt de fapt procese. Numarul este un proces. Cand spunem unu, doi ., de fapt se executa un proces de numarare de obiecte abstracte matematice. Procesul este si el o abstractie matematica. Matematicienii tind sa reifice procesele, adica sa le 'vada' ca obiecte. Radacina patrata a unui numar este un proces in care se aplica o functie abstracta asupra unui obiect abstract, dar noi vedem acest proces cu ochii mintii ca o masina care extrage din obiectul numar radacina sa patrata, aproape ca la dentist. Poate ca procedeul este fortat, insa matematicienii nu sunt singurii care reifica procese abstracte. Juristii trateaza si ei procese ca obiecte, de exemplu: hotia care este pusa pe acelasi plan cu drogurile. Avem aici de a face cu un obiect abstract, reificat, si cu unul concret, palpabil. Matematica consta in a crea obiecte matematice fundamentale si apoi in a cladi teorii clare pe aceste fundamente. Matematica apare in acest fel ca un copac cu radacinile infipte in numerologie si cu ramurile pline de leme, teoreme si demonstratii. Varful acestui copac nu se vede. Nimeni nu poate cuprinde cu privirea coroana sa. Matematica face regulile sau poate ca regulile au creat matematica.

Regularitatea matematica in natura apare mai degraba din complexitate decat din reguli aplicate la nivelul sau. Acesta este numarul de petale al florilor. Am mai discutat despre acest lucru mai sus. Sirul mentionat are regula stabilita. Fiecare urmas este suma dintre parinte si stramos. Am particularizat astfel regula pentru a arata ca lucram cu obiecte. Abstracte. Genele florilor care mentin aceasta informatie nu mai sunt abstracte, ci ele sunt cu adevarat obiecte din natura. Genele sunt obiecte care spun ce sa se execute, ele nu executa la propriu un proces. Sunt ca instructiunile unui program. Ele nu pot determina culoarea clorofilei, dar 'spun' plantelor s-o sintetizeze. Genetica este flexibila, fizica si chimia impun regulile. Numerele implicate in natura formeaza asa-zisul sir al lui Fibonacci in care fiecare numar este suma celorlalte doua precedente. Numerele apar in natura sub aceasta forma datorita constrangerilor impuse de-a lungul anilor. Ultima teorie pare sa confirme inclusiv cresterea plantelor ca urmare a acestui sir. In centrul varfului de crestere al unei plante exista o regiune circulara numita apex. In jurul apexului se formeaza mici excrescente care se numesc primordii. Aranjamentul acestor primordii care vor deveni frunze, petale sau altceva, este stabilit chiar de la inceput, pe masura ce ele se formeaza. Forma de evolutie este spiralata, o spirala Fibonacci. Unghiul format de primordii este de 137,5, fapt pus in evidenta pentru prima oara de cristalograful Auguste Bravais in 1837. Ne intrebam, poate, ce legatura are acest unghi cu sirul lui Fibonacci. Daca luam doua numere consecutive din sir, sa zicem 34 si 55, si le facem raportul, obtinem 0,6181 adica 'numarul de aur'. Multiplicand acest numar cu 360 pentru a-l trece in plan trigonometric, obtinem 222,54. Scadem 180 ca sa formam un unghi masurabil in sensul dextrogir si vom obtine 137,5, adica exact valoarea obtinuta de Bravais. Acest unghi este numit 'unghiul de aur' si este lasat in natura la fel ca si numarul corespondent din sirul mai sus mentionat. Spiralele au un mod de rasucire interesant. Deoarece ochiul uman integreaza orice informatie, noi vom sesiza doua spirale, una dextrogira si alta levogira, numarul spiralelor fiind egal cu doua numere consecutive din sirul lui Fibonacci.

Teoria elaborata de Doudaz si Couder se bazeaza pe observatiile facute in 1979 de catre H. Vogel, care a aratat ca asezarea primordiilor in acest fel este optima. Nici un alt unghi nu poate aseza primordiile mai eficient. Cei doi au folosit calculatorul pentru a face simulari care au confirmat regula mai sus mentionata. Concluzia a fost ca pentru a umple un spatiu eficient, avem nevoie de un raport irational, dar nu oricare, ci chiar cel din acest sir.

Matematicienii din vechime stiau ca 'numarul de aur' este cel mai 'rau' aproximat numar posibil din matematica. Inversand argumentul, aceasta inseamna ca primordiile se grupeaza cel mai strans. Trecand din nou la matematica, la limita, vom obtine valoarea de aproximare a sirului ca fiind (1+V5)/2. De altfel, insusi sirul este exprimat ca fiind:

Este interesant ca aceste rapoarte sunt radacinile ecuatiei X2-X-1=0, care se obtin aplicand formula:

Divina relatie care ne arata ca insusi solutiile sunt diferentiate de cifra 1. Am exemplificat mai sus transformarea acestui numar in planul trigonometric. Dar el are legatura cu p=3,1416, numarul care da perimetrul cercului, numar obtinut din raportul perimetrului la diametrul cercului. Vechile masuri celtice (deget, cot, picior) par a fi legate de aceste numere. Un picior are 12 degete, adica aproximativ 3,1416. De aici reiese ca degetul galez are 0,02618. Patratul lui 1,618 este 2,6179, aproximativ egal cu 2,618. Putem scrie:

Aceasta este desigur ceva fundamental, deoarece acest raport stabileste clar o legatura intre armonia asimetrica reprezentata de sectiunea de aur si perfectiunea cercului. Cifra cinci are si ea semnificatie magica. Este parte componenta din sirul lui Fibonacci, pentagrama ezoterica sacra a culturilor orientale, pentaclul sacru in care este reprezentat omul care formeaza microcosmosul.

Putem stabili o relatie mai abstracta intre p si F. Formula lui Euler spune ca putem aproxima

Dar:

Deci,

Notand cu Fib(n) numarul Fibonacci corespondent, obtinem:

care sunt chiar ele asezate dupa un sir al numerelor impare!

Generalizand,

vom avea:

Legaturile intre aceste numere sunt mult mai profunde. Ele au stat la baza construirii marilor edificii antice. Una dintre ele este Marea Piramida de la Gizeh. Cel putin aici, datele sunt tulburatoare. Impartind perimetrul bazei la inaltimea piramidei vom obtine 6,28 adica 2pi. Aceasta piramida are valoarea unghiului de inclinare a fetelor de 5151'. Daca raportul dintre apotema si jumatatea bazei este egal cu 1,618 adica F, vom obtine o piramida cu fetele inclinate la 5150', adica cu o diferenta de 1' fata de piramida pi. De altfel, raportul real al fetelor este 14/11, adica 5150'35''. Piramida fiind oblica, se construia urcand cu 7 si inaintand pe orizontala cu 2. Panta rezultata este 14/11.

A doua constructie este Partenonul din Atena, construit intre anii 447-432 I.Hr.

Maestrul Leonardo Da Vinci a exprimat ca nimeni altul numerologia sacra in arta sa.
In tabloul Buna Vestire liniile orizontale sunt mereu un multiplu de 0,618 ca si cele verticale. Ele impart intotdeauna tabloul in parti aflate in raport de 0,618.

O problema de estetica.

Sa consideram un segment de dreapta. Care este cea mai "placuta" impartire a acestui segment in doua parti ? Unii ar spune ca in doua jumatati, altii ar spune ca in proportie de 3:1

Grecii antici au gasit un raspuns pe care ei il considerau corect (teoreticienii il numesc "simetrie dinamica"). Daca partii stangi a segmentului ii atribuim lungimea u=1, atunci partea dreapta va avea o lungime v=0,618. Despre un segment partitionat astfel spunem ca este impartit in Sectiunea (sau Proportia, Diviziunea) de aur (divina).

Care este justificatia pentru inzestrarea acestei proportii particulare cu un asemenea statut aparte ? Ideea este ca lungimea u reprezinta aceeasi parte din tot segmentul (u+v) cat reprezinta lungimea v din partea u. Cu alte cuvinte :

Daca notam Ф=u/v, vom rezolva ecuatia pentru Ф, observand ca :

Radacina pozitiva a ecuatiei, care se poate scrie

Ф² - Ф - 1 = 0

este :

o constanta care este numita Numarul de aur sau Proportia divina.

Daca presupunem u=1, atunci

, cum am presupus mai devreme. Notam numarul v = 0.6180339887. = Ф (phi).

Numarul de aur si Fibonacci

Afirmam ca numarul nostru Phi este strans legat de sirul lui Fibonacci. Pentru cei care nu stiu, sirul lui Fibonacci este definit prin :

f₀=0; f₁=1; f_n= f₀+ f₁ (oricare n32).

Acest sir exprima (intr-un mod naiv) cresterea populatiei de iepuri. Se presupune ca iepurii au cate doi pui o data la fiecare luna dupa ce implinesc varsta de doua luni. De asemenea, puii nu mor niciodata si sunt unul de sex masculin si unul de sex feminin.

In felul acesta, numarul de perechi de iepuri existente dupa n luni ar trebui sa fie f_n. Va puneti intrebarea ce poate avea in comun Ф cu sirul lui Fibonacci ? Aceasta este o idee remarcabila a matematicii. Pentru inceput sa observam ca :

Ф este o fractie infinita.

Acum sa privim fractiile partiale :

Toate rezultatele fractiilor sunt rapoarte de numere Fibonacci succesive, fapt ce "motiveaza" teorema ce spune ca :

In cuvinte putem spune ca, pe masura ce n se apropie de infinit, raportul termenilor al n+1-lea si al n-lea din sirul lui Fibonacci se apropie de Ф. Aceasta teorema este valabila pentru orice secventa arbitrara ce satisface recurenta :

f_n= f₀+ f₁ (oricare n32), cu proprietatea ca primii doi termeni sunt diferiti.

Reprezentare grafica - dreptunghiuri de aur

Legatura geometrica dintre numarul Phi si numerele lui Fibonacci poate fi vazuta in graficul din anexa 1. Pornind de la un dreptunghi de aur (de lungime Ф si latime 1), urmeaza un sir natural de "cuibariri" ale dreptunghiurilor divine in cel initial.

Lungimea si latimea celui de-al n-lea dreptunghi de aur pot fi scrise ca expresii liniare, unde coeficientii sunt intotdeauna numere Fibonacci. Aceste dreptunghiuri pot fi inscrise intr-o spirala logaritmica, asa cum arata imaginea. Sa presupunem ca punctul din coltul din stanga jos al primului dreptunghi este originea unui sistem rectangular de coordonate. Apare acum intrebarea : unde se afla punctul spre care tinde spirala?

Raspunsul este : spirala tinde spre punctul de coordonate

Asemenea spirale logaritmice sunt echiangulare, in sensul ca orice dreapta ce trece prin punctul taie spirala sub un unghi constant. In sensul acesta, spunem ca spirala este o generalizare a cercului, unde unghiul este de 900. Spirala noastra are un unghi

Spiralele logaritmice se intalnesc destul de des si in natura. De exemplu carcasa unui melc, coltii unui elefant sau conurile de pin au forma de spirala.

Alta aplicatie geometrica a numarului Phi apare la desenarea unui pentagon regulat fara cerc si compas. Aceasta este legata de faptul ca

Alte siruri care tind la Phi

La fel de simplu cum Ф este o fractie infinita, tot asa poate fi si un radical infinit :

Iata alta serie infinita legata de Ф :

Dintre multe alte expresii posibile ce se apropie de Ф urmatoarele doua sunt mai cunoscute :

unde

Cateva curiozitati despre Phi si phi

Un prim fapt ce "sare in ochi" si este cel putin curios il constituie relatia simpla intre Ф, π si e :

Pare intr-adevar ciudat cum trei numere irationale se "leaga" printr-o expresie atat de simpla, insa matematicienii au demonstrat ca asa stau lucrurile si vrem nu vrem trebuie sa-i credem. Cine nu crede poate folosi un calculator electronic pentru a face niste calcule simple cu vreo opt zecimale si va fi uimit rezultate.

Coincidentele nu se opresc insa aici. Sa consideram urmatorul sir :

f₀=0.6180339887.; f₁=1.000; f₀=1.6180339887. ; f₀=2.6180339887.;

f_n= f₀+ f₁ (oricare n32).

Din definitia sirului se observa ca oricare doi termeni consecutivi adunati il dau ca rezultat pe urmatorul. Este insa nevoie de un ochi ager pentru a observa ca prin inmultirea oricarui termen cu Ф=1.6180339887. va rezulta termenul imediat urmator.

Asadar . Prezentam acum cateva egalitati simple cu Ф si ф :

Ф² = Ф+1

Фⁿ⁺²= Фⁿ⁺¹+ Фⁿ

ф²= ф +1

фⁿ⁺²= фⁿ⁺¹+ фⁿ

Numarul Phi cu 20.000 de zecimale

1.6180339887498 9484820458683436563811772030917 98057628621354486227052 604628189024497072072 041893911374847540880 753868917521266338622 235369317931800607667 263544333890865959395 829056383226613199282 902678806752087668925 017116962070322210432162 6954862629631361443814975870 12203408058879544547492461856 953648644492410443207713449 470495658467885098743394422 125448770664780915884607499 887124007652170575179788341 66256249407589069704000281210 42762177111777805315317141011 70466659914669798731761356006 70874807101317952368942752194 84353056783002287856997829778 34784587822891109762500302696 15617002504643382437764861028 383126833037242926752631165339 247316711121158818638513316203 840052221657912866752946549068 113171599343235973494985090409 476213222981017261070596116456 299098162905552085247903524060 201727997471753427775927786256 194320827505131218156285512224 809394712341451702237358057727 861600868838295230459264787801 788992199027077690389532196819 861514378031499741106926088674 296226757560523172777520353613 936210767389376455606060592165 894667595519004005559089502295 309423124823552122124154440064 703405657347976639723949499465 845788730396230903750339938562 102423690251386804145779956981 224457471780341731264532204163 972321340444494873023154176768 937521030687378803441700939544 096279558986787232095124268935 573097045095956844017555198819 2180206405290551893494759260073 4852282101088194644544222318891 3192946896220023014437702699230 0780308526118075451928877050210 9684249362713592518760777884665 8361502389134933331223105339232 1362431926372891067050339928226 5263556209029798642472759772565

Secretul numarului de aur

Cunoscut in antichitate de vechii intelepti, iar apoi in evul mediu de marii invatati filozofi, geomanti, preoti, alchimisti sau ocultisti, numarul de aur a ascuns intotdeauna mari mistere. Astazi cercetari complexe au ajuns la concluzia ca intreaga natura si chiar intreg universul este structurat respectand fidel proportia perfecta si exacta a numarului de aur. Marile constructii antice precum piramidele sau temple si catedrale respecta de asemenea proportia fidela a acestui numar de aur. El reprezinta armonia si perfectiunea in creatie. Numarul de aur este reprezentat prin ideograma f = 1,618.
Proportia tainica a acestui numar reprezentata fie in triunghiul de aur (isoscel) al lui Pitagora in elipsa de aur din traditia hindusa sau in spirala de aur care prin sirul lui Fibonacci demonstreaza cresterea naturala a plantelor pastrand aceasta proportie.
In natura spirala generata de apa (vartejurile), miscarea curentilor de aer in spirala, cochilia melcilor, dispunerea petalelor de tranafir sau a frunzelor si semintelor din regnul vegetal pastreaza aceasta proportie perfecta aratand ca in intreaga creatie se manifesta armonia si perfectiunea divina reprezentata prin aceasta proportie. Aceasta demonstreaza existenta unui sfere de constiinta a armoniei si frumusetii existente in intregul universul si care il ghideaza.

Polaritatea numerelor

Pitagora clasifica numerele ca fiind masculine si feminine, numerele pare fiind feminine iar cele impare masculine. Din cele mai vechi timpuri universul era considerat ca fiind polar, format din cele doua aspecte, pozitiv si negativ. Chinezii le numeau Yin - Yang. Yoghinii le numeau HA - THA. Rolul polaritatilor este de a se sustine reciproc, neutraliza (transcende) sau manifesta. Fara aceste polaritati intre pozitiv si negativ, intre par si impar viata nu ar putea exista.

Spre exemplu numarul 6 este un semn foarte feminin. De aceea el trebuie sa fie polarizat de un numar impar masculin. Numarul 1 il polarizeaza si de aceea numarul 16 este la indieni spre exemplu numarul armoniei si frumusetii. Numarul din fata da 'puterea', sustinerea, iar cel care urmeaza spune despre aspectul, detaliul sau directia a ceea ce reprezinta numarul. Numerele feminine reprezinta materialitatea, frumosul, armonia, luxul, pe cand cele masculine reprezinta focalizarea controlul, perfectiunea, misterul. La chinezi numarul 8 este cel mai ravnit numar deoarece acela care il are la casa se crede ca va fii foarte bogat. Numarul 2 inaintea lui 8 dublandu-i aspectul. Un asemenea numar la casa astazi este foarte scump.

Geometria sacra

Formele geometrice sunt considerate inca din cele mai vechi timpuri simboluri care reduc la esenta adevarurile cele mai complexe. Prin forma lor condenseaza tendintele ce ar putea renaste intregul ciorchine al respctivului adevar, la fel precum subconstientul rezuma in simboluri ideile sau gandurile receptionate. Figurile geometrice sunt ca o schita a realitatii. Vechii intelepti cand trasau o linie, un cerc, o cruce, o hexagrama sau un sarpe care isi inghite coada (ourobouros), reprezentau o intreaga stiinta nemuritoare. Intelegand simbolurile si felurile in care ele se manifesta in creatie se ajunge la esenta dobandindu-se cunoasterea.

Cercul

Este simbolul universului, asa cum punctul reprezinta fiinta suprema care il sustine. Centrul cercului este intotdeauna la egala distanta de toate punctele aflate la periferie. De aceea cercul este si un simbol al echilibrului. Punctul este o expansiune care da nastere cercului, a manifestarii. Un cerc cu un punct inauntru este simbolul soarelui, al spiritului care hraneste materia. Cercul este totodata simbolul eternei reintoarceri, al ciclicitatii care se regaseste in natura sub forma anotimpurilor, zilelor, fazelor lunii etc, regasindu-se chiar si la nivel celular. In cele 5 elemente cercul este simbolul aerului, al spatiului, expansiunii.

Triunghiul

Este un simbol al focului, al gandirii, al sentimentului. Daca acesta este cu varful in sus focalizeaza energia in acea directie, ascendent, fiind totodata un simbol masculin. Triunghiul cu varful in jos semnifica manifestarea in materie si este un simbol feminin. Triunghiul echilateral simbolizeaza omul echilibrat. In natura triunghiul ne apare sub forma trinitatii. In toate culturile spirituale creatia apare prin mijlocirea a trei aspecte fundamentale, a celor trei campuri de forta: actiune, reactiune si neutralitate.Exemple ale trinitatii:Tatal, fiul si Duhul Sfant - in crestinism;Pitha, Kapha si Vatha - in ayurveda;Tamas, Rajas si Satva - in traditia samkia si yoga;Minte, trup si spirit - intelepciunea grecilor antici;

Patratul

Patratul semnifica pamantul, stabilitatea. Cele patru laturi sunt ancorate in cele patru puncte cardinale. Este o figura statica dar care da nastere ritmului. In natura este reprezentat de cele patru spatii (puncte cardinale), cele patru anotimpuri. Este baza pe care apoi se inalta varful cladind piramida, simbol al perfectiunii. Patratul este si simbol al mintii inchise si al instinctelor primare, ce tin de pamant.

Generarea spatiului n-dimensional

al volomului de aur

In urma definirii si studiului structurilor de aur in plan si spatiu, au fost puse in evidenta o serie de proprietati geometrice remarcabile, generate de existenta aceluiasi principiu de generare: proportia continua. Ne-am pus doua probleme: 

- de a vedea in ce masura se poate defini un corp de 'aur' n-dimensional generat de proportia continua si 

- ce proprietati vor fi evidentiate atunci cand se construieste intr-un spatiu geometric cu dimensiunea superioara celei accesibile in mod concret omului si instrumentelor sale. 

Fie deci, V₁⁽ⁿ⁾, paralelipipedul initial n-dimensional, de laturi l₁>l₂>l₃>>l_n, ce poate fi vazut ca o multime de tipul: 

Conform mecanismului de generare descris in definirea volumului de aur /1,2/ decupam din V₁⁽ⁿ⁾, un volum paralelipipedic: 

A carui proiectie in planul 0x₁x_n este un patrat. Volumul ramas, notat cu C₁⁽ⁿ⁾ este definit astfel: 

In aceste conditii, 

Relatia cantitativa dintre partile rezultate in urma aplicarii recurente a algoritmului impus de utilizarea modelului adoptat la trecerea de la plan la spatiu, este: 

si conduce la determinarea numarului de 'aur' n-dimensional , intr-un mod similar cu cel definit in trecerea de la 2D la 3D: 

Laturile paralelipipedului n-dimensional au astfel, lungimi ce verifica proportia continua: 

 Determinarea valorii numarului de aur n-dimensional se poate face si prin rezolvarea ecuatiei: 

unde n - este dimensiunea spatiului de lucru si j - este numarul iteratiei. 

Notand raportul l_1j/l_nj cu x, se obtine ecuatia caracteristica pentru determinarea numarului de aur intr-un spatiu euclidian n-dimensional: 

In general, daca x_p este o radacina reala pozitiva a ecuatiei de mai sus, atunci numarul de aur _,p este determinat de : 

In acest mod au fost determinate valorile numerelor de 'aur' pentru: 

Din analiza valorilor obtinute rezulta ca, pe masura ce dimensiunea spatiului creste, valoarea numarului de aur tinde la 1, diminuind dinamica de expandare sau divizare a unui corp corespunzator algoritmului descris. La limita, intr-un spatiu infinit dimensional se obtine un hipercub neexpandabil si nedivizibil. 

Revenind la cazul general n-dimensional, se poate calcula: 

a) Media aritmetica a laturilor corpului studiat: 

b) Media geometrica a laturilor: 

c) Media armonica a laturilor corpului de aur generat in spatiul n-dimensional: 

Se verifica relatia: 

relatie valabila pentru mediile termenilor oricarei progresii geometrice si care capata semnificatii specifice atunci cand este implicat un numar de aur. Se deduce ca patratul mediei geometrice este egal cu produsul lungimilor laturilor extreme ale structurii de aur: 

 De asemeni, se arata ca volumul corpului de aur analizat in spatiul n-dimensional este agal cu M_g a laturilor sale la puterea n: