Sisteme de variabile aleatoare. Siruri de variabile aleatoare. Convergenta

Sisteme de variabile aleatoare. Siruri de variabile aleatoare. Convergenta

Definitie Sistemul se numeste variabila aleatoare bidimensionala sau vector aleator cu 2 dimensiuni.

Sisteme de doua variabile aleatoare

Fie o variabila aleatoare cu doua dimensiuni.

Definitie. Functia cu se numeste functie de repartitie a variabilei aleatoare

Interpretand sistemul ca un punct aleator, functia de repartitie nu este altceva decat probabilitatea ca punctul aleator sa se gaseasca in patratul infinit cu varful in punctul din figura 5.1. Notand cu si functiile de repartitie ale variabilelor aleatoare si , in aceeasi interpretare reprezinta posibilitatea ca punctul aleator sa se afle in semiplanul limitat de dreapta paralela cu Oy ce trece prin punctul de abscisa x, la dreapta dreptei, iar reprezinta probabilitatea ca punctul aleator sa se gaseasca in semiplanul situat sub dreapta paralela cu Ox, ce trece prin punctul de ordonata y.

Vom da cateva proprietati analoage celor date pentru functiile de repartitie unidimensionale:

(P1)           F este nedescrescatoare in raport cu fiecare argument;

(P2)           F este continua la stanga in raport cu fiecare argument;

(P3)          

(P4)           ; ;

(P5)          

In continuare vom nota simbolic evenimentul "punctul aleator se gaseste in domeniul D". Probabilitatea acestui eveniment se exprima simplu daca D este un dreptunghi ale carui laturi sunt paralele cu axele de coordonate. Fie dreptunghiul D de varfuri A(a,c); B(b,c); C(b,d); D(a,d). In acest caz evenimentul este echivalent cu , deci

Daca exista o functie reala f definita si integrabila pe asa incat:

atunci se numeste densitatea de probabilitate (repartitie) a variabilei aleatoare cu doua dimensiuni

Fie doua variabile aleatoare de tip continuu si interpretat ca un punct aleator in plan. Fie dreptunghiul de laturi si , avem:

Avem:

Notam aceasta derivata prin f(x, y):

ea fiind tocmai densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare .

Avem:

Densitatea de repartitie a lui este nenegativa, iar:

Exemplul 5.1. Fie variabila aleatoare cu variabile aleatoare independente, a carei densitate de probabilitate este:

Sa se determine:

Functia de repartitie corespunzatoare

, unde D este patratul construit pe segmentele [0,1], [0,1].

R

Caracteristici numerice ale sistemelor de doua
variabile aleatoare. Covarianta. Coeficient de corelatie

Fie variabila aleatoare cu doua dimensiuni

Definitie. Vom numi moment initial de ordin k, s, al sistemului .

Vom numi moment centrat de ordinul k, s al sistemului numarul:

Avem:

formule care in cazul variabilelor aleatoare discrete devin:

Avem:

Un rol important in teoria sistemelor de variabile aleatoare il are covarianta.

Definitie. Numim corelatie sau covarianta a variabilelor aleatoare valoarea:

Efectuand calculul si tinand seama de proprietatile valorii medii rezulta:

Covarianta este o caracteristica a sistemului care descrie, pe langa dispersie, legatura dintre ele. Se arata cu usurinta ca daca si sunt independente, covarianta lor este nula.

Pentru caracterizarea legaturii dintre variabilele aleatoare si vom utiliza coeficientul de corelatie.

Definitie Se numeste coeficient de corelatie al variabilelor aleatoare raportul:

Proprietati ale coeficientului de corelatie

(P1)           Fie , atunci daca si numai daca variabilele si sunt necorelate.

(P2)           Pentru orice doua variabile aleatoare avem

Definitie Se numesc drepte de regresie ale variabilelor aleatoare , dreptele:

Exemplul 5.2. Se considera variabilele aleatoare:

se cere sa se calculeze:

, daca   

Coeficientul de corelatie in functie de

Valorile lui pentru care si sunt independente.

R. 1. Avem:

de unde:

deci:

trebuie astfel ales, incat toate probabilitatile sa fie cuprinse intre 0 si 1 deci

de unde ceea ce implica

2. . Avem , , , deci

Deoarece , rezulta .

3. Pentru    si sunt independente.