Operatii cu evenimente

Operatii cu evenimente

Notatiile folosite sunt cele cunoscute din teoria multimilor. Multimile vor fi evenimentele aleatoare si vor fi notate cu: A, B, C,..

Fie evenimentul sigur si evenimentul imposibil. Acestea corespund multimii totale considerate si respectiv multimii vide.

DEFINITIE Se spune ca evenimentul A implica evenimentul B, daca realizarea lui A, atrage dupa sine realizarea lui B. Notatia folosita este:

A

B

OBSERVATII a) Implicatia evenimentelor este echivalenta cu incluziunea multimilor. (vezi fig. nr. 1)

b) Orice eveniment aleator, precum si evenimentul imposibil, implica evenimentul sigur:

A

DEFINITIE Se spune ca un eveniment este contrar evenimentului A, daca realizarea sa consta in nerealizarea lui A. Notatia folosita este .

OBSERVATII a) Evenimentul contrar evenimentului A, este echivalent cu complementara lui A din teoria multimilor . (vezi fig. nr. 2)   

b) Evenimentele A si sunt contrarii, adica, daca se realizeaza A, atunci nu se realizeaza si reciproc.

DEFINITIE Reuniunea (sau adunarea) evenimentelor si este evenimentul S care consta in realizarea a cel putin unuia dintre evenimentele sau .

Notatia este :

B

OBSERVATII a) Daca evenimentele sunt reprezentate prin cercurile si din fig. 3 si 4, reuniunea lor este reprezentata prin interiorul hasurat al celor doua cercuri. Prin urmare, faptul ca un punct al evenimentului S se gaseste in regiunile hasurate constituie evenimentul

A

In cazul prezentat in fig. nr. 4 evenimentele si sunt incompatibile, deoarece realizarea evenimentului exclude realizarea evenimentului si invers, pe cand evenimentele din fig. nr. 3 sunt compatibile, caci alegerea unui punct comun celor doua cercuri atrage dupa sine realizarea atat a evenimentului , cat si a evenimentului

A

b) Daca , atunci . Geometric, acest lucru inseamna ca cercul este interior lui

B

c) Oricare ar fi evenimentul , au loc relatiile :

DEFINITIE Intersectia (sau produsul) evenimentelor si este evenimentul P care consta in realizarea simultana a evenimentelor si .

Notatia este :

OBSERVATIE Geometric, este reprezentat prin regiunea comuna celor doua cercuri prezentate in fig. nr. 3.

Prin introducerea notiunii reuniune si intersectie, unele notiuni din teoria probabilitatilor pot fi formulate in mod mai precis. Astfel, pentru evenimentele opuse se pot formula in acest moment urmatoarele definiTiI

I evenimentele si se numesc opuse daca au loc relatiile:

si

II) Evenimentele si sunt incompatibile daca:

In caz contrar (), evenimentele se numesc compatibile.

AplicaTii . Fie si doua evenimente din acelasi camp; sa se arate ca:

Aceste doua relatii reprezinta, in teoria multimilor, relatiile lui De Morgan. Interpretarea va fi in limbajul evenimentelor. Se considera mai intai prima relatie. este prin definitie evenimentul a carui realizare inseamna realizarea a cel putin unuia din evenimentele sau . Contrarul sau, va fi evenimentul a carui realizare presupune nerealizarea atat a evenimentului , cat si a evenimentului . Dar nerealizarea evenimentului inseamna realizarea evenimentului si invers, nerealizarea evenimentului inseamna realizarea evenimentului . Deci, daca se realizeaza, atunci se realizeaza si evenimentul si evenimentul , adica evenimentul Se ajunge la concluzia ca realizarea evenimentului implica realizarea evenimentului , ceea ce se scrie :

.

Invers, daca se realizeaza adica se realizeaza si , atunci nu se realizeaza nici unul din evenimentele , , deci nu se realizeaza evenimentul . Dar nerealizarea lui inseamna realizarea lui

Rezulta ca realizarea evenimentului implica realizarea evenimentului , adica :

Din relatiile si rezulta:

Se considera a doua relatie, . Evenimentul este evenimentul a carui realizare inseamna realizarea atat a lui cat si a lui .

Contrariul sau, va fi deci evenimentul a carui realizare inseamna nerealizarea a cel putin unuia din evenimentele , . Aceasta inseamna ca daca se realizeaza, atunci se realizeaza cel putin unul din evenimentele , adica se realizeaza evenimentul . Prin urmare:

Invers, daca s-a realizat, atunci cel putin unul din evenimentele , nu s-a realizat, deci nu s-a realizat ; dar aceasta inseamna ca s-a realizat Se poate scrie deci:

si rezulta ca:

OBSERVATIE In general, se spune ca evenimentele si sunt egale (not. ) daca si .

2. Sa se arate ca relatiile

sunt echivalente.

Se va arata ca daca una din cele patru relatii este adevarata, atunci si celelalte trei sunt adevarate.

Fie este adevarata. Aceasta inseamna ca daca se realizeaza, atunci se realizeaza si .

Relatia arata ca daca nu s-a realizat , atunci nu s-a realizat nici , ceea ce este adevarat; daca nu ar fi asa, ar fi contrazisa relatia .

Pentru a arata ca (daca ), este suficient sa se arate ca , deoarece relatia este evidenta, ea insemnand ca daca se realizeaza , atunci se realizeaza unul din evenimentele , .

Pentru a demonstra relatia trebuie aratat ca de cate ori se realizeaza, se realizeaza si

Daca s-a realizat, atunci sau s-a realizat (si relatia este demonstrata) sau s-a realizat si atunci, conform ipotezei , s-a realizat si .

Pentru a arata ca (in aceeasi ipoteza), se observa ca daca se realizeaza , atunci conform ipotezei se realizeaza si , deci se realizeaza Se poate scrie

Relatia este evidenta, ea insemnand ca daca se realizeaza si , atunci se realizeaza (relatia este adevarata fara ipoteza ). Deci .

Prin rationamente asemanatoare, se arata ca daca se va lua ca ipoteza alta din cele patru relatii din enunt, atunci prima relatie va rezulta drept o concluzie.

3. Relatiile :

sunt echivalente.

Se presupune ca , adica evenimentele si sunt incompatibile. Aceasta inseamna ca daca se realizeaza, atunci nu se realizeaza, deci se realizeaza, adica

Invers, daca, atunci daca se realizeaza, se realizeaza in mod sigur si , deci nu se realizeaza. Aceasta insemna ca evenimentele si sunt incompatibile, adica

Rezulta ca primele doua relatii din enunt sunt echivalente. Evidenta primei si a celei de-a treia relatii rezulta acum din simetria relatiei .