PARTEA INTREAGA SI PARTEA FRACTIONARA A UNUI NUMAR RATIONAL

PARTEA INTREAGA SI PARTEA FRACTIONARA A UNUI NUMAR RATIONAL

Axioma lui Arhimede : Pentru orice numar rational x, exista un numar intreg k, unic, astfel incat k ≤ x < k + 1.

Partea intreaga a unui numar rational. Se numeste partea intreaga a numarului rational x, numarul intreg k, cu proprietatea : k ≤ x < k + 1.

Notam : k = [x] = partea intreaga a lui x. Deci : [x] ≤ x < [x] + 1.

Partea fractionara a unui numar rational. Se numeste partea fractionara a numarului rational x, numarul rational x - [x].

Notam : = x - [x] = partea fractionara a lui x. Deci : x = [x] + .

Proprietati :

x - 1 < [x] ≤ x , x Q.

[x] Z.

0 ≤ < 1

[x + n] = [x] + n , x Q, n Z.

= , x Q, n Z.

[x] + [x + ] + [x + ] + . +[ x + ] = [nx] , x Q, n N.

(Identitatea lui Hermite).

Exemple :

[3,2] = 3 ; [-2] = -2 ; [] = 0 ; [-4,3] = -5

= 0 ; = 0 ; = 0,2 ; =0,8 ; =0,3 ; = 0,7.

Exercitii :

Sa se calculeze partea intreaga si partea fractionara a numerelor :

7,3 ; -1,56 ; 2,(8) ; -3 ; - ; - ; ; 3,(6) ; 1,72(32) ; -3,(12) ; (-1,3)² ; (-3,4)³ ; (-1,1)⁴.

Fie numarul

, n ≥ 1.

Sa se determine n N^* astfel incat = 0,999.

Se considera expresia

E(x) = [2x] - [x] - [x + ]

1. Sa se arate ca pentru orice x , 0 ≤ x < , avem E(x) = 0.
2. Sa se arate ca E(x + ) = E(x).

Sa se rezolve ecuatiile :

a.      [x] = 0

b.      [x] = 1

c.       [x] = -1

d.      [x -1] = 2

e.      [2x -1] = 3

f.        [3x + 4] =

g.     

h.     

i.        ; , n N, fixat.

j.        ; , n N^* , fixat.

Folosind identitatea lui Hermite rezolvati ecuatiile :

a.      , cercetati numarul radacinilor intregi .

b.     

c.      

d.     

e.      , cercetati numarul radacinilor intregi .