Vectori in plan

Vectori in plan

In geometrie , fizica, stiinte tehnice sunt intalnite marimi scalare si marimi vectoriale.

O marime este scalara , daca pentru determinarea ei este suficient sa indicam un singur numar. Ex.: lungimea unui segment, aria unei suprafete, temperatura etc.

O marime este vectoriala daca este determinata de urmatoarele trei elemente: marime directie si sens.

Se numeste directia dreptei d multimea formata din dreapta d si toate dreptele paralele cu d

Pe dreapta d am fixat punctele A si B (A≠B). Punctele A si B pot fi parcurse de la A la B iar sensul opus de la B la A

Definitia vectorului

O pereche ordonata se numeste segment orientat sau vector legat (de A) si se noteaza , unde A este originea iar B extremitatea vectorului.

Vectorul legat , se numeste vector nul. A B,

Se numeste modulul sau lungimea (sau norma) vectorului , sau lungimea segmentului si se noteaza

Vectorul de lungimea 1 se numeste vector unitate sau versor.

Versorul axei se noteaza cu , iar versorul axei se noteaza cu . Doi vectori legati si sunt egali daca A=C ( originile coincid) si B=D( extremitatile coincid)

Un vector este liber daca punctul de aplicatie poate fi luat arbitrar in plan, deci vectorul liber este multimea vectorilor legati care au aceeasi directie, acelasi sens si acelasi modul.

Doi vectori sunt echipolenti daca au aceeasi directie, acelasi sens si acelasi modul se scrie .

Operatii cu vectori

.Adunarea vectorilor

a) Regula paralelogramului

Fiind vectori liberi putem alege originea in . Din O ducem un vector echipolent cu si din O vector echipolent cu apoi completam paralelogramul. Diagonala mare reprezinta vectorul suma

b) Regula triunghiului

alegem . Din O ducem un vector echipolent cu notat , din extremitatea lui ducem un vector echipolent cu , , apoi unim O cu C si obtinem vectorul suma

Pentru oricare trei puncte A, B, C din plan

2. Scaderea vectorilor.

Vectorul diferenta se construieste unind extremitatea vectorului scazator cu extremitatea vectorului descazut

O alta metoda a paralelogramului. Diferenta reprezinta tocmai diagonala mica .

3. Inmultirea unui vector cu un scalar.

Fie Produsul dintre este vectorul notat si are:

-acelasi sens cu , daca si sens contrar lui , daca

-aceeasi directie cu

-modulul egal cu produsul dintre si modulul vectorului adica

Doi vectori liberi sunt coliniari daca au aceeasi directie.

Doi vectori nenuli sunt coliniari daca si numai daca astfel incat .

Fie A, B, C trei puncte , ele sunt coliniare asa incat

Problema rezolvata:

Fie M mijlocul laturii a triunghiului ABC. Sa se determine punctele E si F astfel incat ~ si ~

Ducem prin A paralela d la BC iar prin M paralele la AB si AC, care taie pe d in E si respectiv F

Patrulaterele BMEA si MCAF sunt paralelograme . Atunci ~ si ~ (adica echipolent cu si echipolent cu , deci cu aceeasi directie , sens si modul) Mai multe ~ avem , deci A este mijlocul segmentului .

Coliniaritate, concurenta, paralelism

Vectorul de pozitie al unui punct.

In planul fixam un punct O , si M un punct din plan, atunci vectorul il numim vectorul de pozitie al punctului M, notat

atunci

Conditia de coliniaritate a trei puncte.

Fie , , vectorii de pozitie ai punctelor A, B, M in raport cu O.

Punctele A, B, M sunt coliniare daca

Conditia de concurenta a trei segmente

Fie segmentele sa aratam ca un punct (de concurenta) le imparte in

acelasi raport, adica vectorii lor de pozitie au aceeasi exprimare.

Aplicatii: Demonstrati vectorial urmatoarele teoreme: teorema lui Thales, teorema bisectoarei, teorema lui Menelau si teorema lui Ceva. Demonstratiile sunt in manualul de clasa a IX-a de professor Mircea Gonga , editia 2006.

3. Elemente de trigonometrie

Consideram in plan un sistem de coordonate, determinat de reperul O, A, B. Cercul C, de centru O si raza 1 contine punctele:

A(1, 0); B(0, 1);

Lungimea acestui cerc este 2

Reperul O, A, B determina cadranele

I, II, III, IV respectiv ; ;

, ; ;

Unitatea de masura pentru unghiuri mai este si radianul. Unghiul care subantinde un arc de cerc egal cu raza se numeste radian.

1 cerc la centru intreg are 2radiani

Definitie: Cercul C de centru O, de raza 1 pe care s-a fixat un sens pozitiv (invers acelor de ceasornic) se numeste cerc trigonometric.

Functia trigonometrica sinus

Functia se numeste functia sinus. O studiem pe un cerc intreg .

Functia se numeste functia cosinus. O studiem pe un cerc intreg .

Observam ca valoarea maxima este 1 si valoarea minima este -1.

Atat functia sin cat si functia cos sunt periodice si au o perioada 2, valorile lor se repeta dupa un cerc intreg.

Functia sin este o functie impara, adica

Functia cos este o functie para, adica

Functia tangenta

O studiem , aceasta functie nu este definita in .

Este impara si are perioada

Functia cotangenta

O studiem , Deci

In cercul trigonometric construim unghiul , atunci in dupa definitiile din clasa a VII-a avem:

In acest triunghi se aplica Teorema lui Pitagora formula fundamentala a trigonometriei (forma trigonometrica a teoremei lui Pitagora)

Semnele functiilor trigonometrice in cadrane

Reducerea la primul cadran

Daca avem:

Exemple: 1)

2)

3)

Din formula fundamentala se deduc o serie de formule:

1.

2.

3.

4.

5.

Oricare ar fi numerele reale a si b avem formule:

Daca a=b=x atunci ob'inem formulele:

Tema: Sa se arate ca au loc egalitatile:

1)

2)

3)

4)

Formele pentru transformarea sumelor in produse

Formulele sunt date fara demonstratii

Tema: Sa se transforme in produs:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5)

Aplicatii ale trigonometriei in geometria plana.

1. Teorema sinusurilor

In orice triunghi ABC are loc relatia:

(1)

R=raza cercului circumscris

2. Teorema cosinusului

In orice triunghi ABC au loc relatiile:

Din aceste formule deducem usor

; ;

Formulele de calcul a ariei unui triunghi:

(1) (aria= baza ori inaltimea impartit la 2)

(2)

(3) Formula lui Heron: In orice triunghi ABC aria S are formula (semiperimetrul)

In orice triunghi ABC, raza r a cercului inscris se exprima prin : iar raza cercului circumscris R se exprima prin formula:

Demonstratiile se gasesc in manualul de clasa a IX-a Matematica informatica

Teste recapitulative

Testul 1

a)      Se da progresia aritmetica de ratie r, in care cunoastem Calculati .

b)      Se da progresia geometrica de ratie q, in care cunoastem , q=4. Calculati .

c)      Sa se determine parametrul real m incat intre radacinile ecuatiei sa existe relatia:

d)      Sa se verifice identitatea:

e)      Se da triunghiul ABC in care AC=5, AB=3, Sa se determine BC, aria , raza cercului inscris si raza cercului circumscris triunghiului ABC

Testul 2

a)      Sa se demonstreze ca intr-un triunghi dreptunghic ABCavem egalitatile: 1) 2)

3)

b) Sa se demonstreze identitatea: ,

c) Sa se rezove sistemul de inecuatii:

d) Sa se rezolve ecuatia: 5+13+21++x=588;

e) Sa se determine functia cand se cunoaste a=1 si varful parabolei V(3, 1)

Testul 3

a)      Sa se rezolve sistemele: a) ; b)

b)      Rezolvati inecuatia:

c)      In triunghiul ABC se dau b=3, c=5 si sa se afle a; aria , raza cercului inscris r, si raza cercului circumscris R

d)      Fie , iar M, N, P mijloacele laturilor . Sa se arate ca

e)      Sa se arate ca

Testul 4

a)      Sa se arate ca: ;

b)      Sa se arate ca daca numerele a, b, c sunt in progresie aritmetica atunci numerele sunt de asemenea in progresie aritmetica.

c)      Fara a rezolva ecuatia : sa se calculeze (x₁ si x₂ fiind radacinile ecuatiei)

d)      Sa se arate ca in triunghiul dreptunghic ABC are loc egaslitatea :

e)      Sa se arate ca , daca a=41, b=28, c=15, atunci triunghiul ABC este obtuzunghic.