CATEGORII DOCUMENTE |
Astronomie | Biofizica | Biologie | Botanica | Carti | Chimie | Copii |
Educatie civica | Fabule ghicitori | Fizica | Gramatica | Joc | Literatura romana | Logica |
Matematica | Poezii | Psihologie psihiatrie | Sociologie |
Siruri si serii de functii
A)Dictionar
Interpretarea
geometrica la marginirea uniforma pentru (fn)n1 pe D
,cu
D=[a,b]
Graficul functiilor fn,n
sunt continute in banda orizontala cuprinsa intre
dreptele de ecuatii x = -M si y = M
Observatie :Este imediat(a se vedea interpretarile
geometrice corespunzatoare) ca un sistem de functii uniform convergent pe D este uniform marginit pe D
fn :D->,
n
1 (D
)(sau,echivalent,
serie de functii definita de sirul de functii (fn)n
1) : perechea ((fn)n,(sn)n),
unde :
s1=f1;
s2=f1+f2;;sn=f1+fn;n
1
(sn:D->,
n
1)
Se noteaza sau
sau f1+f2+fn+
si uneori pentru ca marea diferenta de o serie numerica se scrie
(x),x
D.
Termenii
seriei : functiile f1,f2,,fn,
Sirul
sumelor partiale ale seriei de functii (cu ((fn)n
1)
F(D,
)) :
o serie de
functii ,cu
F(D,
) cu sn=f1+f2++fn
,
n
1 (sn
=suma partiala de ordinul n a seriei
)
Serie de functii simlu convergenta(sau partial convergenta) pe D
o serie de
functii ,cu(
F(D,
),a.i. sirul absciat de functii
F(D,
) al sumelor partiale de ordin n cu n
1,este simplu(punctual)convergent pe D, deci
s
F(D,
) a.i. sn
S
Functia S :D de mai sus e numita suma punctuala a seriei
,pe D.Se noteaza :
S(x)=(x),x
D
Serie de functii
uniform convergenta pe D :
o serie de functii ,cu
F(D,
) a.i. sirul
asociat de functii
F(D
),al sumelor
partiale de ordin n cu n
1,este uniform convergenta pe D, deci
S
F(D,
) a.i. Sn
S
Fuctia S:D
de mai sus
este numita suma uniforma a seriei
,pe D.
Se noteaza S= pe D
Serie de
functii absolut convergenta in punctul x0D :
o serie de
functii cu
F(D,
) a.i. seria numerica
este convergenta.Serie numerica
este n
1 serie de
termeni pozitivi.
Serie de functiiabsolut convergenta pe D :
o serie de
functii cu
F(D,
) astfel incat
este absolut
convergenta in x0
D.
Observatie
1. O serie de
functii absolut convergenta in
x0
D,este convergenta in x0
D (adica seria numerica
x0 este convergenta).
x0 este si o serie numerica.
2. O serie de functii absolut convergenta pe D este simplu convergenta pe D
Restul de
ordin n al unei serii convergente de functii (serii punctual convergente&serii uniform convergente)
seria=fn+1+fn+2+
(
=(f1+f2++fn)+(fn+1+fn+2+))
Sn restul de ordin 22
Multimea de
convergenta a seriei de functii ,fn :D
,n
1 :
cea mai mare
submultime DcD pe care seria este convergenta.
Deci Dc=
Exelplu 1 [Sir de functii care este simplu convergent pe multimea D de definitie, fara a fi convergent]
, fn :[0,1]
,fn
xn ,
n
1 ; xn,n
1 ;x
[0,1] f
fn
f si fn
f ,unde f :[0,1]
este functie f(x)=
0 1 x
Intr-adevar ,fie
>0.Trebuie gasit pentru
x
[0,1] n(
,x) astfel incat
n
n(
,x)
<
si in plus trebuie arata ca nu este posibil ca n(
,x) sa fie ales independent de x
[0,1].
Dar
=
Deci pentru x
(0,1) si n
1 ,
<
<=>0<xn<
<=>nlg<lg
:lgx<0 caci x
[0,1)
<=>n>
Alegem n(,x)=max[0,[
Nu este posibil ca sa existe un n(
) cu n(
)
n(
,x) ,
x
(0,1),deoarece pentru x
1,lgx
0 deci
,daca
<1 => n(
,x)
=>multimea
este nemarginita (nemarginita!)
De altfel alegand
xn=1-[0,1) xn
1 , =>
=
=(1-
)n=[1-
)-n]-1
e-1=
deci
0 adica diferenta
nu poate fi facuta suficient de mica.
Exemplu2 [ Sir de functii uniform convergente pe mumltimea D de functii]
,fn :[0,
]
,fn(x)=xn,
n
1. xn,n
1,x
[0,
]
fnf,unde f :
[0,
]
este functia definita prin f(x)=0,
x
[0,
Intr-adevar,fie
>0.Cum
=xn<
<
<=>nlg
<lg
=>n>
(am tinut cont ca lg<0)
Aleg n
=max(0,[
]+1) si
rezulta ca
n
n(
) si
x
[0,
] =>
<
=>fn
f.
Exemplu3 [SERIE de functii SIMPLU CONVERGENTE pe multimea D de definitie,fara a fi si UNIFORM CONVERGENTA pe D]
Seria de functii cu fn(x)=cos
- cos
,x
n
x
are suma
punctuala(!atentie corector nu stiu daca e corect!)
S(x)=-cosx ; x
are sirul (sn)n1 al sumelor partiale simplu convergent pe D=
, fara a fi uniform convergent pe D.
Intr-adevar,sn(x)=f1(x)+f2(x)++fn(x)=(cos
- cos
)+(cos
- cos
)++(cos
- cos
)=
=cos- cos x
Rezulta ca ,x
,
sn(x)=-cosx, deci seria considerata este simplu
convergenta la s(x)=-cosx , S :
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 1427
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved