Siruri si serii de functii

A)Dictionar

Interpretarea geometrica la marginirea uniforma pentru (f_n)_n1 pe D,cu D=[a,b]

Graficul functiilor f_n,n

sunt continute in banda orizontala cuprinsa intre

dreptele de ecuatii x = -M si y = M

Observatie :Este imediat(a se vedea interpretarile geometrice corespunzatoare) ca un sistem de functii uniform convergent pe D este uniform marginit pe D

Serii de functii

Serie de functii,corespunzatoare sirului de functii (f_n)_n1,

f_n :D->,n1 (D)(sau,echivalent, serie de functii definita de sirul de functii (f_n)_n1) : perechea ((f_n)_n,(s_n)_n), unde :

s₁=f₁; s₂=f₁+f₂;;s_n=f₁+f_n;n1

(s_n:D->,n1)

Se noteaza sau sau f₁+f₂+f_n+ si uneori pentru ca marea diferenta de o serie numerica se scrie (x),xD.

Termenii seriei  : functiile f₁,f₂,,f_n,

Sirul sumelor partiale ale seriei de functii (cu ((f_n)_n1)F(D,)) :

o serie de functii ,cu F(D,) cu s_n=f₁+f₂++f_n ,n1 (s_n =suma partiala de ordinul n a seriei )

Serie de functii simlu convergenta(sau partial convergenta) pe D 

o serie de functii ,cu(F(D,),a.i. sirul absciat de functii F(D,) al sumelor partiale de ordin n cu n1,este simplu(punctual)convergent pe D, deci s F(D,) a.i. s_nS

Functia S :D de mai sus e numita suma punctuala a seriei ,pe D.Se noteaza :

S(x)=(x),xD

Serie de functii uniform convergenta pe D : o serie de functii ,cu F(D,) a.i. sirul asociat de functii F(D),al sumelor partiale de ordin n cu n1,este uniform convergenta pe D, deci SF(D,) a.i. S_nS

Fuctia S:D de mai sus este numita suma uniforma a seriei ,pe D.

Se noteaza    S= pe D

Serie de functii absolut convergenta in punctul x₀D :

o serie de functii cu F(D,) a.i. seria numerica este convergenta.Serie numerica este n1 serie de termeni pozitivi.

Serie de functiiabsolut convergenta pe D :

o serie de functii cu F(D,) astfel incat este absolut convergenta in x₀D.

Observatie 

1. O serie de functii absolut convergenta in x₀D,este convergenta in x₀D (adica seria numerica x₀ este convergenta). x₀ este si o serie numerica.

2. O serie de functii absolut convergenta pe D este simplu convergenta pe D

Restul de ordin n al unei serii convergente de functii (serii punctual convergente&serii uniform convergente)

seria=f_n+1+f_n+2+

(=(f₁+f₂++f_n)+(f_n+1+f_n+2+))

S_n    restul de ordin 22

Multimea de convergenta a seriei de functii ,f_n :D,n1 :

cea mai mare submultime D_cD pe care seria este convergenta.

Deci D_c=

B) Exemple

Exelplu 1    [Sir de functii care este simplu convergent pe multimea D de definitie, fara a fi convergent]

, f_n :[0,1] ,f_nxⁿ , n1 ; xⁿ,n1 ;x[0,1] f

f_nf si f_nf ,unde f :[0,1] este functie f(x)=

0 1 x

Intr-adevar ,fie >0.Trebuie gasit pentru x[0,1] n(,x) astfel incat n n(,x) < si in plus trebuie arata ca nu este posibil ca n(,x) sa fie ales independent de x[0,1].

Dar =

Deci pentru x(0,1) si n1 ,<<=>0<xⁿ<<=>nlg<lg :lgx<0 caci x[0,1)

<=>n>

Alegem n_(,x)=max[0,[

Nu este posibil ca sa existe un n() cu n()n(,x) ,x(0,1),deoarece pentru x1,lgx0 deci ,daca <1 => n(,x) =>multimea este nemarginita (nemarginita!)

De altfel alegand x_n=1-[0,1) x_n1 , =>==(1-)ⁿ=[1-)^-n]^-1

e^-1= deci 0 adica diferenta nu poate fi facuta suficient de mica.

Exemplu2 [ Sir de functii uniform convergente pe mumltimea D de functii]

,f_n :[0,],f_n(x)=xⁿ,n1. xⁿ,n1,x[0,]

f_nf,unde f : [0,] este functia definita prin f(x)=0,x[0,

Intr-adevar,fie >0.Cum =xⁿ<<<=>nlg<lg=>n>

(am tinut cont ca lg<0)

Aleg n=max(0,[]+1) si rezulta ca nn() si x[0,] =>< =>f_nf.

Exemplu3 [SERIE de functii SIMPLU CONVERGENTE pe multimea D de definitie,fara a fi si UNIFORM CONVERGENTA pe D]

Seria de functii cu f_n(x)=cos- cos,x n xare suma punctuala(!atentie corector nu stiu daca e corect!)

S(x)=-cosx ; x

are sirul (s_n)_n1 al sumelor partiale simplu convergent pe D=, fara a fi uniform convergent pe D.

Intr-adevar,s_n(x)=f₁(x)+f₂(x)++f_n(x)=(cos- cos)+(cos- cos)++(cos- cos)=

=cos- cos x

Rezulta ca ,x,s_n(x)=-cosx, deci seria considerata este simplu convergenta la s(x)=-cosx , S :