Proprietati ale gradientului normei

Proprietati ale gradientului normei.Teorema Ghika-Vainberg

Al.Ghika si-a pus problema determinarii formei generale a functionalelor liniare si marginite pe diverse tipuri de spatii normate ca urmare a unui studiu direct al proprietatilor pe care le poseda norma acestor spatii.In acest fel el a fost condus sa considere spatiile cu norma diferentiabila si sa studieze proprietatile gradientului normei.Aceste proprietati,stranse in teorema ce va fi data mai jos,au fost regasite de M.M.Vainberg.

Fie X un spatiu normat cu norma diferentiabila in sens Gateaux in orice punct ,adica cu norma avand proprietatea:

exista,

Am vazut (teorema 6 din capitolul II) ca daca norma este diferentiabila Gateaux ,atunci ea este derivabila in sens Gateaux,adica pentru orice functionala

este liniara si marginita.Exista deci:

astfel incat:

Teorema 1(Ghika-Vainberg)

Fie X un spatiu normat,real,cu norma diferentiabila in sens Gateaux.Atunci operatorul are urmatoarele proprietati:

1)

2)

3)

Demonstratie

1)Avem:

.

Fie,in egalitatea de mai sus h=x si .Atunci obtinem:

2)Utilizand rezultatul de la punctul precedent,rezulta:

de unde Pe de alta parte,deoarece pentru orice si orice avem: ,rezulta:

,

deci In concluzie:

3)Pentru orice si orice avem:

Rezultatele teoremei 1 au fost deja folosite in obtinerea formei concrete a aplicatiei de dualitate pe spatii cu norma diferentiabila.Ele vor fi utilizate in obtinerea teoremei de reprezentare,date de Ghika pentru functionale liniare si marginite pe spatii normate cu norma diferentiabila,

Teorema 2

Fie X un spatiu normat,A o submultime a lui X, h o functionala pe A si M un numar pozitiv.Necesar si suficient pentru ca sa existe astfel incat

si este ca:

pentru orice numar finit de elemente din A si din orice numere

Fie X un spatiu Banach reflexiv,real,cu norma diferentiabila in sens Gateaux.

Problema momentelor este urmatoarea:

Se dau elementele ,constantele si constanta M.Se cere sa se determine astfel incat:

(7)

si

(8)

Consideram sistemul partial:

Fie de asemenea acoperirea liniara a sistemului presupus liniar independent:

Fie astfel:

Introducem pe urmatoarea norma:

Este evident ca stabileste un izomorfism intre si ce pastreaza norma.Mai definim pe urmatoarea functionala (liniara):

Aplicand teorema 2 pentru ,h definita pe A prin ,rezulta ca o conditie necesara si suficienta pentru ca sa existe care sa satisfaca sistemul redus (9) este ca sa existe astfel incat:

pentru orice ,ceea ce revine la a spune ca:

,

deci ca este continua pe (In plus,avem si ). Dar daca este continua pe ,exista un punct cu care realizeaza supremul lui pe sfera unitate.Vom arata ca definita astfel:

(10)

satisface sistemul partial (9).Fie,intr-adevar:

Punctul care realizeaza supremul lui pe sfera unitate este o solutie a sistemului:

care se mai scrie:

(11)

Tinand seama ca:

,

sistemul (11) devine:

(12)

Inmultind fiecare ecuatie cu si adunand,rezulta :

Deoarece insa(vezi teorema 1,punctul 1):

rezulta deci satisface (vezi (12)):

(13)

Comparand (10) cu (13) rezulta:

adica indicata la (10) satisface sistemul partial (9).

Vom arata ca solutia a sistemului partial (9) este de norma minima.Intr-adevar,din (10),tinand seama de punctul 2) al teoremei 1,rezulta:

Fie o alta solutie a sistemului partial (9):

Atunci avem:

Observam ca,conditia necesara si suficienta pentru ca (9) sa aiba solutie era ca sa fie continua,ceea ce este echivalent cu faptul ca:

(14)

Daca aceasta conditie este indeplinita ,atunci pentru orice avem:

deci:

ceea ce este echivalent cu faptul ca exista solutie a lui (9) si:

Presupunem ca:

(15)

Atunci Spatiul fiind reflexiv(deoarece X este reflexiv),urmeaza ca din se poate extrage un subsir slab convergent.Fie limita slaba in a lui .Deoarece X este reflexiv,aceasta este echivalent cu:

.

Deoarece ,de aici urmeaza ca deci verifica sistemul (7),In plus,avem:

,

deci:

asadar Pe de alta parte avem:

(16)

de unde:

(17)

Asadar Aratam ca Aceasta conditie este necesara si suficienta,caci daca exista o solutie a lui (7) ce satisface (8) ,atunci ea este solutie pentru sistemul partial (9),oricare ar fi n,de unde urmeaza ,deci

Rationamentul bazat pe (16) care a condus la (17) poate fi facut pentru orice solutie a sistemului (7),deci pentru orice alta solutie a sistemului (7) avem care arata ca solutia este cea de norma minima.

In concluzie,daca X este reflexiv si cu norma diferentiabila dupa Gateaux,atunci problema momentelor are solutie daca si numai daca:

(18)

Daca conditia (18) este indeplinita ,atunci rationamentul facut pentru poate fi facut pentru orice subsir slab convergent al lui ,deci limita slaba in X a oricarui subsir slab convergent al sirului format cu solutiile sistemelor partiale (9) este o solutie a problemei momentelor.

Presupunem ca .Deoarece orice solutie a lui (7) satisface ,iar pe de alta parte (datorita lui (8)) avem si ,rezulta ca in acest caz,orice solutie a problemei momentelor satisface .Am vazut mai inainte ca exista o solutie a problemei momentelor,,ce satisface .Vom arata ca daca X este strict convex si ,aceasta este unica solutie a problemei momentelor.Fie o alta solutie,diferita,a problemei momentelor.Atunci,dupa cum am vazut,.Consideram Deoarece satisface sistemul (7),avem:

Pe de alta parte avem de asemenea :

De aici rezulta:

Spatiul X fiind strict convex,aceasta atrage De aici,tinand seama ca ,rezulta ,deci

Fie X local uniform convex,adica are proprietatea:

Pentru orice sir slab convergent la si cu ,rezulta :

.

Vom arata in acest caz exista un subsir al lui convergent tare la Intr-adevar,deoarece: ,

avem ,de unde rezulta ca :

,

adica:

.

Fie un subsir al lui slab convergent la .Atunci:

,

iar fiind local uniform convex,rezulta:

Consemnam rezultatele obtinute in:

Teorema 3

Daca spatiul Banach ,real,X este cu norma diferentiabila in sens Gateaux,atunci sistemul finit cu are solutie daca si numai daca :

Daca este strict convex si ,solutia este unica.

Daca X este ,in plus,reflexiv,sistemul infinit

cu are solutie daca si numai daca Exista o solutie de norma minima (egala cu ) care este limita slaba a oricarui subsir slab convergent al sirului de solutii cu norme minime ale sistemelor partiale.Daca este strict convex si ,solutia este unica.Daca este local uniform convex,exista un subsir al sirului solutiilor partiale care converge tare la solutia de norma minima a problemei momentelor.