ECUATIA LAPLACE

ECUATIA LAPLACE

Ecuatia _nu =F, unde F este o functie definita intr-un domeniu D_n Rⁿ se numeste ecuatia Poisson.

Ecuatia _nu = 0 se numeste ecuatie Laplace.

Solutiile de clasa C² ale ecuatiei _nu = 0 in domeniul D_n se numesc functii armonice in D_n.

Cu alte cuvinte, functiile armonice sunt solutii ordinare (clasice) ale ecuatiei Laplace ; pentru ca functia u : D_n -> R sa fie o functie armonica in multimea ei de definitie (notata aici prin D_n), trebuie ca u sa fie de clasa C² in D_n si sa verifice ecuatia in fiecare punct din D_n.

In teoria functiilor armonice un rol important il joaca integralele improprii de forma

I(x) = ∫_Dn [f(y)/(I x - y I )]dy ; I x- y I² = ( x₁ - y₁)² +.+ ( x_n - y_n )².

unde x Є Rⁿ iar y Є D_n; este un exponent real (sau complex) ; este evident ca daca > 0, atunci, daca x Є D_n integrala de mai sus este improprie (integrandul fiind nemarginit in D_n). Pentru convergenta integralei de mai sus este importanta teorema urmatoare:

Daca in integrala de mai sus f este o functie marginita si integrabila in D_n, atunci aceasta imtegrala este uniform convergenta pentru orice Є R, < n (daca Є C, atunci Re < n) in sensul valorii principale Cauchy. Vom presupune x D_n; in caz contrar integrala este o integrala obisnuita, depinzind de parametrul x; vom nota prin I y - x I < interiorul sferei avand x centrul, iar este raza sferei, unde este ales astfel incat C D_n si vom nota:

I_ε (x) = ∫_{I y - x I < ε} [f(y)/(I x - y I )]dy, I₁ (x) = I(x) - I_ε(x) = ∫_∩Dn [f(y)/( I x - y I )]dy (2)

Evident, integrala I₁ nu mai este improprie, asa ca integrala (1) va fi convergenta daca integrala I_ε este convergenta; deoarece in sfera avem dy = r^n-1 dr dω_n, I f I ≤ M, vom putea scrie, notand r = I x - y I :

I I_ε(x) I = I ∫ _{I y - x I < ε} [f(y)/(I x - y I )]dy I ≤ I ∫ _{I y - x I < ε} [I f(y) I /(I x - y I )]dy I ≤ M ∫ _{I y - x I < ε} [dy /(I x - y I )] = M ∫₀^ε r^{n - α - 1} dr ∫_Σ1 dω_n = [(Mω_n)/(n - α)]r^n-α |_{r = 0}^{r = ε}

si este evident ca daca n - > 0, deci daca < n avem r^{n - α} |_{r = 0}^{r = ε} = ε^{n - α}

iar ε^{n - α} → 0 cand ε ↓ 0, independent de pozitia punctului x Є D_n; deci, pentru < n integrala I_ε tinde uniform la zero si aceasta proprietate arata ca integrala I = I₁ + I_ε este uniform convergenta(pentru < n) ; aceasta convergenta uniforma este in sensul valorii principale Cauchy deoarece din domeniul D_n s-a eliminat o sfera de raza arbitrar de mica (nu un domeniu avand volumul arbitrar de mic, care contine punctul x cum trebuie sa se intample in cazul convergentei in sens obisnuit a integralelor improprii).

Utilizind un rezultat cunoscut din teoria integralelor cu parametrii, in baza uniform convergentei integralelor in cauza, va rezulta ca functia I : Rⁿ → R definita prin integrala (2) va fi o functie continua in Rⁿ. Deoarece avem:

(δ/δx_j)[1/(I x - y I )] = [(-α)/(I x - y I )][(x_j - y_j)/(I x - y I)] = [ (y_j - x_j)]/( I x - y I

si    deoarece I y_j - x_j I < I x - y I, rezulta majorarea

| (δ/δx_j)[1/(I x - y I )] | = [I α I I y_j - x_j I ( I x - y I )] ≤ I α I / I x - y I

care arata ca daca + 1 < n (deei daca < n - 1) atunci aceeasi integrala reprezinta o functie de clasa C¹ in Rⁿ (se utilizeaza o teorema de derivabilitate a integralelor cu parametrii). Generalizand acest rezultat putem considera ca fiind demonstratia teorema urmatoare :

Daca in integrala avem + k < n atunci functia I definita prin aceasta integrala eate o functie de clasa C^k in Rⁿ.

BIBLIOGRAFIE

TEODORESCU, N., OLARIU, V., Ecuatiile Fizicii Matematice, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1975.

SPANULESCU, I., OLARIU, V., Introducere in Fizica Matematica, vol. 1, Editura Victor, Bucuresti, 2001.