Functia de gradul al doilea - Rezolvarea ecuatiei de gradul al doilea

 

Functia de gradul al doilea

Definitie. Se numeste functie de gradul al doilea, o aplicatie de forma , , unde , .

Exemple :

1. , ;
2. , ;
3. , ;
4. , ;
5. , .

Forma canonica a functiei de gradul doi

Daca notam cu , obtinem .

Definitie. Numarul real se numeste descriminantul functiei de gradul al doilea .

Definitie. Ultima forma la care a fost adusa functia poarta numele de forma canonica a functiei de gradul doi.

Exemple :

1. . Discriminantul este , iar forma canonica este .
2. . Discriminantul este , iar foma canonica este .

Rezolvarea ecuatiei de gradul al doilea

Definitie. Se numeste ecuatie de gradul doi, o ecuatie de forma , .

Dupa cum am vazut mai sus, la forma canonica a functiei de gradul doi, ecuatia de gradul doi , se poate scrie si cum , avem . Pentru rezolvarea ultimei ecuatii se disting teri cazuri :

1)      . In acest caz ecuatia nu are solutii reale deoarece unde membrul stang fiind un patrat este pozitiv, iar membrul drept este raportul dintre un numar negativ si un patrat, deci negativ.

2)      . In acest caz ecuatia devine si solutiile coincid .

3)      . In acest caz ecuatia admite doua radacini distincte, deoarece , de unde obtinem si .

Exemple :

1. . Discriminantul este , deci ne situam in primul caz ecuatia neavand solutii reale.
2. . Discriminantul este , deci ne situam in cel de al doilea caz, cele doua radacini fiind egale : .
3. . Discriminantul este , deci ne situam in cel de-al treilea caz, solutiile fiind si .

Observatie. Dupa cum se poate observa foarte usor, in cazul in care avem solutii, adica sau , acestea se pot scrie , deci cazurile 2) si 3) se pot restrange sub foma :

2'. .

Suma si produsul radacinilor ecuatiei de gradul al doilea

Observatie. Vom considera in acest paragraf numai cazul , insa rezultatul obtinut se poate aplica si in cazul in care , caz in care nu avem radacini reale, dar avem radacini complexe.

In cazul , radacinile sunt si .

Suma, pe care o vom nota cu este : .

Produsul, pe care il vom nota cu este :

.

Daca rezumam, avem : si .

Observatie. Orice ecuatie de gradul al doilea , se poate scrie . Intrucat , ecuatia este echivalenta cu , cu alte cuvinte orice ecuatie de gradul doi poate fi scrisa sub forma .

Observatie. Functia de gradul doi , , unde , poate fi scrisa sub forma , unde sunt radacinile ecuatiei . Rezumand putem scrie : .

Exemple :

1. Sa se construiasca ecuatia de gradul al doilea care admite ca radacini pe si . Suma radacinilor este , iar produsul radacinilor este . Ecuatia se scrie , sau aducand la acelasi numitor, avem : .

2. Fara a rezolva ecuatia sa se determine suma si produsul radacinilor .

, iar .

Semnul radacinilor ecuatiei de gradul al doilea

Natura si semnul radacinilor ecuatiei de gradul doi , poate fi sintetizata in urmatorul tabel :

	P	S	Natura si semnul radacinilor ecuatiei
			;
			;
			;
			; ,
			; ,
			; , ,
			; , ,
			; , ,
			; ,
			; ,
	Radacinile nu sunt reale

Semnul functiei de gradul al doilea

Consideram functia de gradul al doilea , , unde , . Forma canonica a acesteia este . Intervin doua posibilitati pentru semnul lui . Le vom studia separat.

1. . In acest caz, studierea semnului lui se reduce la studierea semnului expresiei . Se disting trei cazuri :

• , deci , .
• , deci , , .
• .

Semnul functiei va fi ilustrat cu ajutorul urmatorului tabel :

	- - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + +
	- - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + +
	+ + + + + 0 - - - - - - - 0 + + + + + +

2. . Acest caz se reduce la precedentul, modificand peste tot semnul functiei deoarece avem , este un numar negativ si semnul parantezei l-am studiat in primul caz.

Observatie. Discutia de mai sus se poate rezuma astfel :

Cazul

	semn 0 semn contrar 0 semn

Cazul

	semn 0 semn

Cazul

	semn semn

Exemple :

1. . , .

2. . , , deci :

	-2
	+ + + + + + + + + 0 + + + + + + + + + +

3. . , radacinile sunt , , deci :

	2 3
	+ + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + + + + + +

Monotonia functiei de gradul doi

Reamintim urmatoarele :

Definitie. Fie o functie de variabila reala si .

• Spunem ca functia este strict crescatoare pe daca :

• Spunem ca functia este strict descrescatoare pe daca :

• Spunem ca functia este crescatoare pe daca :

• Spunem ca functia este descrescatoare pe daca :

Observatie. O functie strict crescatoare pe sau strict descrescatoare pe se numeste functie strict monotona pe . O functie crescatoare pe sau descrescatoare pe se numeste monotona pe .

Vom studia monotonia folosind definitia precedenta :

cu , avem : .

Cunoastem ca , si , sunt argumente. Pentru a determina semnul lui vom studia situatiile :

• si oricare argument mai mic decat , deci , . Rezulta , deci . Concluzie : din rezulta , functia este strict crescatoare .
• si oricare argument mai mare decat , deci , . Rezulta , deci . Concluzie : din rezulta , functia este strict descrescatoare .

Consemnam monotonia functiei prin sageti in urmatorul tabel :

,

• si oricare argument mai mic decat , deci , . Rezulta , deci . Concluzie : , din rezulta , functia este strict decrescatoare .
• si oricare argument mai mare decat , deci , . Rezulta , deci . Concluzie : din rezulta , functia este strict crescatoare .

Consemnam monotonia functiei prin sageti in urmatorul tabel :

,

Observatie. In contextul casei a-XI-a, folosind notiunile de aniliza matematica, studiul monotoniei revine la studiul semnului primei derivate :

.

Deci totul se reduce la studiul semnului expresiei . Avem doua situatii :

1.

	- - - - - - - - 0 + + + + + +

2.

	+ + + + + + 0 - - - - - - - -

Observatie. Monotonia functiei de gradul al doilea este caracterizata de coeficientul lui , si

de argumentul .

Extremul functiei de gradul al doilea

De la forma canonica cunoastem egalitatea :

.

Membrul din dreapta al egalitatii eeste alcatuit din doi termeni. Un termen variabil pozitiv si un termen constant . Acest membru are cea mai mica valoare atunci cand termenul variabil are cea mai mica valoare . Cea mai mica valoare a unei variabile pozitive este zero, deci , egalitatea realizandu-se pentru . Rezulta :

. Inmultind membrii inegalitatii cu , obtinem :

• , , egalitate pentru , rezulta , valoarea minima fiind , obtinuta pentru .
• , , egalitate pentru , rezulta , valoarea maxima fiind , obtinuta pentru .

Definitie. Punctul se numeste extremul sau varful functiei de gradul al doilea.

Observatie. Extremul este un maxim daca si este uin minim daca .

Exemple :

1. Sa se studieze monotonia urmatoarelor functii :

a)      , ;

b)      , ;

Solutie :

a) , , . Monotonia va fi ilustrata cu ajutorul urmatorului tabel :

	3
,	-1

b) , , . Monotonia va fi ilustrata cu ajutorul

urmatorului tabel :

	0
,	25

2. Sa se stabileacsa maximul sau minimul urmatoarelor functii :

a)      ;

b)      ;

Solutie :

a) deci functia are un maxim, , , punctul de maxim este iar valoarea maxima a functiei este 0.

b) deci functia are un minim, , , punctul de minim este iar valoarea minima a functiei este .

Reprezentarea grafica a functiei de gradul doi

Definitie. Reprezentarea grafica a functiei , , unde , , adica multimea punctelor ale caror coordonate verifica relatia este o curba numita parabola. Vom nota graficul functiei de gradul al doilea cu .

Pentru reprezentarea grafica a functiei de gradul al doilea trebuiesc parcursi urmatorii pasi :

1) Intersectia graficului cu axele de coordonate.

Determinam intersectia graficului functiei de gradul al doilea cu axa , aceasta se obtine rezolvand ecuatia . Se disting trei cazuri :

• daca , , intersectia consta din doua puncte.
• daca , , intersectia consta din un singur punct.
• daca , , nu avem intersectie cu axa .

Determinam intersectia graficului functiei de gradul al doilea cu axa , aceasta se obtine calculand . Deci .

Observatie. Daca , atunci graficul functiei trece prin origine.

2). Stabilirea coordonatelor varfului.

Dupa cum am vazut mai sus, punctul de extrem mai poarta numele si de varf al

functiei de gradul doi. La acest pas vom calcula si in functie de coeficientii functiei de gradul doi dati.

3) Axa de simetrie.

Axa de simetrie este o dreapta ce trece prin varful parabolei si fata de care punctele parabolei sunt simetrice doua cate doua. Axa de simetrie este paralela cu axa Oy si are ecuatia : .

4) Tabelul de variatie.

Se determina si se inscriu intr-un tabel de variatie coordonatele unui numar finit de puncte ale curbei.

5) Trasarea graficului.

Exemplu :

Sa se reprezinte grafic functia , .

Studiem intersectia cu axele de coordonate :

. .

Stabilim coordonatele virfului : .

Ecuatia axei de simetrie este : .

Tabelul de variatie :

Graficul :

Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul doi fata de un parametru real

Fiind data ecuatia de gradul doi , , cu (i.e. admite doua radacini reale ) si numarul real , ne propunem sa precizam conditiile, astfel incat :

1. , ;
2. , ;
3. .

Notam si ecuatia se scrie . Ecuatia are radacinile , care sunt in acelasi timp reale cu cele ale ecuatiei initiale .

1. si deci se pun conditiile ca ecuatia sa admita radacinile strict negative, rezultand conditiile : .
2. si deci se pun conditiile ca ecuatia sa admita radacinile strict pozitive, rezultand conditiile : .
3. si deci se pun conditiile ca ecuatia sa admita radacinile de semne contrare, rezultand conditiile : .

Observatie. Pentru determinarea conditiilor necesare si suficiente de mai sus se poate utiliza o metoda care sa implice graficul functiei de gradul doi . Spre exemplu, prima situatie poate fi ilustrata grafic prin

iar conditiile ce se impun sunt : , unde este abscisa varfului (al punctului de extrem al functiei). Conditia , apare ca evidenta din moment ce , si . Scriind functia de gradul al doilea sub forma descompusa in factori liniari : , deducem ca .

In cazul al doilea , , conditiile care rezulta prin aceasta metoda sunt : In cel de-al treilea caz, conditia necesara si suficienta este .

Observatie. In cazul in care inegalitatile nu sunt stricte, conditiile se deduc ca mai sus prin una din cele doua metode .

Pozitia radacinilor ecuatiei de gradul doi fata de doua numere reale distincte

Fiind data ecuatia de gradul doi , , cu (i.e. admite doua radacini reale ) si numerele reale ne propunem sa stabilim conditiile astfel incat :

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Efectuam transformarea si se obtine o ecuatie de forma ale carei radacini sunt si . In continuare rationamentul este acelasi ca la paragraful anterior. De exemplu sa analizam prima situatie :

1. adica radacinile ecuatiei sunt de semne contrare si deci se impun conditiile : .

Observatie. Pentru determinarea conditiilor necesare si suficiente de mai sus, se poate utiliza si o metoda geometrica, nu vom insista asupra ei.

Exercitii propuse

1. Formati ecuatia de gradul al doilea cand se cunosc si .

2. Sa se aduca la forma canonica urmatoarele functii de gradul doi :

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      ;

f)       .

3. Sa se determine axa de simetrie si varful parabolei asociat functiilor :

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      ;

f)       .

4. Sa se stabileasca maximul sau minimul urmatoarelor functii :

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      ;

f)       .

5. Sa se stabileasca semnul urmatoarelor functii :

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      ;

f)       .

6. Sa se traseze graficul urmatoarelor functii :

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      ;

f)       .

7. Fie ecuatia , . Fara a rezolva ecuatia sa se exprime in functie de expresiile :

         ;

         ;

         ;

         ;

         ;

         .

8. Sa se determine parametrul astfel incat intre radacinile ecuatiilor urmatoare sa existe relatia scrisa in dreptul fiecareia :

• , ;
• , ;
• , ;
• , ;
• , ;
• , ;
• , ;
• , ;
• , ;
• , ;
• , .

9. Sa se gaseasca o relatie independenta de intre radacinile ecuatiei :

.

10. Determinati si reali, astfel incat ecuatiile si sa aiba aceleasi radacini.

11. Sa se rezolve inecuatiile :

a)      ;

b)      ;

c)      ;

d)     ;

e)      ;

f)       .

12. Daca , sunt radacinile ecuatiei , sa se formeze ecuatia de gradul al doilea in ale carei radacini sunt :

         , ;

         , .

13. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii :

• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• .

14. Fie ecuatia . Sa se determine , astfel incat ambele radacini sa fie mai mici decat 1.

15. Sa se determine astfel incat :

.

16. Pentru ce valori ale lui , multimea :

are doua elemente .

17. Sa se determine valorile lui pentru ca ecuatia sa admita o radacina mai mica decat 1, iar cealalta mai mare decat 2.

18. Daca sunt radacinile ecuatiei , , sa se calculeze in functie de expresiile :

• ;
• , (, ).

19. Sa se determine , astfel incat .

20. Sa se determine valorile lui , astfel incat relatiile de mai jos sa fie satisfacute pentru orice :

• ;
• ;
• ;
• .

21. Pentru ce valori ale lui , suma radacinilor ecuatiei , este minima ?

22. Gasiti cea mai mica si cea mai mare valoare a expresiei , daca numerele reale verifica relatia .

23. Pentru ce valori ale lui urmatorul sistem admite solutie unica ?

24. Sa se rezolve ecuatia : .

25. Fie un numar real si radacinile ecuatiei : .

a). Sa se arate ca sunt numere reale pozitive si distincte.

b). Sa se arate ca .

c). Sa se calculeze .

d). Sa se arate ca daca , in intervalul se afla cel mult un patrat perfect.

26. Fie astfel incat . Demonstrati ca : .

27. Sa se arate ca ecuatia , , impare, nu are radadcini rationale.

28. Sa se rezolve ecuatia : .

29. Fie radacinile ecuatiei : , m fiind un parametru real.

a). Gasiti o relatie independenta de intre si .

b). Determinati intervalul minimal ("cel mai scurt") ce contine pe si .

30. Fie multimile :

.

Cate triunghiuri au toate varfurile in punctele multimii ?

31. Se considera ecuatiile de gradul doi :

, .

a). Sa se arate ca daca ecuatiile au o radacina comuna, atunci sau .

b). Sa se arate ca cel putin una din ecuatiile de mai sus are radacini reale.

32. Sa se rezolve ecuatia : .

33. a). Daca si , aratati ca .

b). Fie ecuatia : .

i). Aflati valorile parametrului astfel incat ecuatia sa aiba cel putin o radacina intreaga.

ii). Exista valori reale ale lui astfel incat ambele radacini sa fie intregi ?

34. Sa se rezolve ecuatia : .

35. Fie ecuatia : . Cate solutii sunt in intervalul ?

36. Sa se rezolve ecuatia : .