Puteri si radicali

Puteri si radicali

1. Puteri.

O putere este o expresie de forma unde si . Daca atunci a poate sa fie si negativ.

Proprietati ale puterilor:

Daca    este de forma , unde p si q sunt numere prime ( deci c.m.m.d.c(p,q)=1 ) atunci ceea ce de fapt inseamna radical de ordinul q din .

2. Radicali.

Numim radical de ordinul q din (asa cum s-a vazut) o expresie de forma , unde si daca q este numar par si daca q este numar impar.

A gasii inseamna a gasi un numar A astfel incat , deci . Daca n=2, atunci , deci se omite ordinul in acest caz.

Vom numi radicali asemenea, radicalii care au acelas ordin q si aceiasi cantitate sub radical. Exemplu: sunt radicali asemenea. Daca radicalii sunt asemenea atunci asupra acestora se pot efectua operatii de adunare si scadere.

Introducerea unui factor sub radical se poate face ridicand acel factor la o putere egala cu ordinul radicalului si apoi introducerea lui sub radical. Exemple: sau .

Scoaterea unui factor de sub radical se poate efectua doar daca puterea sa este mai mare sau egala decat ordinul radicalului. Daca avem , atunci a se poate scoate de sub radical daca . Fie (impartire intreaga), unde q este catul si r este restul impartirii intregi a lui m la n. Atunci .

Aducerea radicalilor la acelas ordin se poate face in modul urmator: se afla c.m.m.m.c (cel mai mic multiplu comun) al tuturor ordinelor radicalilor si apoi se imparte c.m.m.m.c la fiecare ordin in parte si cu catul impartirii se ridica la putere cantitatea de sub fiecare radical dandu-se tuturor radicalilor ca ordin comun c.m.m.m.c.

Exemplu: Fie , , , atunci c.m.m.m.c(3,2,8)=24 si atunci avem , , .

Operatii cu radicali de acelas ordin

;

;

, in particular ;

.

Rationalizarea numitorilor unor fractii. Se pot distinge cazurile:

a

b

c) ;

d)

, ;

e)

, , n impar.

Formula radicalilor suprapusi (compusi).

unde .

Exemple

1) Fie functia , cu .

Intervalul maxim pentru care are o valoare constanta este:

a) b) c) d) e)

Rezolvare: Folosim formula radicalilor compusi. Pentru avem si si deci de unde

si tinand seama si definitia modulului rezulta si deci , raspunsul corect fiind c).

Ecuatii irationale (cu radicali).

Sunt ecuatii in care necunoscuta apare sub radicali sau la indicele radicalului. Se recomanda urmatoarea conduita de rezolvare:

a) Se pun conditii de existenta a radicalilor exista daca si , atunci cand n este par iar daca n este impar atunci , de aici rezulta un domeniu de existenta ;

b) se ridica ecuatia la puteri egale cu ordinele radicalilor (puterea a 2-a, puterea a 3-a, etc.) pana cand se elimina radicali;

c) se rezolva ecuatia astfel obtinuta rezultand o multime de solutii;

d) se intersecteaza aceasta multime de solutii cu domeniul de existenta ;

e) solutiile rezultate din intersectia de la punctul d) se verifica in ecuatia initiala si cele care verifica ecuatia initiala sunt solutiile finale ale ecuatiei.

Exemple

a) .

Punem conditiile , de unde rezulta domeniul . Avem

, de unde deci si .

Verificare in ecuatia initiala:

Daca atunci , rezulta ca este solutie a ecuatiei .

Daca atunci , deci nu este solutie a ecuatiei .

b) . Domeniul este . Folosim formulele de ridicare la putere:

si . Avem:

, de unde

.

Toate aceste solutii verifica ecuatia initiala, deci sunt solutii finale.

Ecuatiile cu ordinul radicalilor mai mare sau egal cu 4 sau ecuatii cu radicali de ordine diferite se rezolva prin substitutie.

Exemple

a) . Evident . Notam cu , de unde .

Ecuatia initiala devine

care are doar o singura solutie reala . De aici rezulta care verifica si ecuatia initiala.

b) . Evident ca . Notam , de unde si ecuatia initiala devine , . Ecuatia se descompune in , care are doar o solutie reala , de unde , solutie care verifica si ecuatia initiala.

5. Inecuatii irationale (cu radicali).

Sunt inecuatii in care necunoscuta apare sub radicali. Se recomanda urmatoarea conduita de rezolvare:

- Se pun conditii de existenta a radicalilor

a) exista daca si , atunci cand n este par iar daca n este impar atunci , de aici rezulta un domeniu de existenta ;

b) se ridica inecuatia la puteri egale cu ordinele radicalilor (puterea a 2-a, puterea a 3-a, etc.),    cu conditia ca ambii membri ai inecuatiei sa fie pozitivi pana cand se elimina radicali;

c) se rezolva inecuatia astfel obtinuta rezultand o multime de solutii;

d) se intersecteaza aceasta multime de solutii cu domeniul de existenta , rezultand solutia inecuatiei.

Daca membrii unei inecuatii sunt unul pozitiv iar altul negativ atunci inecuatia se va interpreta in functie de context (de forma sa).

Exemple

1) Sa se rezolve inecuatia .

Rezolvare: Punem conditiile , de unde rezulta domeniul . Avem

.

Solutia acestei inecuatii este . Solutia finala este , deci .

Solutia inecuatiei este:

a) b) c) d) e)

Rezolvare: Ridicand la patrat inecuatia, ea devine , care are solutia . Din aceasta multime trebuie retinuta submultimea care se afla in domeniul de definitie a inecuatiei, adica intervalul . Raspunsul corect este c).

Inecuatia are solutia:

a) ; b) ; c) ; d) (nu are solutii) ; e) .

Rezolvare Cei doi radicali sunt definiti si pozitivi pentru . Inegalitatea nu poate fi adevarata decat daca ambii termeni sunt simultan nuli. Prin urmare . Deci a).

Multimea tuturor solutiilor inecuatiei este:

a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

Rezolvare: Conditia de existenta a radicalilor este . Inecuatia este echivalenta cu . Deci c).