Probleme de optim pentru vectori

Probleme de optim pentru vectori

- 1: Fie vectorul v = ( 2∙x+1 ; 3 -x ; 5∙x+2 ) ; sa se determine valoarea parametrului

"x " pentru care norma vectorului este minima .

Rezolvare : avem , deci

Expresia este un trinom de gradul doi in raport cu variabila " x " : mai mult , trinomul prezinta un minim deoarece coeficientul lui x² este pozitiv .

Asadar, minimul expresiei se atinge pentru valoarea lui " x " data de

- 2: Se considera vectorii :

v₁ = ( 2 ; 1 ; 3 ) ; v₂ = ( 3 ; 2 ; 5) ; v₃ = ( 1 ; 1; 2 ) ; u = ( 7 ; 4 ; 11 )

In cazul in care vectorul u este generat de catre sistemul de vectori

se noteaza prin H = vectorul componentelor lui u in raport cu sistemul

Se cere vectorul H de norma minima .

Rezolvare : Deoarece H este vectorul componentelor lui u , este valabila relatia

u = h₁∙v₁+h₂∙v₂+h₃∙v₃ ,

adica :

.

Transcriind aceasta relatie pe componente , gasim sistemul :

Analiza sistemului :

- prin pivotare , matricea extinsa a sistemului , anume A = || v₁ ,v₂ ,v₃ ,u ||

devine : , deci avem

rang|| v₁,v₂,v₃ || = rang(A) = 2

Asadar : - cele doua ranguri fiind egale, rezulta ca sistemul este compatibil , deci

vectorul u este intr-adevar generat de catre sistemul de vectori

si deci rezolvarea se poate continua ;

- solutia sistemului , citita pe primele doua linii ale matricii , provine din ecuatiile

.

In final , vectorul H are aspectul

H = ( h₃+2 ; 1 - h₃ ; h₃ ) ,

sau , notand pentru comoditate h₃ = x ,

H = ( x+2 ; 1 - x ; x ) . (*)

Norma lui H este data de : || H || = ( x+2)² + ( 1 - x)² + x² = 3∙ x² + 2∙x + 5 .

Expresia lui || H || este un trinom cu punct de minim , iar minimul sau se atinge pentru

Vectorul componentelor de norma minima se obtine inlocuind valoarea x^* in expresia (*) :

gasim raspunsul

.

END