Curbura unei curbe

Curbura unei curbe

Fie C o curba parametrizata de clasa C². urma sa, M(x(t), y(t), z(t)) I si N I , N ¹ M, N(x(t + Δt), y(t + Δt), z(t + Δt)) (fig 5.1).

Fig. 5.1.

Notam cu unghiul dintre tangentele in punctele M si N, numit unghi de contingenta al celor doua tangente si cu | s| lungimea arcului MN. Unghiul de contingenta masoara deviatia pe care o sufera tangenta cand punctul curent descrie arcul MN datorita curbarii (incovoierii) curbei. Gradul de incovoiere al arcului se masoara prin raportul , dintre unghiul de contingenta si lungimea arcului.

Definitie. Se numeste curbura a curbei C in punctul M si o vom nota cu k₁(t) limita raportului , cand N → M, n I

Observatii.

1) In cazul unei drepte, tangenta in orice punct coicide cu dreapta, deci curbura unei drepte este nula.

2) Curbura unei drepte este prin definitie nenegativa.

3) In cazul unui cerc, unghiul de contingenta corespunzator arcului MN este egal cu unghiul normalelor in M si N, deci cu unghiul razelor in M si N. Daca R este raza cercului, atunci | s| = R . In consecinta, raportul este constant, deci . Asadar, pentru un cerc curbura este aceeasi in orice punct si anume inversul razei, deci raza este inversa curburii.

Prin analogie cu cazul cercului, putem folosi urmatoarea definitie.

Definitie. Se numeste raza de curbura a unei curbe intr-un punct inversa curburii in acel punct.

Daca R(t) este raza de curbura intr-un punct, atunci curbura k₁(t) in acel punct este

Teorema 5.1. O curba parametrizata de clasa C² are o curbura bine determinata in orice punct. Daca este parametrizarea naturala a curbei, atunci

(5.1)

Demonstratie. Fie si versorii tangentelor in punctele M respectiv N. Cum si sunt versori, unghiul dintre ei fiind , din teorema cosinusului rezulta ca

Atunci

.

Cum → 0 cand → 0, trecand la limita, obtinem

Cum , rezulta (5.1).

Tinand seama de (4.34), formula curburii este

(5.2)

Cand curba este data de ecuatiile parametrice

t I I

din (5.2) obtinem

(5.3)

unde

Observatie. O curba a carei curbura in orice punct este nula este o dreapta. Intr-adevar, din , obtinem prin integrari succesive

unde vectorii si sunt constanti. Relatia (5.4) se mai scrie

x = x₀ + ls, y = y₀ + ms, z = z₀ + ns,

deci curba este o dreapta.

Probleme rezolvate.

1) Sa se calculeze curbura intr-un punct oarecare a curbei de reprezentant

Solutie. Avem:

. Atunci , deci . Folosind (5.2) obtinem

2) Sa se calculeze curbura intr-un punct oarecare a curbei de reprezentant

Solutie. Imaginea curbei este elicea cilindrica. Deoarece , , rezulta ca , deci

In acest caz, folosind (5.2), obtinem Asadar, curbura elicei cilindrice este constanta.

3) Sa se calculeze raza de curbura a curbei de reprezentant , in punctul A(-1, 0, 1).

Solutie. Este clar ca A = r(0). Dar . In consecinta , deci . Raza de curbura a curbei in punctul A este R(0) = 2.

4) Sa se calculeze raza de curbura a curbei de ecuatii x² + y² = a², x² - 2yz = 0, in punctul A(0, a, 0), a > 0.

Solutie. Varianta I. Vom folosi teorema functiilor implicite. Coordonatele punctului A verifica cele doua ecuatii, deci punctul se afla pe curba. Daca notam F(x, y, z) = x² + y² - a²,
G(x, y, z) = x² - 2yz, rezulta ca , deci, local, putem gandi y si z ca functii de x. Alegand x ca parametru, local, curba este data de ecuatiile

Prin urmare x² + y²(x) - a² = 0, x² - 2y(x) z(x) = 0. Derivand de doua ori in raport cu x, obtinem 2x + 2y(x) y'(x) = 0, 2x - 2y'(x) z(x) - 2y(x) z'(x) = 0, 2 + 2y'²(x) + 2y(x) y'(x) = 0,
2 - 2y'(x) z(x) - 4y'(x) - 2y(x) z'(x) = 0.

Scriind aceste ecuatii in punctul A, deci tinand seama ca y(0) = a, z(0) = 0, rezulta ca
y'(0) = 0, z'(0) = 0, y'(0) = . Atunci . Raza de curbura a curbei in punctul A este

Varianta a II-a. Curba se poate parametriza astfel:

Atunci . In consecinta, raza de curbura a curbei in punctul A este

Cazul curbelor plane

Cand curba este situata in planul xOy, deci este data de ecuatiile

t I I

formula devine

(5.5)

iar cand curba este data explicit de ecuatia y = y(x), obtinem

(5.6)

Cand se cunoaste reprezentarea in coordonate polare, θ I θ θ ], tinem seama ca . Rezulta . Tinand seama de (5.5), formula curburii este in acest caz

(5.7)

Raza de curbura este inversa curburii, deci

(5.8)

Exemple.

1) Folosind (5.5), curbura curbei de ecuatii parametrice x = a(cost + tsint),
y = a(sint - tcost), a > 0, in , este

2) Din (5.6) curbura curbei y = cosx este . In particular, k₁(0) = 1, , k₁(p

3) Sa calculam acum raza de curbura in punctul A(2, 0) a curbei de ecuatie 16y² = 4x⁴ - x⁶. Notand F(x, y) = 16y² - 4x⁴ - x⁶, constatam ca . In consecinta, putem gandi x ca functie de y, deci x = x(y). Derivand de doua ori egalitatea
16y² - 4x⁴(y) + x⁶(y) = 0, obtinem: 16y - 8x³x' + 3x⁵x' = 0, 16 - 24x²x'² - 8x³x' + 15x⁴x'² + 3x⁵x' = 0. Scriind aceste relatii in punctul A, rezulta x'(0) = 0, x'(0) = . Din (5.6) avem , deci raza de curbura este 2.

4) Fie curba = a(1 - cos ), a > 0, I p]. Deoarece ' = asin ' = acos , folosind (5.8) obtinem raza de curbura

5) Sa determinam punctele de curbura maxima si minima ale curbei y = chx, x I . In acest caz, , x I . Curbura este maxima cand numitorul este minim, deci cand x = 0. Asadar, curbura maxima este k₁(0) = 1, in punctul (0, 1). Curba nu are puncte de curbura minima.