Suprafete algebrice de gradul doi

Suprafete algebrice de gradul doi

Fie spatiul punctual euclidian tridimensional E = (E₃,V ,~) in care am fixat reperul cartezian R (O; ) .

Daca functia F este o functie polinomiala ,atunci suprafata (1.1) se va numi suprafata algebrica. In particular, daca functia F este o functie polinomiala de gradul al doilea ,atunci suprafata (1.1) se va numi cuadrica .

Astfel, o cuadrica (S ) va fi caracterizata sub forma generala (forma implicita) de ecuatia

S a₁₁ x² +a₂₂ y² +a₃₃ z² +2a₁₂ xy +2a₂₃ yz +2a₁₃xz +

+ 2a₁₄ x + 2a₂₄ y + 2a₃₄ z + a₄₄ = 0 (1.4)

in care    .

Daca notam cu f(x,y,z ), membrul stang din ecuatia (1.4) ,atunci ecuatia cuadricei va fi scrisa prescurtat sub forma (S ) : f(x,y,z ) = 0 .

Sa consideram dreapta d printr-un punct M _o (x_o,y_o,z_o) cu directa oarecare , data cu ecuatiile sub forma patametrica

, t I R (1.5)

Intersectia dintre cuadrica (S ) si dreapta d se reduce la studiul multimii de adevar a sistemului format din ecuatiile celor doua multimi de puncte. Astfel, daca notam cu

j (x,y,z) = a₁₁ x² +a₂₂ y² +a₃₃ z² +2a₁₂ xy +2a₂₃ yz +2a₁₃xz    (1.6)

forma patratica din ecuatia (1.4), obtinem ecuatia de gradul al doilea in t

j (l,m,n) t + t + f(x_o,y_o,z_o) = 0 (1.7)

Daca j (l,m,n) 0, notand cu D discriminantul ecuatiei (1.6) si cu

t₁,t₂ radacinile acestei ecuatii,avem urmatoarele cazuri:

D>0, t₁,t₂ IR dreapta d intersecteaza cuadrica in doua puncte

D=0, t₁= t₂ IR, dreapta d este tangenta cuadricei

D<0, t₁,t₂ R , dreapta d nu intersecteaza cuadrica.

Daca j (l,m,n) = 0 , atunci pentru

- 0 , ecuatia (1.6) este de gradul intai si din punct de vedere geometric , dreapta d intersecteaza cuadrica intr-un punct

- = 0 si f(x_o,y_o,z_o) 0 , ecuatia (1.6) nu are solutii ,

deci dreapta d nu intersecteaza cuadrica

- = 0 si f(x_o,y_o,z_o) = 0, ecuatia (1.6) se transforma intr-o identitate, deci dreapta d este continuta in intregime in cuadrica.

Daca punctul M_oIS si j (l,m,n) 0, atunci D=0 (dreapta d este tangenta in punctul M_o la cuadrica S daca si numai daca este satisfacuta relatia

= 0 (1.8)

In concluzie, pentru o cuadrica (S ) cu proprietatea ca in punctul M_o, marimile nu sunt simultan nule, exista o infinitate de drepte de directie (l,m,n) prin punctul M_o tangente la cuadrica.

Vectorul de coordonate () este numit gradientul functiei scalare f in punctul M_o si va fi notat cu (grad f )(M₀) .

Conditia (1.7) reprezinta conditia de ortogonalitate a vectorilor si (grad f )(M₀) ,cea ce inseamna ca multimea dreptelor prin punctul M₀I S ,tangente la cuadrica determina un plan. Acest plan, avind drept normala vectorul (grad f )(M₀), se numeste planul tangent la cuadrica in punctulM_o si este caracterizat analitic de ecuatia

(x-x_o) + (y-y_o) + (z-z_o) = 0 (1.9)

Intersectia dintre un plan si o cuadrica se reduce la o ecuatie de gradul al doilea in doua nedeterminate, ceea ce reprezinta din punct de vedere geometric o conica in planul de intersectie.