Camp de evenimente. Probabilitate

Camp de evenimente. Probabilitate

Camp de evenimente

In teoria probabilitatilor experimentele studiate sunt experimente aleatoare si fiecare realizare a unui astfel de experiment se va numi proba. Rezultatul unei probe este un eveniment.

Exemplul 2.1. In aruncarea cu zarul, multimea realizarilor posibile va fi . Cateva evenimente "rezultat impar"; "rezultat inferior lui 5"; "rezultat par". Daca la o aruncare apare fata cu numarul 3, sunt realizate evenimentele si .

Notand prin multimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment si prin multimea tuturor partilor lui , evenimentele aleatoare sunt elemente ale lui .

In multimea a evenimentelor asociate unui experiment se pot introduce trei operatii corespunzatoare operatiilor logice "sau", "si", "non". Fie .

a)      " sau " este evenimentul care se realizeaza daca si numai daca se realizeaza cel putin unul dintre evenimentele sau . Acest eveniment se noteaza prin si se va numi reuniunea evenimentelor si

b)      si " este evenimentul care se realizeaza daca si numai daca se realizeaza ambele evenimente si , numit intersectia acestor eveni-mente si notate prin

c)      "non ", este evenimentul care se realizeaza daca si numai daca nu se realizeaza . Acest eveniment il vom numi contrar lui si se noteaza

Daca fiecarui eveniment ii atasam multimea de probe prin care se realizeaza, atunci operatiile dintre evenimente revin la operatiile respective dintre multimile de probe corespunzatoare, ceea ce justifica notatiile a), b), c). Rezultatele operatiilor cu evenimente sunt tot evenimente atasate experimentului respectiv.

Daca , deci si nu se pot realiza simultan, spunem ca si sunt evenimente incompatibile.

In multimea a evenimentelor asociate unui anumit experiment, exista doua evenimente cu o semnificatie deosebita si anume: evenimentele si . Primul consta in producerea evenimentului sau in producerea evenimentului ceea ce are loc evident, intotdeauna, prin urmare, acest eveniment nu depinde evenimentul , in sensul ca fiind eveniment din multimea . Este natural sa numim evenimentul , evenimentul sigur. Evenimentul consta in producerea evenimentului si in producerea evenimentului ceea ce nu poate avea loc niciodata. Acest eveniment se va numi eveniment imposibil.

Fie evenimentele . Spunem ca evenimentul implica evenimentul si scriem , daca atunci cand se realizeaza se realizeaza in mod necesar

Daca avem simultan si , atunci evenimentele A si B sunt echivalente si notam A=B (aceasta revine la egalitatea multimilor de probe care corespund evenimentelor).

Implicatia dintre evenimente este o relatie de ordonare partiala in multimea evenimentelor si corespunde relatiei de incluziune din algebrele Boole.

Definitie. Un eveniment este compus daca exista doua evenimente astfel ca . In caz contrar evenimentul este elementar.

Atomii algebrei Boole a evenimentelor se numesc evenimente elementare ale campului (notate ), evenimentul sigur e iar evenimentul imposibil

Daca multimea contine un numar finit de evenimente elementare, atunci un eveniment este o parte a lui si deci va contine si el un numar finit (r<n) de evenimente elementare. In acest caz multimea evenimentelor este chiar , in general insa avem si se bucura de proprietati analoge cu ale lui

Analiza unui numar mare de experimente aleatoare a condus la concluzia urmatoare:

Axioma. Multimea evenimentelor asociate unui experiment constituie o algebra Boole.

Definitie. Algebra Boole a, evenimentelor asociate unui experiment se numeste campul de evenimente al experimentului respectiv.

Deci campul de evenimente va fi o multime inzestrata cu un corp de evenimente , si se va nota prin

Definitie. Vom numi corp borelian de evenimente (- camp) o multime inzestrata cu un camp borelian (- camp) de evenimente si se va nota, de asemenea, prin

Exemple

O urna contine 20 de bile numerotate de la 1 la 20. Se extrage o bila si ii retinem numarul. Se cere:

a)      Sa se scrie evenimentul sigur.

b)      Fie evenimentele: A - "rezultatul este par"; B- "rezultatul este multiplu de 5" si C - "rezultatul este o putere a lui 2". Sa se scrie evenimentele . Sa se arate implicatiile dintre evenimente. Care evenimente sunt incompatibile?

R.: a)

b) - "rezultatul este par sau multiplu de 5"; - "rezultatul este multiplu de 10"; - "rezultatul este impar"; CA si CB =

In experienta aruncarii cu zarul sa se scrie campul de evenimente atasat experientei si sa se calculeze numarul de evenimente din camp.

Avem unde i, j, k, l, m iau valori independente de la 1 la 6, iar in cadrul unei grupe toti indicii sunt diferiti. Doua grupe cu acelasi numar de indici difera cel putin printr-un indice. S-a notat prin - "aparitia fetei cu numarul i", prin - "aparitia fetei cu numarul i sau a fetei cu numarul j", deci etc.

Evenimentele sunt in numar de ; in numar de ; (i,j,k) in numar de etc, deci in camp avem evenimente

Vom da cateva proprietati ale evenimentelor elementare:

(E1)     Fie un eveniment elementar si un eveniment oarecare. Daca , atunci sau

(E2)     Conditia necesara si suficienta ca un eveniment sa fie elementar, este sa nu existe un eveniment cu

(E3)     Conditia necesara si suficienta ca un eveniment sa fie elementar este ca pentru orice eveniment B sa avem sau

(E4)     Doua evenimente elementare distincte sunt incompatibile

(E5)     Intr-o algebra finita de evenimente pentru orice eveniment compus , exista un eveniment elementar A,

(E6)     Orice eveniment dintr-o algebra finita de evenimente se poate scrie sub firma unica, ca o reuniune de evenimente elementare.

(E7)     Intr-o algebra finita de evenimente, evenimentul sigur este reuniunea tuturor evenimentelor elementare.

Probabilitate pe un camp finit de evenimente

Sa consideram o urna U care contine n bile, dintre care m albe si n-m negre (bile difera numai prin culoare). Se extrage la intamplare o bila. Avem n evenimente elementare. Fie A evenimentul "bila extrasa sa fie alba". Acest eveniment se poate realiza prin m probe,

Definitie. Se numeste probabilitatea evenimentului A raportul dintre numarul cazurilor favorabile realizarii lui A si numarul cazurilor egal posibile.

Deci:

Aceasta este definitia clasica a probabilitatii. Ea se poate folosi numai in experimente cu evenimente elementare egal posibile.

Sa consideram acum o urna care contine n bile dintre care bile de culoarea bile de culoarea bile de culoarea ; deci Bilele difera intre ele numai prin culoare. Se extrage o bila din urna. In acest caz extractia unei bile este eveniment elementar. Probabilitatea extragerii unei bile de culoare l va fi data de definitia clasica a probabilitatii.

deci eveniment favorabil este extractia unei bile de culoare l.

Un eveniment oarecare al campului este aparitia uneia din bile avand culoarea notat A, iar

De aici rezulta ca:

probabilitatea fiecarui eveniment este o functie de acest eveni-ment, avand valori pozitive;

probabilitatea evenimentului sigur este 1;

daca cu atunci ;

evenimentele elementare sunt egal probabile (au probabiltatea

Se observa ca experimentul extractiei dintr-o urna poate fi interpretat cu ajutorul a doua campuri de evenimente; campul considerat mai sus pentru care eveniment elementar este extractia unei bile si un alt camp, pentru care eveniment elementar este extractia unei bile de culoare l, (). Functia P(A) care reprezinta probabilitatea unui eveniment oarecare din are proprietatile 1, 2, 3 dar nu verifica, in general, proprietatea 4 deoarece evenimentele elementare din nu au probabilitati egale, decat pentru

Deci, in cazul unui camp finit de evenimente , o probabilitate pe acest camp o vom defini astfel:

Definitie. Se numeste probabilitate pe , o aplicatie care satisface urmatoarele axiome:

pentru orice

pentru orice cu

Proprietatea (3) se extinde prin recurenta la orice numar finit de evenimente incompatibile doua cate doua. Deci, daca , , , atunci:

Definitie. Numim camp de probabilitate finit, un camp finit de evenimente inzestrat cu o probabilitate P, notat

Din regula de adunare a probabilitatilor deducem ca pentru a cunoaste probabilitatile tuturor evenimentelor este suficient sa cunoastem probabilitatile evenimentelor elementare , care alcatuiesc multimea finita , deoarece daca notam si daca atunci

Deci, un camp finit de probabilitate este complet caracterizat de numerele nenegative cu

Daca atunci unde k reprezinta numarul de evenimente elementare care intra in compunerea evenimentului A (evenimente elementare favorabile evenimentului A). Se ajunge astfel la definitia clasica a probabilitatii.

Din definitia probabilitatii rezulta urmatoarele proprietati:

(P1)     Pentru orice

Exemplul 2.4. Un aparat achizitionat de o uzina trebuie pus in functiune. Se pot ivi urmatoarele situatii:

a)               o buna stare de functionare;

b)               un usor dereglaj;

c)               trebuie inlocuite cateva piese;

d)               se impune o revizie generala.

In primul caz aparatul continua sa functioneze. In cazul (b) reglajul dureaza 10 minute, in cazul (c) piesele se inlocuiesc intr-o ora, iar revizia generala se face in 10 ore. Probabilitatile celor patru etape sunt 0,5; 0,1; 0,15; 0,25.

Sa se determine probabilitatea ca aparatul sa fie in masura sa functioneze dupa cel putin doua ore de la instalare.

R. Consideram urmatoarele evenimente:

A - aparatul este gata de functionare dupa 2 ore;

- aparatul poate functiona imediat:

- aparatul necesita un reglaj;

- este necesar sa inlocuim cateva piese.

Avem evident .

Deci sau .

(P2)     Avem .

(P3)     Pentru orice     avem .

(P4)     Pentru orice cu avem .

(P5)     Pentru orice avem .

(P6)     Daca , atunci

(P7)    Avem , oricare ar fi .

(P8)     , oricare ar fi .

(P9)     Daca

(P10)       Fie evenimentele cu atunci

-camp de probabilitate

Definitie. Fie un -camp de evenimente. Numim probabili-tate pe campul , o functie numerica pozitiva P, definita pe daca:

pentru orice familie numarabila de evenimente , incompatibile doua cate doua.

Observam ca probabilitatea este o masura pentru care

Deci un -camp de probabilitate, va fi un -camp de evenimente , inzestrat cu o probabilitate; el se va nota cu

Proprietatile probabilitatii amintite pentru un camp finit de probabilitate se extind si la -campurile de probabilitate. In plus, daca este un -camp de probabilitate avem urmatoarele proprietati:

(P11) Pentru orice sir de evenimente pentru care (descendent), avem si pentru orice sir de evenimente pentru care (ascendent), avem:

(P12) pentru orice sir

(P13) Daca sirul este 0-convergent () atunci (proprietatea de continuitate secventiala a probabilitatii)

(P14) pentru orice sir .

Evenimente independente. Probabilitate conditionata

Definitie. Evenimentele A, B ale campului de probabilitate sunt P-independente daca:

Se poate arata cu usurinta ca daca evenimentele sunt P-independente atunci perechile de evenimente ; si sunt P-independente.

Exemplul 2.5. Doi tragatori trag simultan asupra unei tine cate un foc fiecare. Probabilitatile de nimerire a tintei sunt: 0,8 pentru primul tragator si 0,6 pentru al doilea tragator. Sa se determine probabilitatea ca tinta sa fie atinsa de cel putin un tragator.

R. Fie evenimentele - tragatorul cu numarul i () nimereste tinta. Avem:

Definitie. Evenimentele sunt P-independente m cate m daca pentru si avem:

Daca evenimentele sunt P-independente in totalitatea lor.

Definitie Spunem ca evenimentele sunt P-indepedente daca orice numar finit de evenimente din acest sir sunt P-independente.

Exemplul 2.6. Un aparat se compune din trei elemente a caror fiabilitate (durata de functionare fara defectiune tot timpul intr-un interval de timp dat) este egala cu 0,9; 0,85 si 0,75.

Primul element este indispensabil pentru functionarea aparatului, defectarea unuia din celelalte doua elemente face ca aparatul sa func-tioneze cu un randament inferior, iar defectarea simultana a elemen-telor doi si trei face imposibila functionarea aparatului. Elementele se defecteaza independent unul de altul. Se cere probabilitatea ca aparatul sa functioneze tot timpul intr-un interval de timp dat.

R. Fie evenimentele - elementul i () functioneaza fara defec-tiune si A - aparatul functioneaza chiar cu un randament inferior. Avem:

Deci:

Definitie. Fie un -camp de probabilitate si cu . Numim probabilitate a evenimentului A conditionata de evenimentul B, raportul

Notam si

Tripletul este un -camp de probabilitate daca este un -camp de probabilitate. (Se verifica cu usurinta axiomele din definitia probabilitatii).

Definitie. Numim sistem complet de evenimente o familie cel mult numarabila de evenimente cu pentru orice si

Formula probabilitatii totale. Fie un sistem complet de evenimente cu Pentru , avem:

Exemplul 2.7. Zece aparate de acelasi tip sunt date in exploatare: trei provenind de la uzina , cinci provin de la uzina , iar doua de la uzina . Aparatele sunt supuse unei probe de verificare. Cele care provin de la uzina trec proba de verificare cu probabilitatea 0,9, cele care provin de la uzina cu probabilitatea 0,75 iar cele care provin de la uzina cu probabilitatea 0,85. Se alege la intamplare un aparat. Care este probabilitatea ca aparatul sa treaca proba de verificare ?

R. Facem urmatoarele ipoteze: - aparatul ales provine de la uzina . Avem: . Daca notam prin A evenimentul "aparatul ales trece proba de verificare", avem:

si

Formula lui Bayes (sau teorema ipotezelor). Fie un sistem complet de evenimente . Probabilitatile acestor evenimente (ipoteze) sunt date inainte de efectuarea unui experiment. Experimentul efectuat realizeaza un alt eveniment A. Sa aratam cum realizarea evenimentului A schimba probabilitatile ipotezelor. Trebuie sa determinam deci probabilitatile pentru fiecare ipoteza , . Avem:

Exemplul 2.8 In conditiile exemplului 2.7 se alege la intamplare un aparat si se constata ca el trece proba de verificare. Care este probabilitatea ca el sa provina de la prima uzina?

R. Avem unde evenimentele A si sunt notate ca la exemplul 2.15. Deci:

Inegalitatea lui Boole. Fie un camp de probabilitate si o multime cel mult numarabila de evenimente. Daca atunci: