Suprafete de rotatie – definitie si exercitii

Suprafete de rotatie – definitie si exercitii

Definitie Suprafata de rotatie este suprafata obtinuta prin rotirea unei curbe în jurul unei drepte fixe numita axa de rotatie.

Fie dreapta fixa:

iar curba:

Cercul generator: Cerc de raza variabila cu centrul pe (D) si situat în plan perpendicular pe (D).

Cerc generator:

Obtinem conditia de compatibilitate:

F l μ) = 0

Exemplu:

Curba (C) apartine unui plan de coordonate, iar axa de rotatie este o axa din acest plan.

Avem:

Cerc generator:

Obtinem deci acuatia de compabilitate:

Ecuatia suprafetei este deci:

Exercitii

1) Sa se scrie ecuatia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta (d)  x + y = 0, z = 0 si curba directoare (C) x² – 2y² – z = 0, x – 1 = 0.

Solutie: Generatoarea cilindrului este o dreapta paralela cu dreapta (d) si se sprijina pe curba (C). Orice dreapta paralela cu (d) este data prin ecuatii de forma x + y = l si z = μ. Conditia ca o astfel de dreapta sa se sprijine pe curba (C) (adica dreapta si curba sa aiba un punct comun) este ca sistemul:

sa fie compatibil. Conditia de compatibilitate se obtine eliminând pe x, y, z din acest sistem. Deoarece x = 1, y = l – 1, z = μ, din a treia ecuatie a sistemului se obtine:

1 – 2(l – 1)² – μ = 0 sau 2l² – 4l μ + 1 = 0 (conditia de compatibilitate).

Deci, daca l si μ verifica aceasta relatie, atunci dreapta x + y = l, z = μ genereaza, când se deplaseaza  paralel cu ea însasi si se sprijina pe curba (C), un cilindru. Ecuatia cilindrului se obtine eliminând pe l si μ între ecuatiile:

deci este: 2(x + y)² – 4(x + y) + z + 1 = 0 sau 2x² + 2y² + 4xy – 4x – 4y + z +1 = 0.

2. Sa se scrie ecuatia suprafetei conice cu vârful în V(0, –a, 0) si curba directoare
x² + y² + z² = a², y + z = a, a > 0.

Solutie: Generatoarea conului este o dreapta ce trece prin punctul V si se sprijina pe curba directoare data. O dreapta de directie arbitrara ce trece prin V este data de ecuatiile:
x = lz y + a = μz. Conditia ca aceasta dreapta sa se sprijine pe curba directoare (adica dreapta si curba directoare sa aiba un punct comun), este ca sistemul:

sa fie combatibil. Conditia de compatibilitate se obtine eliminând pe x, y, z din acest sistem. Deoarece y = μz – a, din ultima ecuatie a sistemului se obtine: . Rezulta:

si . Cu aceste valori ale lui x, y si z, a treia ecuatie a sistemului devine:

sau l² μ + 1 = 0 (conditia de compatibilitate). Deci daca l si μ verifica aceasta relatie, atunci dreapta data de ecuatiile x = lz, y + a = μz genereaza prin deplasarea ei în jurul punctului V sprijinindu-se pe curba directoare, un con. Ecuatia conului se va obtine eliminând l si μ între ecuatiile:

deci este:

sau x² + z² – (y + a)z = 0.

3) Sa se scrie ecuatia conoidului generat de o dreapta care se sprijina pe dreapta x = 2, y = 0, este paralela cu planul xOy si întâlneste hiperbola (H) , y = 2.

Solutie: O dreapta care se sprijina pe dreapta x = 2, y₀ si este paralela cu planul xOy este data prin ecuatii de forma: x – 2 = ly, z = μ. Conditia ca o astfel de dreapta sa întâlneasca hiperbola data este ca sistemul:

sa fie compatibil. Deoarece x = 2 + 2l, z = μ, din a treia ecuatie a sistemului se obtine:

sau 9(1 + l)² – μ² = 9 (conditia de compatibilitate). Daca l si μ verifica aceasta relatie, dreapta x – 2 = ly, z = μ genereaza în deplasarea sa conoidul. Ecuatia conoidului se va obtine eliminând pe l si μ între ecuatiile:

deci este:

, sau 9(x + y – 2)² – z²y² – 9y² = 0.

4) Sa se scrie ecuatia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta de directie (3, 4, 5) si curba directoare y² – z² – 1 = 0 si x = 0.

Solutie: (3y – 4x)² – (3z – 5x)² – 9 = 0.

5) Sa se scrie ecuatia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta (d) si curba directoare (C) xy = a², z = 0.

Solutie: (x + 2z)(y + 3z) = a².

6) Sa se scrie ecuatia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta (d) x = y = z si curba directoare (C) x = y², z = 0.

Solutie: (y – z)² = x – z.

7) Sa se scrie ecuatia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta de directie (1, 1, 1) si curba directoare 2x + y – 4z = 0 si x² + y² + z² = a².

Solutie: (3x + y – 4z)² + (2x + 2y – 4z)² + (2x + y – 3z)² = a².

8) Sa se scrie ecuatia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta (d) si curba directoare cercul (C) x² + y² = 25, z = 0.

Solutie

9) Sa se scrie ecuatia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta (d) si curba directoare parabola (C) y² = 4x, z = 0.

Solutie: (3y – 2z)² – 12(3x – z) = 0.

10) Sa se scrie ecuatia cilindrului care trece prin curba: (x – 1)² + (y + 3)² + (z – 2)² = 25,

x + y + z = –2 si are generatoarele paralele cu:

a) axa Ox;

b) dreapta de ecuatii x = y si z = 2.

Solutie: a) 2y² + 2z² – 2yz + 12y – 10z – 3 = 0

b) x² + y² + 3z² – 2xy – 8x + 8y – 8z – 26 = 0.

11) Sa se scrie ecuatia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta (d) x = y = z si curba directoare (C) x² + y² – a² = 0, z = 0.

Solutie: (x – z)² (y – z)² = a².

12) Sa se scrie ecuatia cilindrului cu generatoarele paralele cu axa Oz si curba directoare (C) x² + y² – 4x + 2y – 4 =0, z = 0.

Solutie: x² + y² – 4x + 2y – 4 = 0.