GEOMETRIE

GEOMETRIE

Elemente de geometrie sintetica plana

Fie cu laturile si inaltimea din varful . Avem urmatoarele:

Teorema sinusurilor , unde este raza cercului circumscris .

Teorema cosinusului

Formule pentru arie

Formula lui Heron: , unde (semiperimetrul)

, unde este raza cercului inscris in .

, , ;

, , ;

, , , unde este lungimea bisectoarei unghiului .

, , , unde este lungimea medianei din .

Relatii metrice in triunghiul dreptunghic

In orice triunghi dreptunghic cu , avem:

Teorema lui Pitagora: (suma patratelor catetelor este egala cu patratul ipotenuzei)

Teorema catetei si (cateta este medie proportionala intre ipotenuza si proiectia ei pe ipotenuza)

Teorema inaltimii: (inaltimea este medie proportionala intre segmentele determinate de aceasta pe ipotenuza)

A doua teorema a inaltimii: (inaltimea este egala cu produsul catetelor pe ipotenuza)

Mediana corespunzatoare ipotenuzei este egala cu jumatate din ipotenuza.

Cateta opusa unghiului de 30⁰ este egala cu jumatate din ipotenuza.

Raza cercului circumscris triunghiului dreptunghic este jumatate din ipotenuza.

Functii trigonometrice:

Elemente de geometrie analitica plana

Produsul scalar in plan

Fie , doi vectori in plan. Atunci .

Modulul unui vector : Fie . Atunci .

Calculul unghiului a doi vectori : Fie , doi vectori nenuli in plan, iar unghiul dintre ei. Atunci : .

Vectorii , sunt perpendiculari daca si numai daca .

Modulul vectorului este egal cu :

Doi vectori , sunt coliniari daca au coordonatele proportionale : .

Coordonatele punctului care imparte segmentul in raportul , , sunt : , . In particular, daca este mijlocul segmentului , atunci , .

Fie o dreapta oblica din plan. Numarul real , unde este unghiul facut de dreapta cu sensul pozitiv al axei , se numeste panta dreptei .

Panta unei directii determinate de vectorul , este egala cu .

Consideram punctele distincte , cu . Panta dreptei ce trece prin punctele este : .

Doua drepte oblice sunt paralele daca si numai daca au pantele egale si sunt perpendiculare daca si numai daca produsul pantelor lor este egal cu -1.

Forme ale ecuatiei dreptei in plan

Consideram punctul si vectorul . Ecuatiile se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei .

Ecuatia dreptei ce trece prin punctul si are panta este : .

Ecuatia dreptei determinata de doua puncte distincte , , este: . Daca , atunci ecuatia dreptei este .

Daca punctele sunt situate pe axele de coordonate adica daca , , cu atunci ecuatia dreptei are forma , numita ecuatia dreptei prin taieturi.

Ecuatia carteziana generala a unei drepte : . Panta dreptei date in forma generala este , daca . Daca , atunci dreapta este verticala, deci nu are panta.

Observatii. Punctul apartine dreptei (se afla pe dreapta) , daca coordonatele sale verifica ecuatia dreptei, adica daca .

Conditia de coliniaritate a trei puncte , , este .

Punctul de intersectie a doua drepte se obtine rezolvand sistemul format din ecuatiile dreptelor.

Doua drepte , coincid daca si numai daca au coeficientii proportionali, adca : .

Conditia de concurenta a trei drepte , unde si , .

si exista un minor de ordinul 2 nenul.

Unghiul a doua drepte

Fie dreptele , , niciuna paralela cu axa . Avem :

, si , atunci:

.

Distanta de la un punct la o dreapta

Distanta de la punctul la dreapta de ecuatie este data de formula

.

Aria unui triunghi

Fie , , varfurile triunghiului . Aria triunghiului este data de formula , unde .

Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi cu varfurile , unde sunt

, .