CATEGORII DOCUMENTE |
Astronomie | Biofizica | Biologie | Botanica | Carti | Chimie | Copii |
Educatie civica | Fabule ghicitori | Fizica | Gramatica | Joc | Literatura romana | Logica |
Matematica | Poezii | Psihologie psihiatrie | Sociologie |
Putem vorbi de existenta unui cuplu, primal-dual, de probleme de programare liniara care se pot utiliza in modelarea matematica a fenomenelor economice.
Fie modelele de programare liniara (P.L.):
(1)
(2)
Definitie:
Modelele (1) si (2) sunt modele de programare liniara (P.L.) aflate in relatia de dualitate simetrica (modelul (1) este dualul modelului (2) si invers).
Exemplu:
Fie problema de P.L.:
Pentru modelul dual, avem urmatoarele elemente constitutive:
In final, modelul dual va fi:
Corespondenta biunivoca a cuplurilor de probleme este pusa in evidenta de teoremele dualitatii prezentate si demonstrate mai jos:
Teorema:
Fie X0 o solutie admisibila pentru modelul (1), cu valoarea functiei obiectiv f0=f(X0); fie Y0 o solutie admisibila pentru modelul (2), cu valoarea functiei obiectiv g0=g0(Y0);
Atunci avem f0 g0.
Demonstratie:
Avem evident f(X0)=ctX0, g0(Y0)=Y0tb;
din AX0 -b 0 si din Y0t 0 TY0t(AX0-b) 0
din ct-Y0tA 0 si din X0 0 T (ct-Y0tA)X0 0
Adunand relatiile de mai sus obtinem:
(ct-Y0tA)X0+Y0t(AX0-b) 0 ctX0-Y0tb 0 deci f0-g0 0
Teorema
Fie X0 o solutie admisibila (program) pentru modelul (1) si Y0 o solutie admisibila (program) pentru modelul (2); daca avem relatia f(X0)=g(Y0), atunci:
- X0 este o solutie optima (program optim) pentru modelul (1)
- Y0 este o solutie optima (program optim) pentru modelul (2)
Demonstratie:
Presupunem ca X0 nu ar fi solutie optima pentru modelul(1), deci ar exista o solutie admisibila pentru (1) notata cu X1, pentru care f(X0)>f(X1) ctX0>ctX1.
Dar ctX0 = Y0tb, ctX1 < ctX0 T ctX1 <Y0tb, ceea ce nu este posibil, conform teoremei 1.
Presupunem ca y0 nu ar fi solutie optima pentru modelul (2) deci ar exista o solutie admisibila pentru (2) notata cu Y1, pentru care g(Y0) < g(Y1) Y0tb < Y1tb
Dar ctX0 = Y0tb, Y1tb < Y1tb ctX0 < Y1tb, ceea ce nu este posibil conform teoremei 1.
Teorema:
Daca una dintre problemele (1), (2) are functia obiectiv nemarginita, atunci cealalta problema nu are solutii admisibile.
Demonstratie:
Presupunem ca modelul (2) ar avea solutia admisibila Y0. Cum functia f(X) = ctX este nemarginita inferior, deducem ca exista o solutie admisibila X1, pentru care ctX1 < Y0tb, aceea ce este absurd conform teoremei 1.
Exista insa modele care nu au forma ceruta de catre dualitatea simetrica, adica:
- nu toate restrictiile au inegalitati pentru problema de maxim
- nu toate restrictiile au inegalitati pentru problema de minim
- nu toate variabilele modelului dat sunt nenegative ( 0).
Totusi, s-a pus la punct o modalitate de a constitui dualul oricarui model. Principalele teoreme corespunzatoale acestui tip de dualitate, numita dualitate nesimetrica, nu vor fi enuntate; afirmam numai ca sunt valabile aceleasi teoreme ca si in cazul dualitatii simetrice.
Ansamblul regulilor de scriere a unui astfel de model de dualitate nesimetrica sunt prezentate in continuare:
categorii de variabile
variabile nenegative: xj 0
variabile nepozitive: xj 0
variabile libere: xjIR
categorii de restrictii:
restrictii concordante:
pentru minim : cu
pentru maxim : cu
restrictii necorcondante:
pentru minim : cu
pentru maxim : cu
restrictii egalitati
reguli de corespondenta:
modelul primal |
modelul dual |
variabila nenegativa |
restrictie concordanta |
restrictie concordanta |
variabila nenegativa |
variabila nepozitiva |
restrictie neconcordanta |
restrictie neconcordanta |
variabila nepozitiva |
variabila libera |
restrictie egalitate |
restrictie egalitate |
variabila libera |
maxim |
minim |
minim |
maxim |
variabila structurala |
variabila de compensare |
variabila de compensare |
variabila structurala |
variabila(vector)aflata in baza |
variabila (vector) din afara bazei |
variabila (vector) din afara bazei |
variabila (vector) aflata in baza |
coloana b dintr-un tabel simplex |
liniaDkdin tabelul simplex (eventual cu schimbare de semn) |
liniaDkdin tabelul simplex (eventual cu schimbare de semn) |
coloana b dintr-un tabel simplex |
De exemplu:
Modelul dat nu se incadreaza in dualitatea simetrica si constatam urmatoarele:
modelul dual:
va fi de minim;
va avea 4 restrictii;
va avea 3 variabile, anume y1, y2, y3
in modelul primal:
prima restrictie este concordanta, deci y1 0;
a dou restrictie este egalitate, deci y2IR;
a treia restrictie este neconcordanta, deci y3 0.
in modelul primal:
x1 este nenegativa, deci prima restrictie duala va fi concordanta (deci
x2 este nepozitiva, deci a doua restrictie duala va fi necorcondanta (deci
x3 este libera, deci a treia restrictie duala va fi egalitate;
x4 este nepozitiva, deci a patra restrictie duala va fi necorcondanta (deci
Modelul dual va fi deci:
Rezolvam urmatoarea problema economica pentru a vedea semnificatia economica a variabilelor duale si a interpreta rezultatele dualei pe tabelul simplex
Consideram o unitate economica care fabrica
produsele si . Pentru obtinerea lor se utilizeaza trei resurse: forta de munca, mijloace de munca si materii prime. In tabelul urmator se dau consumurile specifice si cantitatile disponibile din cele trei resurse, precum si preturile de vanzare ale produselor.
Resurseproduse |
P1 |
P2 |
P3 |
Disponibil (unitati fizice) |
Forta de munca |
1 |
3 |
4 |
15 |
Mijloace de munca |
2 |
5 |
1 |
10 |
Materii prime |
4 |
1 |
2 |
25 |
Pret de vanzare (unitati monetare) |
3 |
2 |
6 |
|
Modelul matematic pe baza caruia se stabileste programul optim de productie, avand drept criteriu de eficienta valoarea maxima a productiei, are forma:
max
in conditiile:
(j=1,2,3)
Utilizand regulile de dualitate prezentate mai inainte rezulta urmatoarea problema duala de programare liniara:
min
in conditiile:
(j=1,2,3)
Solutia optima a problemei primale este prezentata in tabelul simplex final, unde se testeaza la criteriul de optim daca sunt
|
|
|
3 |
2 |
6 |
0 |
0 |
0 |
cj |
CB |
B |
XB |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
|
0 |
a4 |
15 |
1 |
3 |
4 |
1 |
0 |
0 |
3/4 |
0 |
a5 |
10 |
2 |
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2/1 |
0 |
a6 |
25 |
4 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
6/2 |
|
zj |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
-3 |
-2 |
-6 |
0 |
0 |
0 |
|
6 |
a3 |
15/4 |
1/4 |
3/4 |
1 |
1/4 |
0 |
0 |
3 |
0 |
a5 |
25/4 |
7/4 |
17/4 |
0 |
-1/4 |
1 |
0 |
5/7 |
0 |
a6 |
70/4 |
14/4 |
-2/4 |
0 |
-2/4 |
0 |
1 |
9/7 |
|
zj |
90/2 |
3/2 |
9/2 |
6 |
3/2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
-3/2 |
5/2 |
0 |
3/2 |
0 |
0 |
|
6 |
a3 |
20/7 |
0 |
1/7 |
1 |
2/7 |
-1/7 |
0 |
|
3 |
a1 |
25/7 |
1 |
17/7 |
0 |
-1/7 |
4/7 |
0 |
|
0 |
a6 |
35/7 |
0 |
-9 |
0 |
0 |
-2 |
1 |
|
|
zj |
195/7 |
3 |
57/7 |
6 |
9/7 |
6/7 |
0 |
|
|
|
|
0 |
43/7 |
0 |
9/7 |
6/7 |
0 |
|
Dupa cum s-a aratat, prin rezolvarea uneia dintre problemele cuplului primala-duala se obtin solutiile ambelor probleme.
In cazul examinat, solutia optima a problemei duale se citeste pe linia z la intersectia cu coloanele vectorilor a4 a5 , si a6 care au format baza initiala, deci:
si
Este usor de verificat ca Spre exemplu rezulta din relatia:
Pe baza rezultatelor obtinute se verifica imediat ca
max[Z(x)]=min[G(u)]:
max[Z(x)]= unitati monetare
min[G(u)]= unitati monetare.
Concluzii: Fie cuplul de probleme duale:
max [Z(x)]=
|
min [G(
|
i) Tabelul simplex final corespunzator problemei primale contine atat solutia optima a problemei primale cat si a problemei duale.
ii) Solutia problemei primale se obtine pe coloana vectorului b, iar solutia problemei duale se obtine pe linia z la intersectia cu coloanele vectorilor care au format baza initiala.
Teorema ecarturilor complementare:
O conditie necesara si suficienta pentru ca un cuplu de solutii admisibile de baza si sa fie optim, este ca solutiile sa verifice simultan relatiile:
Pe baza acestor relatii se pot formula urmatoarele concluzii:
a)daca atunci
b)daca atunci
c)daca atunci ;
d)daca atunci
Prima relatie arata ca variabila duala corespunzatoare unei resurse utilizata in intregime are o valoare pozitiva, iar cea de a doua arata ca daca resursa i nu este utilizata in intregime.
Analizand punctele c si d se trage concluzia ca, daca costul unitar al activitatii ,obtinut prin evaluarea consumurilor specifice cu ajutorul componentelor solutiei optime a problemei duale, este egal cu coeficientul din functia obiectiv (de exemplu beneficiul unitar) atunci componenta iar daca acest cost este mai mare decat , atunci nu este eficient sa includem in programul optim activitatea j (ca urmare ).
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 679
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved