Dosar Matematica

Numerele naturale

Orce nr. Natural care are cifra unitatilor 0, 2, 4, 6 sau 8 se numeste nr. Par.

Orce nr. Natural care are cifra unitatilor 1, 3, 5, 7 sau 9 se numeste nr. Impar.

Nu se pot repeat patru sau mai multe cifre de odata: MMMM = Gresit

Reprezentarea nr. pe o axa

Pe o dreapta (d) se fixseaza un punct O numit origine, se stabileste un sens (de la origine care dreapta), numit sensul pozitivsi se allege o unitate de masura (un segnent MN de lungime oare-care). Cu aceste trei caracteristici, dreapta (d) se numeste axa numerelor.

Compararea si ordonarea nr. naturale.

Scrisul nr. nat. - crescator

- descrescatr

Orce nr. nat. are un successor si orce nr. nat. diferit de zero (0) are un predecessor.

Aproxsimarea nr. nat.

Aproxsimarea se face prin : lipsa sau prin adaos.

Adunarea nr. nat.

a + b = c a, b, c nr. nat.

a, b = temeni

c = suma

Scaderea nr. nat.

a - b = c

a = descazut

b = scazator

c = diferenta

La scaderea nr. nat. descazutul trebuie sa fie mai mare sau egal decat scaatorul.

Orce nr. nat. se poate scrie ca diferenta de nr. nat.

Imultirea nr. nat.

a * b = c

a, b = factori

c = produs

** ** ** ** ** ** ** ** ******** adunarea si scaderea = operatii de grad I

Factor comun

a * b + a * c = a(b + c)

a * b - a * c = a(b - c)

Impartirea nr. nat.

a / b = c

a = dempartit

b = impartitor

c = cat

Ecuatii

Ecuatiile sunt egalitati de forma

A rezolva o ecuatie inseamna a determina valorile pe care necunoscuta (X) pentru ca egalitatile sa fie adevarate.

Inecuatii

X + 2 < 5

X <5 - 2

X = 3

Teoria inpartirii cu rest

D / I = C, R

D = I * C + R

I =/ 0

Oricare ar fi nr. nat. D si I cu I =/ 0 exista si sunt unice 2 nr. C si R astfel incat D = I * C + R.

Divizor multiplu

Nr. nat "a" este divizibil cu nr. nat. "b" daca exista un nr. nat. "c" astfel incat

a = b * c nr. "b' se numeste divisor si nr."a" se numeste multiplu lui "b".

b | a - b se divide cu a

a : b - a se divide cu b

Criterii de divizibilitate

Criteriul de divizibilitate cu 2.

Un nr. nat se divide cu 2 daca ultima lui cifra este: 0, 2, 4, 6 sau 8.

Criteriul de divizibilitate cu 5.

Un nr. nat.este divizibil cu 5 daca ultima sa cifra este: 0, 5.

Criteriul de divizibilitate cu 10.

Un nr. nat. se divide cu 10 daca ultima sa cifra este 0.

Criteriul de divizibilitate cu 100.

Un nr. nat. se divide cu 100 daca ultimele doua cifre sunt 00.

Criteriul de divizibilitate cu 4.

Un nr. nat. este divizibil cu 4 daca nr. format din ultimile cifre se divid cu 4.

Criteriul de divizibilitate cu 25.

Un nr.nat se divide cu 25 daca ultimile doua cifre ale lui sunt: 00, 25, 50, 75.

Criteriul de divizibilitate cu 3.

Un nr. nat. se divide cu 3 daca suma cifrelor lui se divid cu 3.

Criteriul de divizibilitate cu 9.

Un nr.nat se divide cu 9 daca suma cifrelor lui sunt 9.

Desconpunerea in factori primi a unui nr. nat.

Numerele nat. diferite de 1 si care se divid numai cu 1 si cu ele insule se numesc numere prime.

Orce nr. nat. diferit de 0 si 1 nu sunt nici prime, nici compuse.

Puterea unui nr. nat.

2 * 2 * 2 = 2³

5 * 5 = 5²

a * a * a * a * a * a ...... * a = aⁿ

a - nr. nat. se numeste baza

n - nr. nat. =/ de 0 exponent

1² = 1 * 1 = 1 a⁰ = 1 a¹ = a 0ⁿ = 0

1³ = 1 * 1 * 1 = 1 7⁰ = 1 9¹ = 9 0² = 0

. 103⁰ = 1 10¹ = 10 0¹⁰ = 0

. 4564212⁰ = 1

1ⁿ = 1

Reguli de calcul cu puteri

aⁿ * aⁿ = aⁿ⁺ⁿ

aⁿ / aⁿ = a^n-n

(aⁿ)^m =a^n*m

(a * b)^p = a^p * b^p

Compararea puterilor

Comparearea puterilor care au aceasi baza:

aⁿ>a^m n>m

aⁿ<a^m n<m

aⁿ=aⁿ n=n

Pentru a compara 2 puteri cu aceasi baza comparam exponentii intre ei.

Compararea puterilor cu baza diferita si acelasi exponent

aⁿ>bⁿ a>b

aⁿ<bⁿ a<b

aⁿ=bⁿ a=b

Pentru a comparaputeri cu baza diferite si acelasi exponent vom compara bazele intre ele.

Patrate perfecte

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

Numim patrat perfect un nr. nat. care este patratul altui nr. nat.

Ultima cifra a unui nr. nat. patrat perfect poate fi una din cifrele: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Ultima cifra a unui nr. nat.

a - nr. nat.

u (123) = 3

u (2ⁿ) = 2, 4, 8, 6

u (3ⁿ) = 3, 9, 7, 1

u (4ⁿ) = 4, 6

u (5ⁿ) = 5

u (6ⁿ) = 6

u (7ⁿ) = 7, 9, 3, 1

u (8ⁿ) = 8, 4, 2, 6

u (9ⁿ) = 9, 1

u (10ⁿ) = 0

Cel mai mare divisor comun

Cel mai mare divisor comun al mai multor nr. nat., nu toate nule, este cel mai mare nr. nat. care se divide cu toate nr. date.

c.m.m.d.c

Cel mai mic multiplu comun

Pentru a afla cel mai mic multiplu comun diferit de 0 al mai multor nr. nat., procedam astfel: desconpunem nr. in factori primi, luam, o singura dat, factorii comuni si necomuni la exponentul cel mai mare si ii imultim intre ei.

c.m.m.m.c

Desconpunerea nr. nat. in nr zecimale

ab^-- = 10 a + b

abc^--- = a*10²+b*10+c

abcd^---- = 2*10³+10²c*10+d

Multimea div. unui nr.nat.

D₆ =divizori improprii

2 =divizori proprii

Un nr. nat. se numeste prim daca are ca divisor pe 1 sau pe el insusi.

Multimea multiplilor unui nr. nat.

M₂=

M₆=

Prop. adevarate si false

Enunturile care descriu sau comunica fapte se numesc propozitii.

O propozitie in matematica este adevarata sau falsa. Propozitia adevarata are valuare de adevar "A" sau falsa "F"

Valuarea de adevar se numeste si valuare logica.

Fractii

a - numarator

-

b - numitor

Fractii - subunitare

echivalente

supraunitare

Fractii echivalente

Doua fractii a si c sunt echivalente , ceea ce se scrie a = c daca a*d=b*c

- - - -

b d b d

Amplificarea simplificarea fractilor

Amplificare. A amplifica o fractie inseamna a inmultii numaratorul si numitorul

ei cu acelas nr. nat. nenul.

Simplificarea A simplifica o fractie inseamna a impartii numaratorul si

numitorul ei printr-un numar care este divisor comun al lor.

O fractie care nu mai poate fii simplificata se numeste fractie

Ireductibila

O fractie care poate fii simplificata se numeste fractie reductibila.

Adumarea fractilor

adunarea fractiilor cu acelasi numitor

a c a+c

- + - = -

b b b

adunarea fractiilor cu numitori diferiti

Pentru a aduna fractii cu numitori diferiti mai intai le aducem la acelas numitor.

Scaderea nr. fractionare

scaderea nr. fractionate

a c a-c

- - - = -

b b b

scaderea fractilor cu numitori diferiti

Intai aducem fractiile la acelas numitor prin simplificaresau amplificare, si dupa accea facem operatia.

Aflarea unei fractii dintr-un nr.

Pentru a afla o fractie dintr-un nr. nat. se inmulteste fractia cu acel nr.

A a a * c

- din c = - * c = -

b b b

Imultirea

Pentru a inmultii doua sau mai multe numere fractionare, se imultesc numaratorii intre ei si numitorii intre ei.

Impartirea

Pentru a impartii doua fractii facem: prima fractie ramane pe loc, iar cealalta o rasturman si facem o inmultire.

Puterea unui nr. fractionar

(-^a_b)ⁿ = -^{a n}_{b n} (-^a_b)¹ = -^a_b

(-^a_b = 1

Aflarea unui nr. cand cunoastem p% din el

p% din x este a

p

- * x = a

100

x = a / p

-

100

x = a * 100

-

p

Fractii zecimale

O fractie zecimala este formata dintr-o parte zecimala si din una intreaga, despartite de virgula ",".

Compararea nr.zecimale

Pentru a compara doua nr. zecimale se compara mai intai partile lor intregi. Daca acestea nu sunt egale este mai mare nr. zecimal cu partea intreaga mai mare. Daca partile intregi sunt egale, se compara partile zecimale, dupa ce s-au adaugat eventual zerouri pana cand partile zecimale au acelasi nr. de cifre.

Imultirea unui nr. zecimale cu o putere a lui 10

Cand vrem sa inmultim, noi mutam virgula peste o cifra de la stanga la dreapta.

1 *10=12,3

Impartirea nr. zecumale cu o putere a lui 10

Cand vrem sa impartim, noi mutam virgula peste o cifra de la dreapta la stanga.

1 /10=0,123

Puterea unui nr. zecimal

Numarul de zecimale al unei puteri a unui nr. zecimal este egal cu produsul dintre numarul de zecimale ale bazei si exponentul puterii.

Fractii zecimale

Daca numitorul unei fractii ordinare ireductibile nu contine numai factori 2 si 5, atunci impartirea numaratorului la numitor este nesfarsita.

Transformarea fractiilor zecimale periodice in fractii:

Ordinare

O fractie zecimala periodica simpla cu partea intreaga nula se transforma intr-o fractie ordinara al carei numarator sete alcatuit din perioada fractiei zecimale periodice simple, iar numitorul este numarul natural format din atatea cifre de 9 cate cifre are perioada.

Mixte

O fractie zecimala periodica mixta cu partea intreaga nula se transforam intr-o fractie ordinara al carei numarator este diferenta dintre nr. nat. format din neperioada urmata de perioada si nr.nat. format din neperioada , iar numitorul numarul natural format din atatea cifre de 9 cate cifrea are perioada urmat de atatea zerouri cate cifre are partea neprioada.

Media aritmetica

Pentru a calcula media aritmetica la 10, 9, 8, noi trebuie sa aduman cifrele si dupa accea sa le inpartim.

(10+9+8)/3=27/3=9

Elemente de geometrie

Punct, dreapta, plan

Punctul - poate fi comparat cu urma lasata de varful creionului pe hartie. Punctul nu are dimensiuni.

Notam punctual cu litere mari din alfabet.

 

 

C, D

A=/B - distincte

C=D - identice

Dreapta - este nemarginita, nu are dimensiuni, reprezinta o multime infinita de multimi de puncte asezate unul langa altul.

Printr-un punct trec o infinitate de drepte.

Planul

Planul este nelimitat, reprezinta o multime infinita de puncte si de drepte.

Semidreapta

Multimea punctelor aflate pe dreapta d, la dreapta punctului O constituie semidreapta limitata de punctual O si care contine punctual A. Se citeste semidreapta OA.

Segnentul

Multimea punctelor dreptei d situate intre punctele A si B se numeste segment AB. Punctele A si B sunt extremitatile segmentului, iar dreapta d suportul lui.

Unghiul

Unghiul - este figura geometrica formata din 2 semidrepte cu acceasi origine. Originea comuna se numeste varful unghiului, iar semidreptele se numesc laturile varfului.

Latura B

Ascutit

Obtuz

Drept

D

Linie franta deschisa

Linie franta deschisa incruciseata

Linie franta inchisa

Linie franta inchisa incruciseata

Poligon

Poligon numim asa o linie franta inchisa

Triunghiul

Triunghiul - este poligonul cu trei laturi.

A,B,C= varfuri

[A,B] - latura

[B,C] - latura

[C,D] - latura

Clasificare

triunghi oarecare

triunghi acscutitunghic

triunghiobtuzunghic

triunghi dreptunghic

triunghi isoscel

triunghi echilateral

Patrulatere

patrulatere oarecare

patrulatere particulare

Paralelogram

Dreptunghi

Patrat

Romb

Trapez

A

N

M

O

L

B

Cercul

Corpuri Geometrice

Paralelipiped

Cub

Prisma Triunghiulara Prisma Patrulatera

Piramida

Desconpunerea

Cub

Triunghi

Piranida

Cilindrul

Conul

Constructii Geometrice

Consstructia dreptei se face cu linia, alegand doua puncte pe foaie si unindu-le

Constructia unui segment de acceasi lungime cu lungimea unui segment dat. Masuram cu rigla gradata cat are si dupa accea trasam al doilea segment.

Constructia dreptelor paralele se face cu rigla si echerul. Dupa ce s-au asezat instrumentele(rigla sub echer), se lasa echerul sa alunece de-a lungul riglei fixsate pana in pozitia dorita, apoi se traseaza paralela la dreapta a.

Constructi perpendicularei dusa dintr-un punct punct exterior unei drepte pe acea dreapta se poate realiza folosind echerul ca mai sus .

Constructia perpendicularei duse dintr-un punct al unei drepte pe acea dreapta. Echerul se fixseaza pe linie se se tra doua perpendiculare.

Unitati de masura pentru lungime

km inf. la sup. *10

hm sup. la inf. /10

dam

m

dm

cm

mm

Perimetrul

Patrat = 4l

Dreptunghi = 2(L+l)

Triunghi = l1+l2+l3

Miscari de translatie

Translatie este miscarea prin care noi, mutam un triunghi putin mai la dreapta sau la stanga

Simetria. Se ia o linie si dupa ea se poate desena tot felul de forme geometrice. Daca indoim foaia cu desenul pe cea lalta parte o sa iasa identical(in oglinda).

Unitati de masura pentru arie

km²

hm²

dam² inf. la sup. *100

m² sup. la inf. /100

dm²

cm²

mm²

Aria la diferite forme geometrice

Dreptunghi - l*L

Patrat - 4*l

Triunghi - (b*h)/2

Unitati de masura pentru volum

km³

h³

dm³ inf. la sup. *1000

m³ sup. la inf. /1000

dm³

cm³

mm³

Volumul la diferite forme geometrice

Paralelipiped

A_l=L*l+l*h+l/h*2L*h+2h

A_l=2h(L+l)

A_t=A_l+2A

A_t=2l*h+2l*h+2L*l

V=L*l*h

Unitati de masura pentru capacitate

kl

hl

dam inf. la sup. *10

l sup. la inf. /10

dl

cl

ml

Unitati de masura pentru masa

t

q

kg inf. la sup. *10

hg sup. la inf. /10

dag

g

dg

cg

mg

Unitati de masura pentru timp

min=60s.

h=3600s.

d=86400s.

sap 7zile

deceniu=10ani

secol=100ani

mileniu=1000ani