PLANE PI GENERALIZATE DE CONTROL STATISTIC PRIN SELECTIE

PLANE PI GENERALIZATE DE CONTROL PRIN

SELECTIE

Introducere

In acest capitol vom examina o problema de control statistic fara revenire in care nu se cunoaste de la inceput volumul de selectie, bazat pe plane PI, in care calitatea unui obiect este data de doua caracteristici bun si defect pentru care se estimeaza si probabiliatea pentru rezultatele controlului. Planul PI de control este secvential si fara revenire este definit de construirea unui drum de control care se termina la prima intesectie cu o parte a frontierei ce defineste decizia si opreste controlul.

Planele de control statistic bazate pe intersectia dintre drumul statistic de control si hiperplanele care determina deciziile sunt cele mai adecvate pentru a fi implementate in "capul" robotilor de control statistic pentru productiile de serie.

Primele module de control statistic secvential au fost tratate de A. Wald si Fukao KB unde selectia este secventiala fara revenire si despre fiecare obiect se inregistreaza calitatea prin bun sau defect. Pentru fiecare obiect controlat se lua una din deciziile urmatoare: 1) continua controlul; 2) accepta intreaga populatie; 3) respinge intreaga populatie. O generalizare a modelelor de control in mai multe etape (cu numarul de etape mai mare ca 2) a fost tratata de C. Lupsoiu si E. Badescu. Controlul statistic prin plane PI se opreste cand drumul de control construit inteapa frontiera. Majoritatea problemelor de control sunt descrise de structuri statistice discrete. In acest caz volumul de selectie este o variabila aleatoare. A. Wald a studiat problemele de control statistic secvensial intr-o etapa sau in doua etape cu volum de selectie fix. Planele de control prin selectie sunt sisteme de reguli de selectie a obiectelor pentru control si de oprire a selectiei si de luare a unei decizii corespunzatoare. Vom dezvolta o teorie care sa generalizeze planele de control intr-o singura etapa, mai multe etape si plane secventiale a lui Wald.

Planele de control in mai multe etape necesita extragerea unei selectii de volum mic la fiecare etapa si in functie de rezulatatele observate intr-o etapa si etapele precedente se ia o decizie de admitere sau respingere sau de continuare a controlului. Studiul planelor PI de control prin selectie ne permite sa determinam plane optime de control care minimizeaza o functie obiectiv dintr-o clasa de functii de risc determinata de valoarea mijloacelor de control si a pierderilor luarii unei decizii gresite.

Plane PI de control secvential

Presupunem ca avem de controlat o populatie B= compusa din N obiecte. Punem rezulatele controlului in sirul de valori . Daca la alegerea intamplatoare a unui obiect B obiectul este bun atunci valoarea corespunzatoare este , daca obiectul ales este defect atunci . Prin urmare , , , inseamna ca primele 2 obiecte au fost bune si al treilea defect si asa mai departe. Rezultatele controlului pot fi infatisate printr-un drum numit si drum de control care pleaca din punctul (0,0) si trece prin punctele de coordonate (k,m) , k,m = 0,1,2,. din N² de perechi de numere naturale delimitate de axele de coordonate 0k si 0m si frontierele de decizie. La primul pas daca atunci se trece de la punctul (0,0) la punctul de coordonate (1,0), daca atunci trecem de la (0,0) la (0,1). Daca la controlul obiectului n atunci ne deplasam cu o unitate pe axa 0k din punctul curent iar daca atunci ne deplasam pe axa 0m in sus cu o unitate si asa mai departe. Ca rezultat al controlului a n obiecte contruim un drum care ajunge in punctul (m,k) , m+k=n si numarul de obiecte defecte si numarul de obiecte bune.

Pentru o valoare oarecare n, un drum se termina prin luarea unei decizii de acceptare sau respingere a populatiei B. in multe conditii concrete luarea unei decizii de a trece la rebut populatia de obiecte este un caz de verificare complexa si indelungata a populatiei necontrolata, adica dupa estimarea valorilor obiectelor produse. Sunt situatii cand trecerea la rebut inseamna distrugerea populatiei. Ne vom limita numai la problemele de control in urma caror se ia una din urmatoarele trei decizii:

d₁ de a respinge populatia ramasa necontrolata fara a mai controla ceva din populatia ramasa

d₂ controleaza complet populatia nextrasa

d₃ accepta partea de populatie neverificata fara a mai controla in continuare.

In alte proble de control pot fi imaginate si alte decizii. Fiecare drum se termina prin luarea unei decizii despre oprirea controlului populatiei.

Figura 1. Exemplu de drum de control a k+m=n obiecte. Dupa luarea deciziei de oprire se ia una din deciziile d_i i = 1,2,3. In caz general decizia d_i pentru acelasi drum cu o anumita probabiliate. Ne vom limita la clasa planelor de control PI ale primei intersectii in care decizia d_i va fi definita in mod unic de coordonatele punctului de oprire.

Definitia 1. Fie o multime de puncte ale retelei N =(k,m), k,m = 0, 1, si o submultime de puncte de frontiera care este descompusa in mai multe parti neintersectabile G_i G G_i . Controlul statistic se opreste cand drumul atinge prima data un punct de pe frontiera, . Prin urmare daca punctul atunci se ia decizia d_i , i=1,2,3. Planul astfel definit se numeste planul primei intersectii (PI). Frontiera din figura 1 este descompusa in trei parti. Daca drumul intersecteaza partea A₁B₁ atunci se ia decizia d₁, adica se respinge populatia fara a mai controla. Daca intersecteaza A₂B₂ se ia decizia d₂ iar daca intersecteaza A₃B₃ se ia decizia d₃. in figura 1 drumul intersecteaza [A₂,B₂] si se ia decizia d₂. Teoria planelor PI de control prin selectie cuprinde planele de control intr-0 etapa, in doua etape, in mai multe etape si pe cele secventiale.

Figura 2

In cazul problemei de control intr-o singura etapa frontiera este formata din punctele (k,m), k+m=n unde n este volumul de selectie (Figura 2a). Daca numarul de obiecte defecte este superior nivelului c se ia decizia de a respinge (d₂ sau d₃). Planele in doua etape sunt definite in urmatorul mod: se dau doua nivele de rebuturi c₁ si c₂. La inceput se controleaza n₁ obiecte din care defecte sunt m₁ si daca m₁<c₁ se ia decizia de a accepta populatia; daca m₁c₁ se ia decizia de a respinge populatia, iar daca c₁<m₁<c₂ se ia decizia de a mai controla n₂ obiecte in care se observa m₂ obiecte defecte. Daca m₁+m₂c₂ se accepta in caz contrar se respinge populatia. Prin urmare, frontiera este formata din intervalele de puncte k+m=n₁ respectiv k+m=n₂. In figura 2b este dat un exemplu de plan de control in 2 etape. In planele de control secventiale frontierele de control sunt formate din drepte paralele pe portiuni ca in figura 2c. Fiecare din aceste tipuri de plane de control au avantaje dar si dezavantaje. Planele de control intr-o singura etapa sunt mai usor de organizat decat planele de control secvential. Totusi folosirea unor plane de control in doua etape sau secventiale ne permite sa respingem o populatie care contine foarte multe obiecte defecte cu un factor de certitudine mai mare. Planele de control intr-o singura etapa cu deciziile d₁ si d₂ pot fi folosite in cazul cand controlul nu este distructibil si in cazul cand valoarea obiectelor controlate este mare. Planele de control cu deciziile d₂ si d₃ se aplica pentru controlul distructiv. Diferite plane de control au diferite caracteristici de calitate. Importanta lor ne conduce la alegerea unor plane de control.

Probabilitatile rezultatului controlului

Pentru a evalua corect caracteristicile planelor de control trebuie ca la inceput sa definim regulile de selectie a obiectelor pentru control. Metoda de baza de selectie a obiectelor pentru control este extragerea aleatoare fara revenire. Introducem variabilele:

, , .

Este adevarata egalitatea . Sa calculam probabilitatea realizarii unui drum . Fie populatia B care ontine K defecte si M = N - K obiecte bune, adica B[N,K]. In aceste conditii, probablitatea observarii primului obiect pentru control extras aleator adica , .

Dupa observarea unui obiect populatia consine N - 1 obiecte din care K defecte si M obiecte bune. Prin urmare, probabilitatea conditionata a lui de o valoare fixa a lui este:

Si probabilitatea drumului este :

(1)

Dupa controlul a doua obiecte cu rezultatul , ramane o populatie cu N - 2 obiecte printre care defecte K - (+) si bune M - (). Notand cu

T^(t) = T(T - 1)(T - t+1) atunci formula (1) devine:

(2)

Folosind metoda inductiei obtinem usor formula generala pentru probabilitatea drumului :

P() (3)

Prin urmare dupa controlul a n obiecte ramane populatia B[N]. Astfel probabilitatea inregistrarii lui pentru valorile fixate este egala cu

(4)

Din relatiile (3), (4) obtinem

P() = P()P() =    

Ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema1. Pentru orice selectie aleatoare fara revenire, probabilitatea drumului , este P().

Sunt posibile si alte metode de selectie a obiectelor pentru control. Metoda urmatoare a fost data de Gacka in

Definitia 2. Fie o populatie de N obiecte si un sir binomial, adica independente si i = 1, 2,, N. Obiectul O_i este inclus in selectie daca si numai daca . Procedeul de selectie astfel realizat se numeste binomial.

In concordanta cu aceasta definitie, volumul selectiei binomiale, adica numarul de obiecte care o compun este dat de variabila aleatoare pentru care

.

Observam ca selectia binomiala se poate realiza in modul urmator: la inceput cu ajutorul unei proceduri de generare de numere aleatoare pentru o variabila aleatoare binomiala , iar apoi alegem din B in mod aleator o selectie de volum fara revenire. Obtinem un rezultat partial util despre repartitia numarului de obiecte defecte , care apar in selectia binomiala. Din formula probabilitatii complete:

= (5)

Prin urmare, pentru o selectie aleatoare binomiala numarul de obiecte defecte este o variabila aleatoare binomiala cu parametrii K si . Ne intoarcem la metoda selectiei aleatoare fara revenire. Fie planul de control PI al primei intersectii cu frontiera . Controlul se opreste cand drumul atinge prima data frontiera . Punctele din retea pot fi clasificate in admisibile si neadmisibile.

Definitia 3. Fie o selectie fara revenire si planul PI al primei intersectii. Punctul

x = (k,m)se numeste admisibil daca pentru orice K cu probabilitate pozitiva exista un drum care trece sau se termina prin/in punctul x. Daca nu exista un astfel de drum punctul se numeste inadmisibil. Punctele admisibile care nu sunt pe frontiera se numesc puncte de incidenta.

Probabilitatea P(k,m) ca drumul de control sa ajunga din origine in punctul x = (k,m) se calculeaza usor cu ajutorul numarului L(k,m) al tuturor drumurilor care au probabilitate si care pleaca din originea controlului O(0,0) si ajung in punctul (k,m). In concordanta cu formula (3) toate drumurile pentru care , k + m = n au probabilitati egale.

Prin urmare

(6)

Un rol important in constructia estimarilor il joaca statisticile suficiente. In urmatoarele probleme, parametrul necunoscut K al numarului total de obiecte defecte din populatia B=[N,K] este definit in mod unic de masura de probabilitate P. Rezultatele observarii punctului x corespund drumului .

Teorema 2. pentru controlul populatiei B=[N,K] cu ajutorul unei selectii fara revenire folosind planul PI al primei intersecsii cu frontiera . Coordonatele punctului de oprire x=(k,m) formeaza o statistica suficienta.

Demonstratia este o consecinta directa a relatiilor (3) si (6). Probabilitatea conditionata a drumului este egala cu

P()

adica nu depinde de valoarea necunoscuta k. Prin urmare coordonatele punctului de oprire formeaza o statistica suficienta. Nici o informatie despre valoarea necunoscutei k inregistrata in seria de obiecte bune si defecte in procesul de control cu ajutorul unei selectii aleatoare fara revenire si plane PI nu se pierde. Toate informatiile despre K sunt "concentrate" in coordonatele punctului de oprire x=(k,m). In mod analog se arata ca p_k((k₁,m₁),(k₂,m₂)) - probabilitatea ca drumul ce trece prin (k₁, m₁) sa ajunga in (k₂,m₂) , k₁k₂, m₁m₂ este egala cu

(7)

Unde reprezinta numarul de drumuri care unesc punctele (k₁,m₁) cu (k₂,m₂). Observam ca pentru planele de control intr-o singura etapa de volum n numarul de drumuri care uneste punctul (k,m) , k + m = n cu punctul (0,0) este egal cu numarul de selectii diferite formate din obiecte in raport cu k (sau m), adica . Totusi, pentru planul PI calculul lui L(k,m) prezinta unele dificultati. Suma coordonatelor punctului x = (k,m) se va numi indexul punctului x, ind x=k+m. Se numeste index al planului P cu frontiera

Ind = ind .

In mod corespunzator

Ind .

Fiecare drum se termina prin luarea unei decizii, de a respinge sau adopta populatia de obiecte O. Fiecare drum duce la luarea uneia din deciziile d₁,d₂, sau d₃ date in paragraful precedent.

Algoritm secvential decizional de control statistic:

0 START [Algoritm secvential decisional de control statistic]

1 INPUT

2 k 0

3 b 0

4 w false

5 WHILE NOT (w)

5.1 INPUT

5.2 IF = 1

THEN

5.2.1 k:=k+1

ELSE

5.2.2 b:=b+1

5.3 CALL DEC (m,k,b;w,i)

6 CASE i OF

6.1 OUTPUT

6.2 OUTPUT

6.3 OUTPUT

.

.

6.m OUTPUT

7 STOP

0 PROCEDURE DEC (m,k,b:w,i)

1 i 0

2 WHILE NOT (w) AND im

i:=i+1

w:=w OR GAMA_i (k,b)=0

3 RETURN

0 PROCEDURE GAMA (i,b,k)

1 CASE i OF

1.1 OUTPUT

1.2 OUTPUT

1.3 OUTPUT

2 STOP