Problema lui Condorcet

Problema lui Condorcet

Sa ne reamintim modul in care am discutat pana acum problema alegerii colective. Am pornit de la un grup G de oameni, fiecare dintre ei inzestrat cu o relatie de preferinta R (sau, echivalent, P) intre alternativele aflate pe agenda X a grupului. Am presupus, de asemenea, ca alegerea intre alternative se face in mod independent de catre fiecare membru al grupului, abia apoi urmand ca, pe baza acestor alegeri individuale, sa construim alegerea colectiva sau sociala (a grupului G). Pentru a simplifica analiza, ne-am concentrat in capitolul anterior asupra modului in care se poate construi preferinta sociala (adica, a grupului G) pe baza preferintelor membrilor grupului asupra unei perechi date de alternative. Doar in treacat am luat in considerare situatiile in care urma sa comparam preferintele definite relativ la mai multe alternative; de pilda, am amintit ca in incercarea de agregare a preferintelor individuale pot apare ciclicitati (capitolul 7.3).

In acest capitol vom cerceta in amanunt astfel de cazuri. Vom analiza situatiile in care apar majoritati ciclice si vom studia modalitati alternative de a oferi solutii la existenta acestora. Sa incepem cu un exemplu simplu. Sa admitem ca numarul alternativelor inscrise pe agenda grupului este mai mare de doi, bunaoara trei - si fie acestea x y si z. De pilda, sa presupunem ca un comitet format din consilieri de primarie urmeaza sa discute modalitatile de alocare a fondurilor intre trei proiecte: construirea unor laboratoare de informatica in scolile din oras (x); repararea strazilor din oras (y); modernizarea pietelor agroalimentare din oras (z).Simplificand in continuare, sa admitem ca fiecare dintre consilieri are preferinte stricte intre cele trei alternative (altfel zis, nu este nciodata indiferent intre doua alternative). Atunci, dupa cum se poate observa cu usurinta, exista exact sase moduri in care un actor poate sa se raporteze la cele trei alternative; poate, deci - intrucat indiferenta este exclusa - sa le ierarhizeze. (De buna seama, membrii unui grup pot sa prefere alternativele intr-unul din cele sase feluri, dar nu neaparat in toate cele sase; vom putea defini asadar profile p_G ale grupului G in care membrii acestuia ierarhizeaza alternativele in mai putin de sase feluri.)

Sa luam un exemplu. Membrii unui grup format de 21 de persoane prefera intre cele trei alternative dupa cum urmeaza (numarul din capul unei coloane e refera la numarul membrilor grupului care sustin acea ierarhizare a preferintelor):

Daca acestea sunt preferintele membrilor grupului, care va fi alternativa aleasa? O procedura pentru a determina care este alegerea grupului ar putea fi urmatoarea: stim cum sa comparam intre ele doua alternative cu ajutorul regulii majoritatii simple. Asadar, vom compara intre ele, doua cate doua, cele doua alternative prin regula majoritatii simple, si vom obtine astfel o relatie de preferinta sociala. Dupa care putem proceda ca in orice alt caz in care, data fiind o relatie de preferinta, vrem sa determinam alternativa aleasa.

Sa comparam mai intai alternativele x si y. Notam ca x e preferata lui y de 3 + 5 + 4 = 12 membri ai grupului; evident, cum y e preferata lui x numai de restul de 9 membri ai grupului, inseamna ca putem conchide ca social x e preferata lui y P x y). Mai departe, comparam la fel pe y cu z. Pentru z voteaza 5 + 4 + 3 = 12 membri ai grupului, iar pentru y restul de 9, deci avem P z y). In sfarsit, sa comparam pe x cu z. Se observa ca x invinge cu 11 la 10, deci avem P x z). Ierarhia sociala a celor trei alternative este deci: x, apoi z, apoi y. Comparand-o prin regula majoritatii sinple cu toate celelale alternative, x invinge de fiecare data. Vom spune ca o alternativa care are aceasta proprietate este invingator Condorcet. Evident, de fiecare data cand, luand in considerare preferintele membrilor unui grup gasim o alternativa care are proprietatea de a fi invingator Condorcet, pare natural sa admitem ca alternativa preferata de grup este exact aceasta.

Problema este ca uneori nu e posibil sa gasim o astfel de alternativa. Sa luam un exemplu, anume cel cunoscut sub numele de "sa impartim dolarul". Exemplul este foarte important, fiindca el priveste dificultatile care apar in politicile de distribuire a bunurilor sociale. Cand grupurile carora trebuie sa li se distribuie un bun sunt mai multe de doua, posibilitatea aparitiei preferintelor ciclice este foarte ridicata. Sa presupunem ca trei persoane (A B si C) au la dispozitie 900 de lei noi, si urmeaza sa decida cum sa imparta intre ele acesti bani. O alternativa x va fi un mod de a imparti banii, si o vom identifica cu ajutorul a trei cifre [a b c], unde a reprezinta suma de bani care ii va reveni lui A b reprezinta suma de bani ce ii va reveni lui B, iar c reprezinta suma de bani ce ii va reveni lui C. La inceput ne putem gandi la o impartire egala a celor 900 de lei: x = [300, 300, 300]. Dar C propune lui A alternativa y = [450, 0, 450]. Desigur, grupul prefera pe y lui x, fiindca o majoritate formata din A si B prefera astfel. Acum insa B, care este dezavantajat, face urmatoarea propunere lui A z = [500, 400, 0]. Acum z e preferat lui y, fiindca o majoritate a membrilor grupului, formata din A si B, prefera astfel. Daca mai departe C propune alternativa z₁ = [600, 0, 300], aceasta va fi preferata de majoritatea formata din A si C; dupa care B poate propune formula z₂ = [0, 500, 400], care va fi votata de majoritatea formata din B si C; iar acesteia ii va fi preferata alternativa y = [450, 0, 450]. Asadar, avem: P y x) si P z y) si P z₁ z) si P z₂ z₁), dar P y z₂). Evident, tranzitivitatea relatiei de preferinta stricta e incalcata - si avem deci majoritati circulare.

Sa luam un alt exemplu, al unui grup G format din 50 de persoane. Un profil al acestui grup este redat prin tabelul de mai jos (se observa ca ierarhiile individuale sunt de doar cinci tipuri):

Sa incepem cu alternativele x si y. Observam ca x este preferata lui y de 20 + 8 = 28 de persoane; invers, y este preferata lui x de 15 + 1 + 6 = 22 persoane. La nivelul grupului, asadar, prin regula majoritatii x este preferata lui y: avem P x y). Analog, se vede ca y este preferata prin regula majoritatii lui z P y z), iar z este preferata prin regula majoritatii lui x P z x). Grupul prefera alternativa construirii unor laboratoare de informatica in scolile din oras celei care consta in repararea stazilor; prefera repararea strazilor din oras in raport cu modernizarea pietelor agroalimentare, dar prefera sa se modernizeze pietele agroalimentare alternativei construirii unor laboratoare de informatica in scolile din oras. Dificultatea apare imediat: daca relatia de preferinta sociala pe care o obtinem vrem sa fie tranzitiva, ar fi trebuit ca x sa fie preferata lui z (ar fi trebuit ca grupul sa prefere construirea unor laboratoare de informatica in scoli modernizarii pietele agroalimentare din oras), si nu invers - asa cum a rezultat aici - pentru a nu cadea in contradictie. In cazul nostru nu exista nici un invingator Condorcet.

Apeland la regula majoritatii pentru a determina care dintre alternative este preferata social, uneori relatia de preerinta sociala la care ajungem nu este rationala: ea incalca proprietatea tranzitivitatii. Folosirea drept criteriu de decizie a invingatorului Condorcet nu conduce deci la rezultatele dorite.