Controlul de receptie al produselor

Controlul de receptie al produselor

I. Nivelul de calitate acceptabil (AQL) si planurile de control statistic de receptie

II. Proiectarea planurilor de control pentru loturi de produse cu caracteristici atributive

III. Proiectarea planurilor de control pentru loturi de produse cu caracteristici masurabile

III.1 Indicatori ai planurilor de control prin masurare

III.2. Planuri de control simplu

III.3. Planuri de control secvental

III. 4. Cazul caracteristicilor dublu tolerate

III. Proiectarea planurilor de control pentru loturi de produse cu caracteristici masurabile

III.1 Indicatori ai planurilor de control prin masurare

Controlul prin masurare se aplica caracteristicilor masurabile: lungime, masa, volum, duritate, viteza, acceleratie, durata de functionare sau altor parametrii de fiabilitate si mentenabilitate.

Acest tip de control are la baza ipoteza ca valorile caracteristicii de calitate X sunt repartizate, in lot dupa o lege normala, sau aproximativ normala, ipoteza valabila pentru majoritatea caracteristicilor calitative ale produselor obtinute in parcursul de fabricatie industriala.

Se stie ca pentru orice caracteristica de calitate exista prin specificatii, un anumit domeniu T in limitele caruia aceasta poate varia, denumit camp de toleranta. Acest interval este delimitat de toleranta superioara TS si toleranta inferioara TI. Cunoscand legea de repartitie a caracteristicii si cele doua limite TS si TI se poate determina probabilitatea care coincide cu fractiunea defectiva P, reprezentata de aria hasurata din curbele de reprezentate in fig. 10.1.

Fractiunea defectiva, in cazul limitei de toleranta inferioara TI, este data de relatia:

iar in cazul limitei de toleranta superioare TS

sau daca introducem variabila normala normata , relatia de mai sus devine:

, respectiv

asa ca pentru determinarea fractiunii defective P se foloseste functia Laplace F(z)

Daca m, media caracteristicii X, se gaseste la distanta z_ps de toleranta admisa, de exemplu TS, adica avem m=TS - z_ps, atunci se obtine pentru fractiunea defectiva P valoarea:

, relatia este valabila cand caracteristica este limitata superior si inferior.

Pentru cazul cand caracteristica trebuie cuprinsa intre cele doua limite TI si TS fractiunea defectiva probabila se poate calcula cu formula: , in care z_p=(T/2) s, cu T/2 notand jumatatea campului de toleranta.

In cazul controlului prin masurare, fractiunea defectiva P a lotului care este necunoscuta, denumita valoarea factorului z_p. Verificarea ipotezei (H₁:P£P₁) cu alternativa (H₂:P³P₂) devine echivalenta cu

(H₁:z_p£z_P1) fata de alternativa (H₂:z_p³z_P2)

Testarea ipotezei se face pe baza datelor furnizate de controlul unitatilor elementare ale unui esantion extras la intamplare din lot, dupa anumite scheme de prelevare. In functie de aceasta, ca si lotul controlului de receptie prin atribute, se realizeaza planuri de control simplu, multiplu sau secvential.

III. 2. Planuri de control simplu.

III.2.1. Cazul cand nu se cunoaste abaterea standard

Caracteristic acestor planuri este faptul ca ipoteza H₁:P£P₁ sau ipoteza echivalenta se acccepta sau se respinge, dupa verificarea tuturor produselor din esantion: marimea esantionului se fixeaza dinainte in functie de cerintele formulate de furnizor si beneficiar, iar rezultatele masuratorilor x₁, x₂, . xn stau la baza deciziei. Daca parametrii m si s nu se cunosc ei se inlocuiesc cu si s calculate cu din datele experimentale cu relatiile:

si

asa incat pentru si respectiv , se gasesc estimatiile si respectiv , care pot fi considerate, cu o aproximatie suficient de buna drept variabile normale.

Cunoscand repartitia variabilei aleatoare h, se pot determina pentru aceasta doua limite, astfel incat probabilitatea depasirii lor sa fie foarte mica.

Decizia de acceptare sau respingere a lotului se ia diferentiat, in functie de modul in care este limitata caracteristica de calitate (inferior, superior sau dublu limitata).

Deoarece micsorarea marimii z_p ii corespunde o crestere a fractiunii defective P (ceea ce inseamna ca abaterea lui z_p de la este riscanta numai inspre valori mai mici) este suficient sa se stabileasca pentru h numai o limita inferioara k. Daca valoarea lui h calculata pe baza datelor de observatie este mai mare sau egala cu k, adica h³k, atunci cu probabilitatea fixata, se accepta ipoteza z_P³ (sau ipoteza echivalenta P<P₁) respectiv lotul, se respinge. Marimea k, care reprezinta cazul limita al acceptarii ipotezei si deci a lotului, se numeste factor de acceptare.

Decizia de acceptare sau respingere a lotului se ia diferentiat in functie de modul in care este limitata caracteristica de calitate (inferior, superior sau dublu limitata).

a. Cazul in care caracteristica de calitate este limitata fie numai superior, fie numai inferior

Pentru cazul cand caracteristica este limitata superior conditiile in functie de care se ia decizia sunt date de relatiile:

-conditia de acceptare a lotului , unde k reprezinta factorul de acceptare.

-conditia de respingere

In practica se obisnuieste ca ambele conditii sa se prezinte prin relatii de echivalente:

-conditia de acceptare: ;

-conditia de respingere:

sau pentru cazul cand caracteristicii de calitate i se fixeaza o limita inferioara TI avem:

-conditia de acceptare: ;

-conditia de respingere:

Asadar, parametrii planurilor de control de tip simplu care stau la baza luarii deciziei sunt:

n -marimea esantionului;

k -factorul de acceptare.

Acesti parametrii se determina din conditiile cunoscute P_a(P₁)=1-a si P_a(P₂)=b

Probabilitatea de acceptare este tocmai probabilitatea realizarii conditiei h³k, adica:

S-a demonstrat ca aceasta probabilitate este suficient de bine reprezentata de functia F(z) a repartitiei normale pentru valori ale lui z date de relatia:

in care caz probabilitatea de acceptare devine:

Particularizand expresia de calcul a probabilitatii pentru cazul celor doua riscuri si tinand cont de simetria repartitiei normale, in care z_e=z_1-e (z_e fiind valoarea fixata a variabilei z astfel incat probabilitatea depasirii ei sa fie e), obtinem sistemul:

Din rezolvarea sistemului de ecuatii se obtin parametrii planului de control adica:

si

In practica este recomandabil sa se calculeze in prealabil valoarea factorului de acceptare k, deoarece in acest caz n se obtine relativ simplu cu relatia:

Fiind fixate conditiile P₁, P₂, a si b in tabelul functiei Laplace F(z) se gasesc marimile z corespunzatoare, cu ajutorul carora se determina parametrii planului de control de tip simplu.

Curba operativa a planului simplu se traseaza prin punctele:

P=0; P_a(P=0)=1; P=1; P_a(P=1)=0; P=P₁; P_a(P=P₁)=1-a; P=P₂; P_a(P=P₂)=b

Cel de-al 5-lea punct este definit si in acest caz prin fractiunea defectiva probabila P₀ si probabilitatea corespunzatoare de acceptare P_a(P₀)=0,5, caz in care probabilitatea de acceptare este egala cu probabilitatea de respingere si deci:

de unde rezulta ca . Deci, fractiunea defectiva probabila P₀ este:

Aplicatie

Sa se elaboreze planul de control al loturilor de piese care se receptioneaza in conditiile P₁=0,01; P₂=0,05; a b=0,03, pentru caracteristica de calitate X, care nu trebuie sa depasasca 65 mm. Din cercetarile anterioare se cunoaste ca repartitia caracteristicii este normala.

Rezolvare. Se determina valorile z_P1=2,33; z_P2=1,65; z_a=z_b=1,89, valori preluate din tabelele functiei Laplace.

Se calculeaza

si

Deci din loturile receptionate se vor preleva esantioane de marime n=92 produse, care se vor verifica pentru caracteristica urmarita. Pe baqza valorilor masurate se va calcula media esantionului () si abaterea standard (s).

Decizia cu privire la acceptarea sau respingerea lotului se va lua astfel:

-daca +1,99 s£65, lotul se accepta

-daca +1,99 s>65, lotul se respinge.

b. Cazul in care caracteristica de calitate este dublu limitata

In acest caz, corespunzator celor doua limite de toleranta, se calculeaza si doua limite de control in functie de care se ia decizia. Astfel, limitele de control vor fi:

LCI=TI+ks si LCS=TS-ks

Interpretarea este:

-daca LCI££LCS, lotul se accepta;

-daca <LCI sau >LCS, lotul se respinge ca necorespunzator.

Probabilitatea de acceptare a lotului este:

unde: P=1-2F(z), iar

Riscul furnizorului este a F(z_a), iar cel al beneficiarului b F(z_b). Factorul de acceptere k si marimea esantionului n se calculeaza ca la punctul a.

Aplicatie

Sa se elaboreze planul de control statistic pentru receptia loturilor de piese care se receptioneaza in conditiile P₁=0,02; P₂=0,08; a b=0,06, pentru caracteristica de calitate X, care trebuie sa aiba valorile cuprinse in intervalul 65 mm. Din cercetarile anterioare se cunoaste ca repartitia caracteristicii este normala.

Rezolvare

Se determina din tabelele functiei aplace valoril: z_P1=2,33; z_P2=1,76; z_a=2,17; z_b=1,88. Se tine seama de P=1-2F(z) ÞF(z)=(1-P)/2.

Se calculeaza:

piese

Stabilirea limitelor de control:

Inlocuind datele cunoscute in relatia de acceptare rezulta:64,7+2,04 s££ s. Neancadrarea mediei in domeniul de acceptare va conduce la respingerea lotului.

III.2.2. Cazul cand se cunoaste abaterea standard

Cunoscand abaterea standard s din cercetarile anterioare, atunci variabila normala normata depinde numai de valoarea mediei "m". In mod corespunzator si estimatiile lui z_P vor depinde numai de .

Avand la baza aceasta ipoteza se ajunge la conditiile:

h³k -acceptarea ipotezei H₁:z_P³

h<k -respingerea ipotezei H₁:z_P³

Conditiile de receptie se stabilesc in functie de modulde prezentare al caracteristicii de calitate.

a. Cazul cand caracteristica de calitate este limitata fie numai superior, fie numai inferior

Decizia se ia cu relatiile:

- -conditia de acceptare;

- -conditia de respingere:

cand pentru caracteristica de calitate este fixata o limita superioara si

- -conditia de acceptare;

- -conditia de respingere

cand pentru caracteristica de control este fixata o limita inferioara.

Modul de lucru. Este asemanator cu cel prezentat pentru cazul cand nu se cunoaste s, parametrii planului de control care stau la baza luarii deciziei fiind si in acest caz n -marimea esantionuui si k -factorul de acceptare.

Probabilitatea de acceptare, in cazul realizarii conditiei h³k, este data de functia F(z) a repartitiei normale, de parametrii m=0 si s=1, pentru valoarea lui z egala cu , este:

Tinand seama de aceasta, parametrii planului de n si k, se determina din conditiile:

Rationamentul prezentat la punctul anterior conduce la obtinerea urmatoarelor relatii:

de unde rezulta:

Factorul de acceptare k se poate determina cu una din relatiile:

in final rezultand:

Aplicatie. Sa se elaboreze un plan de control statistic, de tip simplu, pentru receptia unor loturi de produse. Valoarea minima a cararcteristicii la produsele controlate este de 250 mm. Din cercetarile anterioare se cunoaste ca aceasta caracteristica se repartizeaza normal cu abaterea standard s=3 mm. Conditiile contractuale prevad de asemenea ca :P₁=0,02; P₂=0,04, a b

Rezolvare:

z_a=z_b

z_P1=2,06; z_p2=1,75

;

Daca:

--1,905 ³250 -lotul se accepta

--1,905 3<250-lotul se respinge

b. Cazul in care pentru caracteristica de calitate se fixeaza doua limite de toleranta

In acest caz se vor determina doua limite de control in functie de care se ia decizia de acceptare sau respingere, rezultand astfel urmatoarele relatii:

-daca TI+ks££TS-ks -lotul se accepta;

-daca <TI+ks sau >TS-ks -lotul se respinge

III.3. Planuri de control secvental

La baza alcatuirii planului de control stau principiile verificarii ipotezelor statistice.

a. Caracteristica de calitate este limitata superior

Pornind de la fractiunea probabila P stabilita cu relatia:

si daca m -media caracteristicii X se gaseste la distanta de toleranta TS, adica m=TS-, atunci se obtine:

in cazul justetei ipotezei H₁:P£P₁ si respectiv

in cazul justetei ipotezei alternative H₂:P³P₂

unde m₁ -media caracteristicii cand P£P₁ si

m₂ -media caracteristicii cand P³P₂.

Deci in ipoteza H₁ media caracteristicii m₁ se poate scrie sub forma m₁=TS-z₁s, iar in ipoteza H₂:m₂=TS-z₂s

In cazul cand caracteristica este limitata superior m₁£m₂ decizia cu privire la acceptarea sau respingerea ipotezei H₁ respectiv a lotului, se ia pe baza testului raportului de probabilitate al carui mod de construire si aplicare s-a studiat in cazul controlului secvential prin atribute. Difera numai modul de determinare al probabilitatilor P_1,n siP_2,n care se calculeaza pe baza modelului legii normale.

Pentru H₁:P£P₁, adica in ipoteza ca media caracteristicii X este m₁, probabilitatea ca dupa "n" extractii succesive sa se obtina valorile: x₁, x₂, ., x_n. este:

In mod similar, in cazul ipotezei H₂, rezulta:

Fixand riscurile a si b prin raportul:

cele 3 conditii de luare a deciziei se obtin din relatiile:

-conditia de acceptare:

-conditia de respingere:

-conditia de continuare a controlului:

Logaritmand, se obtin numerele de acceptare, respectiv respingere, prin liniarizarea acestor expresii obtinem:

sau

Media se estimeaza pe baza datelor, si de aceea trebuie sa se stabileasca valorile acesteia pentru care lotul poate fi acceptat si respectiv respins.

Relatiile de mai sus se mai pot scrie:

sau

respectiv:

sau

In aceasta situatie numerele de respingere, respectiv de acceptare sunt:

si

unde n=1, 2, ., n reprezinta numarul de ordine al produselor extrase din lot si supuse controlului.

Prin trecerea la logaritmi zecimali, rezulta:

; ;

b. Caracteristica de calitate este limitata inferior

In acest caz rezulta relatiile:

in care

Conditiile de luare a deciziilor si modul de lucru sunt analoage cu cele descrise in cazul anterior. Se face precizia ca h₂ este negativ.

III. 4. Cazul caracteristicilor dublu tolerate

In practica realizarii controlului de receptie sunt frecvente cazurile cand produsele supuse controlului prezinta caracteristici dublu limitate. In acest caz un plan de control secvential va cuprinde urmatoarele:

1. stabilirea a doua limite de control si cuprinse intre doua limite de toleranta TI si TS. Pentru aceasta, pornind de la nivelul de calitate acceptata, notand cu P₁, se va inlocui d cu , a carei valoare se obtine din relatia care da fractiunea defectiva in cazul caracteristicilor dublu tolerate. In acest caz valorile lui si sunt si

2. luarea deciziilor in urma efectuarii controlului. Daca se noteaza:

-P_0,n -probabilitatea de acceptare a ipotezei adevarate H₀;

-P_1,n -probabilitatea referitoare la variabila X cand este adevarata  ipoteza H₁;

-P'_1,n -probabilitatea referitoare la variabila aleatoare X cand este adevarata  ipoteza H'₁.

Deciziile posibile ce se iau dupa un control statistic, vor fi stabilite pe baza criteriului Wald, care se completeaza cu o decizie (H₀:m=m₀, cu alternativa H₁:m=m₁=m₀+ds , cand caracteristica de calitate se deplaseaza spre TS sau TI avem :m'₁=m₀=m₀+ds , unde d >0).

Considerand ca variabila aleatoare X urmeaza o lege normala, raportul va fi:

Pe baza considerentelor de mai sus rezulta ca daca:

se accepta H₀

, se respinge ipoteza H₀ si se accepta varianta H₁, iar daca variaza intre limite se face o noua extractie.

Determinam marimile:

;

rezulta numerele de acceptare si respingere:

si

Acelasi rationament se face si pentru ipoteza rezulta

se accepta H₀

, se respinge si se accept ipoteza , iar daca este cuprinsa intre aceste limite rezulta o noua extractie.

Se determina marimile , , k', cu relatiile:

;

Numerele de acceptare si de respinere sunt:

si

Se obtin asadar doua limite de acceptare A_n si doua limite de respingere si R_n . Reprezentarea grafica a celor grupe de ecuatii este prezentata in fig.10.2.

- daca suma valorilor caracteristicilor celor patru n produse extrase ale unui numar mai mare sau egal cu R_n ori mai mic sau egal cu lotul se respinge;

- daca insa suma cumulata a valorilor caracteristicii produselor controlate este cuprinsa intre A_n si R_n, respectiv cu si se procedeaza la o anumita extractie.

Ipoteza H₁: m=m₁ rezulta pentru h₁ valoare negativa, iar pentru h₂ o valoare pozitiva. In ipoteza : m=m rezulta pentru h o valoare pozitiva si o valoare negativa pentru h. Altfel spus rezulta ca |h₁|=h, iar h₂=|h|.

Numarul minim de unitati n' dupa care se poate lua decizia de acceptare se obtine cu relatia:, unde

Verificarea calitatii loturilor:

-se extrage din lot un produs si se masoara caracteristicile; dupa fiecare masuratoare se face suma cumulata a valorii;

-daca dupa extractia produsului cu numarul de ordine n suma valorilor caracteristice lor este cuprinsa intre A_n si lotul se accepta.

-daca suma volorilor caracteristicii celor n produse extrase este un numar mai mare sau egal cu R_n ori mai mic sau egal cu R'_n, lotul se respinge;

-daca insa suma cumulata a volorilor caracteristicii celor n produse controlate este cuprinsa intre numerele A_n si R_n respectiv A'_n si R'_n se procedeaza la o noua extractie.