Calculul zgomotului de cuantizare

Calculul zgomotului de cuantizare

Presupunem ca la intrarea cuantizorului se aplica o variabila aleatoare x. Gama de variatie a variabilei se subdivide in intervale adiacente I_k de aceeasi largime Δ_x.

Prin cuantizare se inlocuiesc valorile lui x cu valorile centrelor intervalelor, conform relatiilor:

x_k=kΔ_x+θΔ=(k+θ)Δ_x , pentru (k-) _x+θΔ_x< x ≤(k+) _{x x} (6.1.)

Mai intalnite sunt doua cazuri:

a)      Þ x_k=k _x pentru (k-) _x <x≤ (k+) _x

b)      Þ x_k=(k+) _x pentru kΔ_x< x ≤(k+1) _x

X_k=(k-) _x , pentru (k-1) _x<x≤kΔ_x

Caracteristicile de transfer pentru cele doua cazuri sunt aratate in fig. 6.10.

Fig.6.10. Caracteristicile de transfer ale cuantizarii uniforme

Atunci, zgomotul de cuantizare este diferenta dintre semnalul de iesire x_k si semnalul de intrare x, adica

y = z_c = x_k-x = (k+θ) _x-x.    (6.2.)

Reprezentarea grafica a acestei ecuatii arata ca este o functie periodica, cu perioada Δ_x si cu valoarea maxima deoarece:

pentru x = 0 si k = 0 Þ y = θΔ_x     si

pentru x = θΔ_x si k = 0 Þy = 0.

Fig. 6.11. Zgomotul de cuantizare

Puterea zgomotului cuantizat

Pentru calculul puterii zgomotului de cuantizare, este suficient sa reprezentam canalul numeric sub forma (fig.6.12.):

Fig. 6.12. Schema simplificata a canalului

Daca luam pentru coder caracteristica de transfer cu prag orizontal in origine( ), iar pentru decoder, cu caracteristica cu prag vertical in origine(θ=), precum si daca se ia in considerare ca numarul intervalelor de cuantizare este suficient de mare, atunci se poate aprecia ca intre doua amplitudini de decizie, densitatea probabilitatii de amplitudine este constanta pe durata intervalului elementar, adica:

p_x(x)=constant pentru x_x<x<x_k+1.

Fig. 6.13. Analiza intervalului elementar

Deoarece la receptie apare cu certitudine nivelul de reconstructie z_k, se poate scrie pentru intervalul k relatia evenimentului sigur:

p(x) _x

Se defineste puterea instantanee a zgomotului de cuantizare generat de un nivel de recontructie ca valoarea medie patratica a zgomotului de cuantizare pe o sarcina unitara, conform relatiei:

Daca caracteristica de transfer a decoderului nu se ia intretesuta cu cea a coderului si se ia de acelasi tip, atunci nivelul de recontructie z_k se suprapune cu amplitudinea de decizie si in consecinta limitele integralei ar fi de la 0 la Δx, iar , adica de 4 ori mai mare.

Din expresia lui z_c se constata ca aceasta depinde de Δx si nu de statistica semnalului de intrare, adica pentru un Δx dat, valoarea lui z_c este constanta.

Daca se normeaza gama de amplitudini a semnalului x pentru valori pozitive si negative, se obtine gama normata: (-1)........(+1). Aceasta gama se imparte in N intervale de cuantizare uniforme cu marimea Δx, conform relatiei NΔx=2, deci

. (6.5.)

Puterea zgomotului total se obtine prin sumarea ponderata pe toate cele N intervale de reconstructie:

(6.6.)

Raportul semnal pe zgomot de cuantizare este:

, sau sub forma logaritmoca

Daca x=1(valoarea maxima pozitiva a semnalui de intrare) si N=2ⁿ, atunci dB. Pentru n=8 Þ dB.

Pentru Þ 20lgx=-49,8dB, adica nivelul semnalului pentru care rszc devine zero.

Caracteristica rszc=f(x) este o drepta la care cunoastem doua puncte si se va constata ca ea scade cu 6dB/octava.

Fig 6.14. Variatia rszc la MIC linear

Experimentarile au aratat ca ecartul admis al zgomotului de cuantizare in traficul telefonic este de 26 dB. In practica se ia valoarea de 32dB pentru a fi acoperitoare (cu 6 dB in plus in situatia mai multor legaturi M.I.C. in tandem.

Cum gama dinamica a semnalului de vorbire este de aproximativ 30dB, se constata ca este necesar sa se realizeze o astfel de compandare incat sa se asigure un rszc constant la valoarea de 32dB pe gama semnalului de 30dB.