CAMPUL ELECTROSTATIC IN PREZENTA CONDUCTORILOR

CAMPUL ELECTROSTATIC IN PREZENTA CONDUCTORILOR

a. Intensitatea campului electric, potentialul si distributia de sarcina in conductorii aflati la echilibrul electrostatic.

b. Campul electric in interiorul unei cavitati dintr-un conductor aflat in echilibrul electrostatic.

c. Campul electric in vecinatatea si pe suprafata unui conductor aflat la echilibrul electrostatic.

d. Dependenta densitatii de sarcina de curbura suprafetei conductorului. Scurgerea sarcinilor electrice prin varfuri.

e. Influenta electrostatica.

f. Problema fundamentala a electrostaticii.

g. Aplicatii.

a. Intensitatea campului electric, potentialul si distributia de sarcina

Dupa cum se stie, daca printr-un proces oarecare (de exemplu prin introducerea in camp electric extern), intr-o anumita regiune a unui corp, apare o cantitate de electricitate se pot intampla doua lucruri:

a) sarcina electrica ramane in regiunea unde a fost produsa;

b) sarcina electrica se distribuie si pe alte regiuni.

Corpurile din grupa a) se numesc izolatori sau dielectrici iar corpurile din grupa b) conducatori.

Cei mai buni conductori sunt metalele. Metalele sunt alcatuite din ioni pozitivi, asezati in nodurile retelei cristaline, si din electroni ce se pot misca liberi in interiorul metalului. Intr-o regiune de pe un metal, poate aparea o anumita cantitate de electricitate, daca in acea regiune se afla mai multi sau mai putini electroni decat cei ce sunt necesari mentinerii neutralitatii electrice.

Un conductor este in echilibru electrostatic daca, la nivel macroscopic, sarcinile electrice ce se afla pe el sunt in repaus. Acest lucru se poate realiza numai daca asupra sarcinii electrice macroscopice, din fiecare punct, nu actioneaza nici o forta care s-o deplaseze.

Daca forta F = 0, inseamna ca in orice punct din interiorul unui conductor campul electric este nul:

(I.52)

Din legea lui Gauss (vezi formula I.29), rezulta ca:

(I.53)

In interiorul unui conductor aflat la echilibru electrostatic densitatea volumica de sarcina este nula.

Fig. 39 Conductor aflat la echilibru electrostatic

Din relatia ce exista intre campul electric si potential (vezi formula I.49) rezulta:

(I.54)

In interiorul unui conductor aflat la echilibru electrostatic potentialul electric este constant.

Deoarece sarcina electrica nu se poate distribui in interiorul unui conductor aflat la echilibru electrostatic ea se va distribui la suprafata acestuia sub forma unei distributii superficiale de sarcina (in realitate un strat cu grosimea de cateva diametre atomice).

b. Campul electric in interiorul unei cavitati dintr-un conductor aflat in echilibrul electrostatic

Fie o cavitate in interiorul unui conductor aflat la echilibru electrostatic. Presupunem ca in interiorul cavitatii, din interiorul conductorului, nu exista sarcini electrice.

Fig. 40 Cavitate in interiorul unui conductor

Vrem sa vedem care este campul electric si potentialul in interiorul acestei cavitati. Deoarece potentialul electric este o functie continua (vezi paragraful I.3.e.), potentialul suprafetei interioare coincide cu potentialul din interiorul conductorului si deci este acelasi in orice punct. Sa presupunem ca, intr-un punct P, din interiorul cavitatii, potentialul electric prezinta un maxim. Dupa cum am aratat in paragraful I.3.e., liniile de camp electric sunt indreptate de la zona cu potential mai mare spre zonele cu potential mai mic. Deoarece punctul P este un punct de maxim, rezulta ca toate liniile de camp pleaca din punctul P. In aceste conditii, fluxul electric printr-o suprafata gaussiana ce inconjoara punctul este pozitiv. Conform legii lui Gauss rezulta ca in acel punct ar trebui sa existe o sarcina electrica pozitiva. Deoarece am presupus ca in interiorul cavitatii nu exista sarcini electrice, rezulta ca ipoteza existentei unui maxim al potentialului electric in interiorul cavitatii este falsa. In mod analog se poate arata ca, ipoteza existentei unui minim de potential intr-un punct din interiorul cavitatii duce la o contradictie cu ipoteza inexistentei sarcinii electrice in cavitate. Deoarece potentialul electric este o functie continua, rezulta ca potentialul electric este constant in interiorul cavitatii si egal cu potentialul din interiorul conductorului:

(I.55)

Conform cu relatia I.49 de legatura dintre intensitatea campului electric si potential, tinand cont ca potentialul este constant in interiorul cavitatii, rezulta ca intensitatea campului electric in interiorul acesteia este nula:

(I.56)

Deoarece derivata potentialului electric la suprafata de separatie metal-cavitate este nula pe orice directie rezulta ca densitatea de sarcina electrica pe suprafata interioara este zero:

(I.57)

c. Campul electric in vecinatatea si pe suprafata unui conductor aflat la echilibrul electrostatic.

Fie o portiune infinitezimala ds de la suprafata unui conductor aflat la echilibru electrostatic. Gaussiana ce contine suprafata elementara ds se afla in interiorul si exteriorul conductorului ca in fig. 41.

Fig. 41 Campul electric in imediata vecinatate a unei suprafete conductoare

Presupunem ca partea exterioara, a gaussienei ∑, este un cilindru drept a carui inaltime h este mult mai mica decat dimensiunea liniara a bazei, l (se spune ca h este un infinit mic de ordin superior in raport cu l). In aceste conditii, liniile de camp electric trec practic numai prin baza ds' a cilindrului.

Fluxul electric prin gaussiana este:

si este dat de componenta normala la suprafata conductorului a intensitatii campului electric din imediata vecinatate a suprafetei conductorului:

Pentru a afla componenta tangentiala a intensitatii campului electric din imediata vecinatate a suprafetei sa consideram curba din fig. 42.

Fig. 42 Circulatia campului electric la suprafata conductorului

Circulatia campului electric pe curba , in conformitate cu formula I.33, trebuie sa fie nula. Presupunand latura AD mult mai mica decat latura AB, rezulta ca:

Din ecuatia precedenta, deoarece AB 0, rezulta:

Deci campul electric din imediata vecinatate a conductorului este normal pe suprafata acestuia. Acest lucru se poate exprima vectorial prin relatia:

    (I.58)

Sarcinile electrice de pe suprafata conductorului se afla sub influenta campului electric ce exista chiar pe suprafata acestuia. Pentru a afla campul electric de pe suprafata conductorului vom proceda astfel:

Fie elementul ds de pe suprafata conductorului (vezi fig. 43). Campul creat de acest element de suprafata in imediata vecinatate a lui (distanta suprafata - punctul unde se calculeaza campul este mult mai mica decat dimensiunile liniare ale lui ds) este egala cu E_ds.

Fig. 43 Calculul campului electric la suprafata unui conductor

Restul suprafetei conductorului va crea un camp electric E₁. Campul electric total in punctul M_e este:

In conformitate cu relatia I.58., rezulta ca:

In punctul interior M_i campul electric este nul:

Din ultimele doua relatii rezulta ca:

(I.59)

d. Dependenta densitatii de sarcina de curbura suprafetei conductorului. Scurgerea sarcinilor electrice prin varfuri.

Fie doua sfere, de raze R₁ si R₂, incarcate electric, legate printr-un fir metalic lung, ca in figura 4

Fig. 4 Sistem de doua sfere conductoare aflate la acelasi potential.

Deoarece potentialul celor doua conductoare este acelasi rezulta:

si deci:

    (I.60)

Cu alte cuvinte, densitatea de sarcina electrica de pe un conductor aflat la echilibru electrostatic este invers proportionala cu raza de curbura a conductorului in punctul dat. Din acest motiv intensitatea campului electric este mare pe varfurile ascutite.

Aerul din vecinatatea varfului unui conductor incarcat electric contine sarcini electrice (ioni si electroni). Asa cum se vede din fig.45, electronii sunt atrasi, iar ionii sunt respinsi. Electronul ce soseste pe suprafata varfului, sub influenta fortei transfera varfului un impuls egal si de sens contrar celui capatat de sarcinile pozitive sub influenta fortei . Ca rezultat al compunerii celor doua impulsuri, impulsul total al varfului nu se modifica. Nu acelasi lucru se intampla in urma interactiunii cu sarcinile de acelasi fel.

Fig. 45 Interactiunea sarcinilor electrice din aer cu varful conductor

Sub influenta fortei ionii se deplaseaza dinspre varf. Varful, sub influenta fortei , capata un impuls in sens contrar. In urma sosirii electronilor pe varful conductor sarcina totala a conductorului se micsoreaza. Acest fenomen se numeste scurgerea sarcinilor electrice prin varfuri.

O demonstratie efectiva a aparitiei "fortei reactive" se poate face cu ajutorul "moristii electrostatice" prezentata in fig. 46.

Fig. 46 Morisca electrostatica

e. Influenta electrostatica

Fie doua conductoare electrice, C₁ si C₂, aflate la potentiale electrice diferite. Sa presupunem ca liniile de camp electric pleaca de pe suprafata elementara ds₁ si ajung pe suprafata elementara ds₂ (vezi fig. 47).

Fig. 47 Suprafete elementare corespondente

Cele doua elemente de suprafata ds₁ si ds₂,care se afla la capetele unui tub de linii de camp, se numesc elemente de suprafata corespondente.

Fie o suprafata gaussiana, , ce este formata din suprafata laterala a tubului de linii de camp si din doua suprafete aflate in interiorul celor doi conductori. In conformitate cu legea lui Gauss, rezulta:

(I.61)

Relatia (I.61) se numeste legea elementelor corespondente si se enunta astfel: sarcinile electrice de pe doua elemente corespondente sunt egale in modul dar de semne contrarii.

Daca doua sau mai multe conductoare, aflate initial la distanta foarte mare unul de altul, sunt apropiate, distributia sarcinilor electrice pe acestea se modifica. Acest fenomen se numeste influenta electrica.

Pe baza fenomenului de influenta electrica se pot incarca cu electricitate corpurile conductoare aflate la potential constant.

Fie sistemul de conductori din fig. 48.

Fig. 48 Incarcare prin influenta a unui conductor

Corpul A este incarcat electric si izolat. Corpul B este initial neutru si legat la pamant. Deoarece corpul A este incarcat cu sarcina electrica pozitiva, o parte din liniile de camp electric de pe corpul A vor ajunge pe corpul B. In conformitate cu legea elementelor corespondente, pe corpul B vor aparea sarcini electrice negative ce sunt atrase din pamant. Izoland corpul B el va ramane cu sarcina electrica efectiva negativa.

Daca unul din conductorii ce se influenteaza il inconjoara complet pe celalalt (vezi fig. 49) atunci toate liniile de camp ce pleaca de pe conductorul interior ajung pe cel exterior.

Fig. 49 Influenta totala intre doi conductori

In conformitate cu legea elementelor corespondente, sarcina electrica de pe suprafata interioara a conductorului extern este egala cu sarcina de pe conductorul intern:

Acest fenomen se numeste influenta totala.

Pe baza fenomenului de influenta totala se bazeaza functionarea ecranelor electrice (vezi figura 50).

Fig. 50 Ecran electric

In exteriorul corpului B, campul electric ramane tot timpul nul, corpul C nu resimte influenta sarcinii de pe corpul A. Daca corpul C este incarcat electric, deoarece in masa conductorului campul este mereu nul, corpul A nu resimte influenta acestei sarcini. Deci corpul B separa, din punct de vedere al influentei electrice spatiul interior lui de cel exterior. Datorita acestei proprietati corpul B se numeste ecran electric.

f. Problema fundamentala a electrostaticii

In practica electronicii si electrotehnicii se folosesc sisteme de conductori aflate la diferite potentiale electrice constante. In aceste conditii se doreste sa se afle potentialul si campul electric in diferite puncte din spatiu. Fie sistemul de conductori din figura 51.

Fig. 51- Sistem de conductori aflati la potentiale constante

Pentru a afla potentialul electric intr-un punct exterior conductorilor, trebuie rezolvata ecuatia Laplace (I.51).

Gasirea solutiilor care indeplinesc ecuatia Laplace cu conditiile la suprafata conductorilor date poarta denumirea de problema fundamentala a electrostaticii.

Din punct de vedere fizic este evident ca aceasta problema are cel putin o solutie deoarece in afara conductorilor trebuie sa existe un anumit camp electric. Se pune intrebarea daca aceasta problema are o solutie sau mai multe.

Presupunem ca j(x,y,z) este o solutie si (x,y,z) este o alta solutie care indeplineste aceleasi conditii la limita. Deoarece ecuatia lui Laplace este liniara, orice combinare a celor doua solutii este si ea o solutie. Deci si functia:

este si ea o solutie a problemei. Dar, deoarece pe suprafata unui conductor de potential V_i 0,

rezulta ca, pe aceasta suprafata,

ceea ce vine in contradictie cu conditia la limita data. Deci solutia problemei este unica.

Fie un ansamblu de conductoare aflate intr-o stare de echilibru electrostatic ca in fig. 52.

Fig. 52 Potentialul intr-un punct P al unui sistem de conductori

Pentru o stare de echilibru cu distributiile de sarcina superficiala _n potentialul produs in punctul P de sarcina de pe suprafata ds₁ va fi:

potentialul total in punctul P este suma potentialelor produse de toate sarcinile:

Fie o alta stare de echilibru cu distributiile de sarcina electrica superficiala _n Potentialul punctului P va fi:

Pentru starea de echilibru cu distributiile de sarcina electrica superficiala

_{on n n} potentialul punctului P este:

Se constata ca starea finala este suprapunerea celor doua stari de echilibru initiale. Acest lucru ramane valabil si in general, putand scrie, pentru starea cu distributia de sarcina:

cu i = 1,2,3,.., n ca:

(I.62)

Formula (I.62) se numeste legea suprapunerii starilor de echilibru electrostatic. Sarcina electrica de pe fiecare conductor in starea finala este data de relatia:   

In cuvinte, legea suprapunerii starilor de echilibru se enunta astfel: in cazul unui sistem de conductoare in repaus, prin suprapunerea a doua sau a mai multor stari de echilibru, se obtine o noua stare de echilibru. In fiecare punct din spatiu aflat in conductoare sau in afara acestora, densitatile de sarcini, potentialele si sarcinile sunt egale cu suma algebrica a celor corespunzatoare starilor suprapuse.

g. Aplicatii

Problema 1.

O sarcina punctuala q este situata la distanta d de un conductor infinit care ocupa semispatiu din stanga. Sa se determine intensitatea campului electric intr-un punct oarecare din semispatiu din dreapta si densitatea sarcinilor induse de sarcina q pe suprafata conductorului.

Consideram nul potentialul conductorului. Sa presupunem ca inlaturam conductorul, dar pe prelungirea perpendicularei coborata din q pe suprafata conductorului aducem, la aceeasi distanta d de suprafata lui, o sarcina q^' = - q.

Fig. 53 Referitor la problema 1

In consecinta, pentru domeniul D, constituit de semispatiul din dreapta si numai pentru el, avem o perfecta identitate in privinta datelor problemelor in ambele situatii: sarcina q in prezenta planului conductor si sarcinile q si q' in absenta conductorului. In ambele cazuri, planul ce constituie suprafata conductorului, va avea tot potentialul nul, deoarece potentialele create de cele doua sarcini vor fi egale si de semn opus in punctele lui. Conform teoremei unicitatii, campul in domeniul D este univoc determinat de distributia sarcinilor si de conditiile de frontiera. Or, in cele doua situatii precedente, in semispatiul din dreapta, distributia sarcinilor este aceeasi si conditiile de frontiera sunt aceleasi.

Deci, in loc de a rezolva problema "sarcina q in prezenta planului conductor", rezolvam problema "sarcinile q si q' ", care este mai simpla.

Pentru un punct oarecare P, cu notatiile din fig. 53 avem:

Daca este versorul normalei pe plan, atunci :

Densitatea sarcinii electrice σ in punctul considerat se deduce din expresia:

valabila pentru suprafata unui conductor. Deci:

Metoda folosita pentru rezolvarea acestei probleme se numeste metoda imaginilor electrice si este foarte folosita in electrostatica.