CIRCUITE DINAMICE - CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV MONOFAZAT

1. Introducere.

Comportarea circuitelor rezistive, formate din surse independente si rezistoare multipolare este descrisa, asa cum s-a aratat in Capitolul 2, de un sistem de ecuatii algebrice. In acest capitol se va introduce o clasa noua de elemente de circuit a caror comportare este descrisa de ecuatii diferentiale. Aceste elemente de circuit se numesc elemente dinamice. Cele mai simple elemente din aceasta clasa sunt doua elemente dipolare: condensatorul liniar si bobina liniara. Ecuatia de functionare a condensatorului liniar este unde u(t) este tensiunea la bornele condensatorului, i(t) este curentul prin condensator si C este o constanta numita capacitatea condensatorului. Ecuatia de functionare a bobinei liniare este unde L este o constanta numita inductivitatea bobinei.

Un circuit care contine cel putin un element dinamic se numeste circuit dinamic. Elementele dinamice ideale sunt, spre deosebire de rezistoare, elemente fara pierderi adica ele nu disipa energia ci o acumuleaza. Energia acumulata la un moment dat de un astfel de element poate fi ulterior cedata circuitului in care este conectat elementul respectiv.

Un circuit functioneaza in regim sinusoidal daca toate tensiunile si toti curentii sunt marimi sinusoidale de aceeasi pulsatie. Un astfel de circuit se numeste circuit de curent alternativ (c.a.).

Fie un circuit liniar cu rezistoare cu rezistentele pozitive, bobine cu inductivitatile pozitive, condensatoare cu capacitatile pozitive si in care toate sursele independente sunt sinusoidale de aceeasi pulsatie w. Se poate arata ca un astfel de circuit functioneaza in regim sinusoidal atunci cand timpul care trece de la cuplarea surselor tinde catre infinit. Spunem ca regimul permanent (care se obtine pentru pentru t¥) al acestui circuit este sinusoidal. In Capitolul 5 se arata ca daca intr-un astfel de circuit avem un singur element neliniar, regimul permanent, daca exista, este unul nesinusoidal (deformant) in care raspunsul contine componente de pulsatiile 2w, 3w, Regimul sinusoidal este deci regimul permanent al unei clase de circuite liniare.

Importanta studiului acestui regim este legata de faptul ca energia electrica se produce cu generatoare sinusoidale si se distribuie eficient prin circuite de curent alternativ; in plus foarte multe circuite electronice functioneaza in acest regim.

2. Elementele dinamice de circuit

2.1. Condensatorul ideal.

Din teoria campului electromagnetic se stie ca relatia intre sarcina q a unui corp si curentul absorbit de acesta este i=dq/dt. Ca urmare un element dipolar de circuit poate fi caracterizat, pe langa perechea , si de sarcina electrica q(t) definita de relatia. in care este sarcina in momentul t₀.

Condensatorul ideal este un element dipolar de circuit pentru care multimea perechilor admisibile poate fi reprezentata in planul q-u printr-o curba de ecuatie f(q,u)=0. Aceasta curba este caracteristica q-u a condensatorului si ecuatia f(q,u)=0 este ecuatia sa constitutiva. Daca f(q,u)=0 este aceeasi pentru orice moment de timp, condensatorul este invariant in timp.

Marimea se numeste capacitatea dinamica a condensatorului la tensiunea u₀. Daca caracteristica condensatorului este o dreapta care trece prin origine condensatorul este liniar iar marimea C_d este constanta in raport cu q si u si se numeste capacitatea condensatorului liniar .

Unitatea de masura a capacitatii este faradul ( ), in practica folosindu-se submultiplii sai microfaradul (1mF = 10^-6 F) , nanofaradul (1nF = 10^-9 F) si picofaradul (1pF = 10^-12F).

Daca caracteristica condensatorului nu este o dreapta care trece prin origine atunci condensatorul este neliniar. Un condensator este controlat in tensiune daca ecuatia sa constitutiva poate fi scrisa ca o functie si este controlat in sarcina daca exista functia . Comportarea acestui element de circuit este descrisa de ecuatia constitutiva f(q,u)=0 la care se adauga ecutia . In unele cazuri se poate explicita dependenta dintre curent si derivata tensiunii in raport cu timpul; aceasta dependenta este ecuatia de functionare a condensatorului. De exemplu:

-pentru un condensator liniar invariant in timp : si

-pentru un condensator neliniar controlat in tensiune :

Condensatorul ideal modeleaza un efect capacitiv.

2.2. Bobina ideala

Din teoria campului electromagnetic se stie ca relatia intre fluxul magnetic j(t) al unei bobine si tensiunea u(t) la bornele acesteia este u(t)=dj(t)/dt. Ca urmare un element dipolar de circuit poate fi caracterizat, pe langa perechea , si de fluxul magnetic j(t) definit de relatia. in care este fluxul magnetic in momentul t₀.

O bobina este un element dipolar de circuit pentru care multimea perechilor admisibile poate fi reprezentata in planul j-i printr-o curba de ecuatie f(j,i)=0. Aceasta curba este caracte-

ristica j-i a bobinei si ecuatia f(j,i)=0 este ecuatia sa constitutiva. Daca f(j,i)=0 este aceeasi pentru orice moment de timp, bobina este invarianta in timp.

Marimea se numeste inductivitatea dinamica a bobinei la curentul i₀. Daca caracteristica bobinei este o dreapta care trece prin origine bobina este liniara si marimea L_d devine constanta in raport cu j si i si se numeste inductivitatea bobinei liniare . Unitatea de masura a inductivitatii este 1 henry (1H= 1Wb/1A); in practica se folosesc submultiplii milihenry (mH) si microhenry (mH).

Daca caracteristica bobinei nu este o dreapta care trece prin origine atunci bobina este neliniara. O bobina este controlata in curent daca ecuatia sa constitutiva poate fi scrisa in forma si este controlata in flux daca exista functia . Comportarea acestui element de circuit este descrisa de ecuatia constitutiva f(,i)=0 la care se adauga ecutia . In unele cazuri se poate explicita dependenta dintre tensiune si derivata curentului in raport cu timpul; aceasta dependenta este ecuatia de functionare a bobinei. De exemplu:

-pentru o bobina liniara invarianta in timp : si

-pentru o bobina neliniara controlata in curent :

Bobina ideala modeleaza un efect inductiv.

2. Proprietati ale condensatoarelor si bobinelor.

2.1. Memoria.

La un rezistor dipolar controlat in tensiune curentul i(t) depinde numai de tensiunea din acelasi moment (i(t) = f₁ (u(t)) ) iar la un rezistor controlat in curent u(t)=f₂ (i(t)) ceeace insemna ca rezistoarele nu au memorie.

La orice condensator sarcina q(t) depinde de valorile curentului intr-un interval de timp [t₀,.t] si

de sarcina q(t₀) [q(t)=q(t₀)+]. Similar, fluxul magnetic prin bobina j (t) depinde de j(t₀ ) si de valorile tensiunii bobinei in intervalul [t₀,.t] [j(t)= j (t₀ ) + ]. Aceasta inseamna ca bobina si condensatorul sunt elemente de circuit cu memorie, spre deosebire de rezistor.

2.2. Continuitatea lui u_C si i_L

Fie condensatorul din figura de mai jos prin care trece curentul i_S(t) care are discontinuitati finite. Rezulta ca daca u_C (0)=0 atunci u_C (t)= si u_C (t) este o functie continua. Pe baza proprietatii de continuitate a integralei unei functii cu discontinuitati finite rezulta:

a)daca curentul i_C(t) printr-un condensator liniar invariant in timp este marginit si are un numar finit de discontinuitati in intervalul [t₀, t_p] atunci tensiunea condensatorului u_C(t) este continua in acest interval;

b)daca tensiunea u_L(t) pe o bobina liniara invarianta in timp este marginita si are un numar finit de discontinuitati in intervalul [t₀, t_p] atunci curentul prin bobina i_L(t) este continuu in acest interval.

Daca i_C(t), respectiv u_L(t), nu sunt marginite atunci u_C(t), respectiv i_L(t) nu sunt marimi continue. De exemplu daca condensatorul din figura de mai jos este alimentat cu tensiunea e(t) (e(t) este o functie continua de timp), atunci i_C(t) va avea discontinuitati finite. Daca D0 atunci e(t) devine

functia treapta unitate care are o discontinuitate in t=0 si i_C(t) nu mai este marginit. Cand D0

dreptunghiul isi mentine aria unitara latimea sa tinzand catre zero si inaltimea sa spre infinit. Semnalul obtinut astfel se numeste impuls unitar sau impuls Dirac si se noteaza d(t).

Functia d(t) are o singularitate in t=0 si este nula pentru t¹0. Se poate arata usor ca pentru orice e₁ si e₂ strict pozitivi.

2. Caracterul nedisipativ (fara pierderi)

Energia pe care o primeste un rezistor liniar cu R>0 in intervalul de timp [t₁, t₂ ] este: . Evident W[t₁, t₂] ³0 indiferent de semnul lui i(t). Daca rezistorul este neliniar si pasiv [u(t)i(t)³0] rezultatul este acelasi: Rezistorul pasiv primeste energie din circuitul in care este conectat si aceasta energie se transforma in mod ireversibil in caldura (se disipa). Spunem ca rezistorul pasiv este un element de circuit disipativ (cu pierderi).

Energia absorbita de un condensator liniar in intervalul de timp [t₁, t₂ ]este

Daca u(t) este periodica de perioada T si t₂=t₁+T, atunci W_C[t₁, t₂]=0 si energia medie absorbita de condensator intr-o perioada este nula. Aceasta inseamna ca puterea absorbita este pozitiva numai pe anumite subintervale din perioada T, in celelalte subintervale puterea absorbita fiind negativa. Deci condensatorul nu disipa energia ci o acumuleaza si apoi o reda circuitului in care este conectat. Un astfel de element de circuit este nedisipativ (fara pierderi).

Pentru un condensator controlat in sarcina [u=u(q)] rezultatul este similar

, unde A₁₂ este aria din figura.

Daca q(t₂) =q(t₁ + T ) atunci A₁₂ = 0 si W_C [t₁, t₂] = 0.

Similar se poate arata ca o bobina liniara si o bobina neliniara controlata in flux sunt nedisipative. Pentru bobina liniara

si pentru bobina neliniara controlata in flux cu caracteristica i=i(f)

Din aceaste relatii rezulta ca in regim periodic (u(t) si i(t) sunt functii periodice de perioada T) la un element de circuit fara pierderi tensiunea si curentul trec prin valoarea zero la momente de timp diferite. Altfel produsul u(t)i(t) ar fi tot timpul pozitiv sau negativ si W[t₁, t₂] ar fi nenula pe o perioada. De exemplu, in regim sinusoidal tensiunea unui condensator liniar este u(t)=U sinwt si curentul este i(t)=Cw coswt=Cw sin(wt +p/2) deci u(t) si i(t) trec prin zero la momente de timp distantate cu Dt = p/2w.

Fie un condensator liniar cu capacitatea C>0 care in momentul t₁ este conectat la un circuit .

Stiind ca u(t₁)=U, energia absorbita de condensator este W_C=[t₁,t₂]=. Daca

, atunci W_C [t₁, t₂ ] < 0 si condensatorul cedeaza energie circuitului la care este conectat.

Daca u(t₂) = 0 condensatorul va ceda valoarea maxima a energiei W_Cmax [t₁, t₂ ]=. Deoarece aceasta este valoarea maxima a energiei ce se poate extrage din condensator este normal sa spunem ca energia acumulata intr-un condensator liniar de capacitate C incarcat la tensiunea U este E_C = . Similar se poate arata ca energia acumulata intr-o bobina liniara de inductivitate L prin care trece curentul I este .

Pentru un condensator neliniar controlat in sarcina a carui caracteristica u=u(q) trece prin origine energia acumulata este

Pentru o bobina neliniara controlata in flux a carei caracteristica i = i(F) trece prin origine energia acumulata este

2.4 Bobinele cuplate

Bobinele cuplate se utilizeaza in circuitele de comunicatii si in echipamentele de masura. Transformatoarele electrice construite cu bobine cuplate au o importanta deosebita in transmiterea energiei electrice intre generatoare si utilizatori. Motoarele si generatoarele electrice se modeleaza prin bobine cuplate cu parametri variabili in timp.

. Doua bobine cuplate magnetic se reprezinta astfel

Un model liniar al acestui dispozitiv este dat de un sistem de ecuatii liniare care leaga curentii i₁, i₂ si fluxurile f₁, f₂ prin bobinele 1 si 2. Acest sistem reprezinta ecuatia constitutiva a bobinelor liniare cuplate:

f₁ = L₁₁ i₁ Mi₂

f₂ = L₂₂i₂ Mi₁.

unde L₁₁ si L₂₂ sunt inductivitatile proprii ale celor doua infasurari si M este inductivitatea mutuala dintre infasurari. Termenii L₁₁ i₁ si L₂₂i₂ reprezinta fluxurile proprii ale bobinelor 1 si 2 iar termenii Mi₂ si Mi₁ reprezinta fluxurile mutuale. In teoria campului electromagnetic se arata ca fluxul propriu si fluxul mutual sau se aduna in ambele bobine, sau se scad in ambele bobine. Ca urmare semnele atasate

lui M sunt sau amandoua + sau amandoua -. De exemplu pentru bobina 1 din figura, cu sensurile date

pentru i₁ si i₂ fluxul propriu L₁₁ i₁ si fluxul mutual M i₂ sunt orientate in acelasi sens si deci M se

considera cu semnul +. Daca i₂ are sensul invers celui din figura, atunci fluxul mutual este orientat invers fata de cel propriu si M se considera cu semnul -.

Pentru a preciza semnul lui M se foloseste reprezentarea bobinelor cu borne polarizate: daca cei doi curenti i₁ si i₂ "ataca" la fel bornele polarizate (ambii intra sau ambii ies din aceste borne), atunci in ecuatii se considera +M, iar daca i₁ si i₂ "ataca" in mod diferit aceste borne (un curent intra prin borna polarizata si celalalt curent iese prin borna polarizata) atunci in ecuatii se considera -M.

Ecuatia constitutiva a bobinelor cuplate se scrie matriceal [F] = [L].[I]

unde este matricea inductivitatilor.

Tensiunile u₁ si u₂ sunt date de si aceste relatii reprezentand ecuatia de functionare a bobinelor cuplate. Utilizand ecuatia constitutiva a bobinelor liniare rezulta:

sau, matriceal,

Daca nodurile 1' si 2' sunt legate intre ele atunci se poate obtine un diport echivalent cu trei bobine necuplate. Deoarece i=i₁+i₂, calculand u₁(t) in diportul echivalent rezulta:

. Similar rezulta .

Similar cu elementele dipolare, pentru a calcula energia acumulata se considera conditii initiale nule (i₁(0)=0 si i₂(0)=0, respectiv f₁(0)=0 si f₂(0)=0). Se calculeaza energia absorbita de bobine intr-un interval de timp T:

Energia acumulata in bobine la momentul T poate fi calculata ca energia cedata de bobine in transformarea de la starea initiala la starea finala i₁(T)=I₁, i₂(T)=I₂.

Din considerente fizice energia magnetica acumulata W_M(I₁, I₂) este pozitiva pentru orice I₁, I₂¹0. Rezulta ca L este pozitiv definita, deci minorii principali ai matricei L sunt pozitivi adica L₁₁³0, L₁₁L₂₂ -M² ³0.

Inductivitatea mutuala se poate defini in functie de coeficientul de cuplaj . Din L₁₁L₂₂ ³ M² rezulta ca <1. Valoarea k=0 corespunde bobinelor necuplate, iar valoarea k=1 corespunde cuplajului perfect.

In cazul mai multor bobine cuplate se obtin ecuatii similare. De exemplu trei bobine liniare cuplate au ecuatia de functionare

In teoria campului electromagnetic se demonstreaza relatia M_jk=M_kj (proprietatea de simetrie a matricei inductivitatilor).

Ecuatia de functionare a unui sistem de bobine neliniare cuplate se obtine din relatiile si ecuatiile constitutive. De exemplu pentru doua bobine neliniare controlate in curent cu ecuatiile constitutive rezulta: si

.

Reprezentarea in complex a marimilor sinusoidale

O marime sinusoidala este o functie de timp de forma: y(t) =Y sin(t +)

unde: Y este valoarea efectiva, Y este valoarea maxima, este pulsatia si =2f unde f = 1/T este frecventa si T este perioada,iar este faza initiala.

Reprezentarea in complex a marimii sinusoidale y(t) = Y sin(t + j) este numarul complex unde Y este modulul numarului complex, j este argumentul numarului complex, iar . Evident Y=Ycosj + jYsinj, unde Ycosj este partea reala a lui Y si Ysinj este partea sa

imaginara.

Reprezentarea grafica a lui Y in planul complex se numeste fazor.

Proprietati:

a) liniaritatea: ay₁ (t) + by₂ (t) Û aY₁+ bY ₂ cu a,bIR

Demonstratie: Este evident ca ay₁ (t) aY₁. Ramane de aratat ca y₁ + y₂ Y₁ + Y₂

Fie si . Atunci

Notam:

Reprezentarea in complex a lui y(t) va fi:

b) derivarea marimii sinusoidale in raport cu timpul: Û j Y

Ycos (t + ) = Ysin (t + + ) Û Y e^{j( + )} = j Y

Exemple:a) Fie marimea sinusoidala y(t) = 120sin (wt + p/2). Numarul complex corespunzator este Y = Ye^jj cu Y = 120 si j = p/2, respectiv Y = 120e^jp/2 = 120 ( cos p/2 +jsin p/2) = 120j. Daca y(t) = 100 sin (wt + p/4), atunci Y = e^jp/4 =( cosp/4 +jsinp/4 ) Û 50 ( 1+j ).

b) Fie numarul complex Y = 3+4j. Marimea sinusoidala corespunzatoare este y(t) = Ysin(wt + j) cu Y == 5 si j = arctg 4/3 = 58⁰ si deci y(t) = 5sin (wt +58⁰ )

4. Caracterizarea in complex a elementelor de circuit

4.1. Elementele dipolare

Se considera un element dipolar de circuit (EDC) avand tensiunea la borne u(t)=

Usin(wt+j_u) si curentul i(t)=Isin (wt+j_i) respectiv in complex U=Ue^jju si I = Ie^jji unde j = j_u - j_i este defazajul intre tensiune si curent.

Considerand u(t) si i(t) asociati dupa regula de la receptoare (ca si marimile complexe corespunzatoare U si I) se defineste impedanta complexa a EDC ca raportul dintre tensiunea U si curentul I: Z = = unde raportul Z = este impedanta EDC. Z si Z se masoara in W. Se noteaza Z= R + jX unde Re=R este rezistenta de curent alternativ si Im=X este reactanta si deci Z=R + jX =

Se defineste admitanta complexa Y a unui element de circuit ca raportul dintre curentul I si tensiunea U: unde Y este admitanta EDC, G=Re este conductanta EDC si B=Im este susceptanta EDC. Y si Y se masoara in Siemens (W^{- 1} ).

In continuare sunt prezentate elementele dipolare de circuit in c.a. si schemele lor echivalente in complex. Pentru surse u(t) si i(t) se considera asociate dupa regula de la generatoare. Pentru celelalte elemente de circuit u(t) si i(t) se considera asociate dupa regula de la receptoare.

Sursa ideala de tensiune are tensiunea electromotoare sinusoidala e(t) =E sin(wt + a). e(t)ÛE=Ee^ja_. In figura sunt desenate sursa si schema ei echivalenta in complex.

Sursa ideala de curent are curentul electromotor i_s(t) =I_s sin(wt + ) cu reprezentarea in

complex I_s= Ee^j si schema echivalenta din figura.

Rezistorul ideal Daca u(t) =U sinwt atunci i(t) = = sinwt, U=RI si deci Z_R =R si

rezistorul are schema echivalenta in complex din figura. In schemele echivalente in complex impedantele complexe se simbolizeaza ca niste rezistoare.

Defazajul intre tensiune si curent este j = j_u - j_i = 0 si reprezentarea fazoriala a lui U si I este:

Bobina ideala Daca i(t) = Isinwt atunci din ecuatia de functionare u(t) = L = ILwsin(wt+p/2)rezulta in complex U= jwLI si deci Z_L = jwL = jX_L ,unde X_L=wL este reactanta inductiva a bobinei.

Deoarece j= j_u - j_i= p / 2 reprezentarea fazoriala a lui U si I este

deci spunem ca bobina ideala defazeaza cu p / 2 tensiunea inaintea curentului (sau curentul in urma tensiunii).

Condensatorul ideal Daca u(t) = Usinwt atunci din ecuatia de functionare i(t) = C= UCwsin(wt+p/2)rezulta I= jwC U sau U = I si deci Z_C= -j = jX_C, unde X_C= - este reactanta capacitiva a condensatorului.

Deoarece j = j_u-j_i=-p/2 reprezentarea fazoriala a lui U si I este

deci condensatorul ideal defazeaza cu p / 2 tensiunea in urma curentului (sau curentul inaintea tensiunii).

Observatii

i) reprezentarea in complex a unei marimi sinusoidale (tensiune sau curent) are numai 2 parametri (Y, ,). Doi dintre cei trei parametric (Y, , ) ai marimii sinusoidale corespunzatoare. Parametrul intervine in expresiile impedantelor complexe

ii) Sistemul de ecuatii diferential algebric care caracterizeaza un circuit liniar dinamic in regim sinusoidal corespunde unui sistem de ecuatii algebrice in complex; aceasta proprietate constituie principalul avantaj al utilizarii reprezentarii in complex a marimilor sinusoidale deoarece manipularea (inclusive rezolvarea) unor ecuatii algebrice este considerabil mai simpla decat a unor ecuatii diferentiale.

4.2. Elementele multipolare

Un circuit de curent alternativ poate contine orice element liniar de circuit. Dintre elementele rezistive multipolare liniare reamintim sursele comandate liniar (prezentate in paragraful 2.1.2) si circuitul echivalent liniar pentru semnale mici al tranzistorului (prezentat in paragraful 2.5.3). Prin analogie cu rezistorul liniar, este evident ca o sursa comandata liniar are ca schema echivalenta in complex tot o sursa comandata liniar; de exemplu o SCCC cu ecuatia de functionare i_s(t)= i₁(t) are ca schema echivalenta in complex o SCCC cu ecuatia de functionare I_s= I₁. In consecinta circuitul echivalent liniar pentru semnale mici al tranzistorului are schema echivalenta in complex:

Dintre elementele dinamice multipolare liniare cel mai des utilizat este perechea de bobine cuplate magnetic. Ecuatiile de functionare a doua bobine liniare cuplate magnetic sunt:

u₁(t) = L₁ M , u₂(t) = L₂ M

In complex aceste ecuatii devin: U₁=jwL₁I₁jwMI_{2 ,} U_2=jwL₂I₂jwMI₁

_{Schema echivalenta in complex contine doua impedante inductive cuplate intre ele. La bornele unei astfel de impedante avem o cadere de tensiune proprie si o cadere de tensiune mutuala. De exemplu}

_{U1 este formata din caderea de tensiune proprie jwL1I1 si caderea de tensiune mutuala jwMI2; semnul caderii de tensiune mutuale este + daca curentii I1 si I2 ataca la fel bornele polarizate (ambii intra sau ambii ies din aceste borne) sau - daca curentii I1 si I2 ataca diferit bornele polarizate (unul intra si celalalt iese din borna polarizata) (vezi paragraful 2.4.). Deci de fiecare data cand se scriu ecuatiile circuitului trebuie determinate semnele caderilor de tensiune mutuala.}

Aceleasi ecuatii in complex corespund si urmatorului circuit echivalent cu surse de tensiune comandate in curent:

Intr-adevar calculand U₁ ca suma intre caderea de tensiune la bornele impedantei jwL₁ si tensiunea la bornele sursei comandate rezulta U₁=jwL₁I₁jwMI₂. O verificare similara se poate face si pentru U_2. In expresiile E₁ si E₂ se considera semnul + daca curentii I₁ si I₂ ataca la fel bornele polarizate si semnul - daca le ataca diferit. Se prefera utilizarea acestui circuit in locul schemei cu bornele polarizate. Aceasta deoarece semnele E₁ si E₂ se stabilesc atunci cand se construieste circuitul echivalent, aceasta operatiune fiind facuta separat de cele implicate de scrierea ecuatiilor. Se diminueaza astfel posibilitatea de a gresi, fata de utilizarea schemei cu borne polarizate in care semnele caderilor de tensiune mutuale se stabilesc in timpul scrierii ecuatiei.

Daca cele doua bobine cuplate au un nod comun exista un circuit echivalent mai simplu fara surse comandate. Ecuatiile de functionare ale celor doua bobine cuplate sunt: U₁=jwL₁I_{1 +} jwMI_{2 si} U_2=jwL₂I_{2 +} jwMI_{1. Daca in prima ecuatie se aduna si se scade jwMI1 si in a doua ecuatie se aduna si se scade jwMI2 se obtin ecuatiile:} U₁=(jwL_{1 -} jwM)I_{1 +} jwM (I_{1 +} I_2), U_{2= (j}wL_{2 -} jwM)I_{2 +} jwM(I_{1 +} I_{2) carora le corespunde schema echivalenta din figura b .}

_{Acest procedeu se numeste spargerea cuplajului. Daca bornele polarizate sunt atacate diferit de curenti atunci M se inlocuieste cu -M si circuitul echivalent fara cuplaje este:}

Daca sunt mai mult de doua bobine cuplate intre ele, circuitul echivalent in complex este asemanator. Iata un grup de trei bobine cuplate intre ele si circuitul echivalent in complex al

acestora. Se observa ca I₁ si I₃ intra in bornele polarizate in timp ce I₂ iese din borna polarizata. Ca urmare impedantelor de comanda Z₁₂ si Z₂₃ li se va atasa semnul - iar impedantei de comanda Z₃₁ i se va atasa semnul +.

4.4. Teoremele lui Kirchhoff in complex

Teorema I a lui Kirchhoff este : si datorita liniaritatii reprezentarii in complex se obtine: (suma algebrica a curentilor in complex corespunzator tuturor laturilor unei sectiuni S este nula).

Teorema a II-a a lui Kirchhoff este: si similar rezulta (suma algebrica a caderilor de tensiune complexe la bornele tuturor elementelor de circuit care apartin aceleiasi bucle este nula).

5. Puteri in circuitele de curent alternativ

Se considera un EDC cu tensiunea si curentul la borne: u(t) = Usinwt si i(t) = Isin(wt - j). Pentru generatoare (surse) de orice tip u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la generatoare; pentru celelalte elemente de circuit u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la receptoare. Se definesc urmatoarele puteri:

Puterea instantanee p(t), absorbita de receptor sau cedata de generator este:

p(t)= u(t) i(t) =2UI sinwt sin(wt - j) = UIcosj - UIcos(2wt - j)

Valoarea medie pe o perioada a puterii instantanei care se numeste putere activa P este:

Puterea activa depinde de valorile efective ale tensiunii si curentului si de factorul de putere si se consuma efectiv si ireversibil in rezistoare. Unitatea de masura a puterii active este Wattul, [P] = 1W.

Din definitia puterii active rezulta interpretarea fizica a valorii efective a curentului si a tensiunii. Daca se considera un rezistor cu rezistenta R prin care trece curentul i(t) = Isinwt rezulta u(t) = Ri(t) = RIsinwt si . Deci valoarea efectiva a unui curent sinusoidal este numeric egala cu valoarea unui curent continuu care, trecand prin aceeasi rezistenta ca si curentul sinusoidal produce aceeasi putere prin efect Joule.

Puterea reactiva Q, este Q = UI sinj avand unitatea de masura [Q]=1VAR (volt-amper reactiv).

Puterea aparenta S, este S = UI si are unitatea de masura [S] = 1VA. Evident .

Puterea aparenta complexa (puterea complexa) este S = U I^*=UIe^{j j} =Uicosj +jUIsinj=P+jQ.

Puterile absorbite sau debitate de elementele ideale de circuit sunt:

- rezistorul ideal absoarbe puterea activa P=RI² si, deoarece j=0, puterea reactiva absorbita este Q=UIsinj=0 deci puterea complexa absorbita este S_a =RI² +j0.

- bobina ideala parcursa de curentul i(t)=Isinwt are tensiunea la borne u(t)= wLIsin(wt + p/2) deci j=p/2 si rezulta Q=UIsinp/2=wLI²=U²/wL > 0, P = UI cosp/2 = 0, deci bobina absoarbe puterea complexa S_a=0+jwLI². Media pe o perioda a energiei acumulate in bobina este .

- condensatorul ideal cu tensiunea la borne u(t) = Usinwt este parcurs de curentul i(t)= wCUsin(wt + p/2), deci j = -p/2 si rezulta Q = UIsin(-p/2)= = - U²wC < 0, P = UI cos(-p/2) = 0, deci condensatorul absoarbe puterea complexa S_a=0-jwCU². Media pe o perioda a energiei acumulate in condensator este .

Deoarece elementele dinamice condensator si bobina schimba cu circuitul in care sunt conectate o putere reactiva nenula, ele se numesc si elemente reactive.

- sursa ideala de tensiune cu tensiunea electromotoare e(t)= Esinwt parcursa de curentul i(t)= I sin(wt+j) debiteaza o putere complexa S_d=E I^* = EIe^-jj = EIcosj-jEIsinj (U si I sunt asociate dupa regula de la generatoare sau I parcurge sursa in sensul sagetii lui E)

- sursa ideala de curent cu curentul electromotor i_s(t)= I_s sin(wt+j) cu tensiunea la borne u(t)= U sinwt debiteaza o putere complexa S_d = U I^* = UI_se^-jj = UI_scosj-jUI_ssinj (U si I_s sunt asociate dupa regula de la generatoare)

Observatii

i)puterea activa este absorbita numai de rezistoarele ideale

ii)puterea reactiva este absorbita numai de bobinele si condensatoarele ideale

iii)impedanta complexa Z=R+jX absoarbe puterea aparenta complexa S_a =U I^*= Z I I^*= ZI²=(R+jX) I² =RI² + jXI² deci P_a=RI² si Q_a =XI².

iv)sursele debiteaza atat putere activa cat si putere reactiva

6. Teorema conservarii puterilor complexe

Plecand de la teorema a II-a a lui Kirchhoff in complex (vezi paragraful 4.4) si de la faptul evident ca curentii conjugati I_k^* verifica teorema I alui Kirchhoff in complex

) teorema lui Tellegen in complex este:; in aceasta expresie U_k si I_k sunt asociate dupa regula de la receptoare. Separand intr-un membru puterile complexe debitate de surse (pentru care U_k si I_k sunt asociate dupa regula de la generatoare) si in celalat membru puterile complexe absorbite de consumatori (impedante complexe) rezulta:

Teorema conservarii puterilor complexe Suma puterilor complexe debitate de toate sursele dintr-un circuit este egala cu suma puterilor complexe absorbite de toate impedantele din acelasi circuit:

Tinand seama ca :S_d = P_d + jQ_d si S_a = P_a + jQ_a rezulta:

si

adica puterile active si puterile reactive se conserva.

Observatii:

i)puterile aparente S_k nu se conserva

ii)conservarea puterilor complexe poate fi folosita, similar cu consevarea puterilor in circuitele de c.c., la verificarea rezultatelor obtinute prin rezolvarea problemelor de analiza a circuitelor de c.a.

iii)tinand seama ca pentru o bobina Q_a=w si pentru un condensator Q_a=-w rezulta ca deci un dipol RLC are caracter inductiv daca >0, are caracter capacitiv daca <0 si are caracter rezistiv sau este la rezonanta (vezi paragraful 4.9) daca=0

iv)condensatorul nu genereaza putere reactiva chiar daca absoarbe o putere reactiva negativa; asa cum rezulta din teorema conservarii puterilor complexe, puterea reactiva (pozitiva sau negativa) este generata de surse

v)defazajul j intre curent si tensiunea la bornele unui dipol RLC format din elemente de circuit cu R,L,C>0 este cuprins intre -p/2 si +p/2 deoarece UIcosj= deci cosj>0.

7. Analiza circuitelor de curent alternativ

7.1. Introducere

Prin utilizarea reprezentarii in complex a marimilor sinusoidale, intr-un circuit de c.a. al carui graf are L laturi si N noduri se pot scrie urmatoarele ecuatii liniar independente intre ele:

      N-1 ecuatii date de teorema I a lui Kirchhoff (vezi paragraful 1.3)

      L-N+1 ecuatii date de teorema a II-a a lui Kirchhoff (vezi paragraful 1.3)

      L ecuatii date de legaturile intre U_k si I_k pentru fiecare latura a grafului (vezi paragrafele 2.2 si 4.3)

Ecuatiile unui circuit de c.a. sunt ecuatii algebrice de aceeasi forma cu ecuatiile unui circuit liniar de c.c. deoarece:

- teoremele lui Kirchhoff au aceeasi forma

- in ecuatiile de legatura intre U_k si I_k, Z_k ia locul lui R_k, Y_k ia locul lui G_k, etc.

La circuitele liniare de c.c. I_k si U_k sunt marimi reale iar ecuatiile sunt liniare in I_k si U_k avand coeficienti reali. La circuitele de c.a. I_k si U_k sunt marimi complexe iar ecuatiile sunt liniare in I_k si U_k avand coeficienti complecsi. Ca urmare metodele de analiza a circuitelor de c.a. sunt aceleasi cu cele pentru circuitele liniare de c.c.. Metodele de analiza vor fi reluate pe scurt in continuare insistandu-se asupra particularitatilor circuitelor de c.a..

7.2. Formularea problemei si metoda de rezolvare

Problema analizei unui circui de c. a. se formuleaza astfel:

      se cunosc: valorile parametrilor elementelor (R_k, L_k, C_k, M_k, e_k(t), i_sk(t)) si modul de interconectare a elementelor de circuit,

      se cere sa se determine toate tensiunile si toti curentii.

Rezolvarea acestei probleme consta in scrierea sistemului de 2L ecuatii ale circuitului si determinarea solutiei acestuia (U_k , I_k ,k=1,,L).

Algoritmul de analiza a unui circuit de c.a. are urmatoarele etape:

1) Se construieste circuitul echivalent cu surse si impedante complexe utilizand schemele echivalente in complex ale elementelor de circuit

2) Se scriu ecuatiile acestui circuit

3) Se rezolva sistemul de ecuatii si se determina valorile complexe ale curentilor si tensiunilor, (U_k, I_k, k = 1, , L) de forma U_k = U_ke^jjk

4) Se verifica rezultatele obtinute prin bilantul puterilor complexe

5) Se determina valorile instantanee de forma u_k(t) = U_ksin(wt +j_k).

Exemplu Fie circuitul din figura a cu e(t) = 30sin wt si i_s (t) = 2 sin (wt+p/4) unde w=100p s^-1. Circuitul echivalent cu surse si impedante complexe este dat in figura b.

Se scrie sistemul de ecuatii dat de teoremele lui Kirchhoff:

I₁ + I₂ = 1+j , 10 I₁ -20j I₂ = 30, 20j I₂ - 20j (1+j) - U = 0

Solutiile acestui sistem sunt: I₁ = 1 , I₂ = j si U = - 20j.

Verificarea rezultatelor prin bilantul puterilor complexe:

= E I₁^* + U I_s^* = 301 + (-20j) (1-j) = 10 -20j

= RI₁² + wLjI₂² -jI_s² = 101 + 20j1- 20j2 = 10 - 20j

Valorile instantanee sunt: i₁ (t) = sin wt, i₂ = sin( wt+p/2) si u(t) = 20sin( wt-p/2)

7. Scrierea ecuatiilor potentialelor nodurilor si curentilor ciclici

7.1. Metoda potentialelor nodurilor

Asa cum s-a aratat in paragraful 2.5.1 se prefera comanda in tensiune deoarece marimea de comanda poate fi scrisa ca o diferenta de potentiale. Ca urmare, circuitul echivalent cu surse de tensiune comandate in curent al bobinelor cuplate (vezi paragraful 4.3) nu este potrivit pentru scrierea ecuatiilor metodei nodale. Pentru aceste bobine se poate construi un circuit echivalent cu surse de curent comandate in tensiune. In acest scop se rezolva ecuatiile de functionare ale bobinelor cuplate: U₁=jwL₁I₁jwMI_{2 ,} U_2=jwL₂I₂jwMI_{1 in raport cu necunoscutele I1 si I2 .}

_{Exemplu. Fie bobinele cuplate cu ecuatiile de functionare}

_{Rezolvand acest sistem de ecuatii in raport cu I1 si I2 rezulta:}

_{adica ecuatiile urmatorului circuit echivalent:}

Aplicatie .Sa se scrie ecuatiile potentialelor nodurilor pentru circuitul:

Deoarece cuplajul nu se poate sparge construim circuitul echivalent cu surse de curent comandate in tensiune al celor doua bobine cuplate. Cu notatiile din figura ecuatiile de functionare ale acestor doua bobine sunt: deci circuitul echivalent este cel prezentat in exemplul precedent. Schema echivalenta in complex este:

Se observa ca avem un circuit rezonant RLC serie cu Z_e = j-j+3 =3 si doua surse ideale de tensiune care nu se pot transforma in surse de curent. Alegem ca potential de referinta o borna a uneia

dintre aceste surse iar pentru cealalta introducem necunoscuta suplimentara I₄ . Rezulta ecuatiile

adica un sistem de 9 ecuatii cu necunoscutele

Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor potentialelor nodurilor este:

      se fac toate transformarile posibile ale surselor de tensiune in surse de curent si ale comenzilor in curent in comenzi in tensiune

      se alege potentialul de referinta astfel incat cat mai multe potentiale ale nodurilor sa poata fi exprimate ca sume de tensiuni electromotoare

      considerand si necunoscutele suplimentare (curentii unor surse de tensiune conectate intre alte noduri decat cele de la punctul precedent si curenti de comanda) se scrie sistemul de ecuatii:

si ecuatiile suplimentare

7.2. Metoda curentilor ciclici

Aplicatie. Sa se scrie ecuatiile metodei curentilor ciclici pentru circuitul:

Schema echivalenta in complex se construieste considerand pentru bobine circuitul echivalent cu surse de tensiune comandate in curent (vezi paragraful 4.2).

Rezulta ecuatiile

deci 5 ecuatii cu necunoscutele

Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor curentilor ciclici este:

      se fac toate transformarile posibile ale surselor de curent in surse de tensiune si ale comenzilor in tensiune in comenzi in curent

      se aleg cele B=L-N + 1 bucle fundamentale astfel incat sursele de curent netransformate sa fie plasate in coarbore

      considerand ca aceste bucle sunt parcurse de niste curenti fictivi (curentii ciclici), se aleg sensurile acestora si se scrie sistemul de ecuatii:

si ecuatiile suplimentare

8. Teoreme ale circuitelor de curent aternativ

Ecuatiile circuitului echivalent cu surse si impedante complexe sunt similare ecuatiilor unui circuit liniar de curent continuu (vezi paragraful 4.7.1). Din acest motiv enunturile teoremelor sunt asemanatoare cu cele din paragraful 2.4 si demonstratiile nu vor fi reluate.

4.8.1. Teoremele impedantelor echivalente

Legarea in serie a impedantelor: . Deoarece Z_es = R_es + jX_es si Z_k = R_k + jX_k rezulta si

Legarea in paralel a impedantelor: , deci si

8.2. Teorema superpozitiei

Fie un circuit de c.a. cu mai multe surse: E₁, , E_l, I_s,l+1,,I_sm. Orice curent (sau tensiune) din circuit se poate scrie ca o suma a curentilor (tensiunilor) din aceeasi latura produsi de fiecare sursa independenta separat, celelalte surse independente fiind pasivizate.

De exemplu unde I_1k este curentul produs in latura 1 de sursa independenta din latura k, celelalte surse independente fiind pasivizate.

Teorema este o consecinta a caracterului liniar al ecuatiilor circuitului. Sursele comandate nu se pasivizeaza.

8. Teoremele generatoarelor echivalente

Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol Fie un dipol liniar cu bornele A si B.

Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de tensiune U_AB0 in serie cu o impedanta Z_AB0 unde U_AB0 este tensiunea de mers in gol masurata la bornele A si B (impedanta Z fiind scoasa din circuit) si Z_AB0 este impedanta echivalenta intre

bornele A si B a circuitului pasivizat (sursele comandate nu se pasivizeaza).

Daca circuitul pasivizat este o combinatie serie - paralel de impedante atunci determinarea lui Z_AB0 se poate face cu regulile din paragraful 4.8.1. Daca circuitul contine surse comandate sau nu este un circuit serie - paralel, atunci se conecteaza intre A si B o sursa independenta de tensiune de valoare 1V ( sau o sursa independenta de curent de valoare 1A) si Z_AB0 rezulta in urma determinarii lui I sau U.

Aplicatie. Sa se calculeze

Bobinele cuplate avand un nod comun se poate sparge cuplajul. Prin pasivizare si calculand impedantele echivalente circuitul capata o forma mai simpla. Se conec- teaza intre A si B o sursa de tensiune cu si rezulta

Generatorul echivalent de curent al unui dipol Fie un dipol liniar cu bornele A si B

Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de curent I_ABsc in paralel cu o impedanta Z_AB0 unde curentul I_ABsc corespunde scurtcircuitului intre bornele A si B.

Daca in schemele echivalente ale diportilor rezistivi liniari (vezi paragraful 2.4.) se inlocuiesc rezistentele cu impedante si conductantele cu admitante se obtin schemele echivalente ale diportilor de c.a

8.4. Teorema transferului maxim de putere activa

Se considera o sursa de tensiune electromotoare E si de impedanta interna Z_i, la bornele careia se leaga o impedanta Z. Se pune problema urmatoare: ce relatie trebuie sa existe intre Z_i si Z astfel incat pentru un E dat puterea activa absorbita de Z sa fie maxima.

Fie Z_i = R_i + jX_i si Z = R + jX . Curentul din circuit este si deci puterea activa absorbita de Z este

Se observa ca functia P(R,X) are un maxim in raport cu X pentru X= -X_i . Valoarea acestui maxim este . Maximul functiei are loc pentru R=R_i (vezi teorema transferului de putere in curent continuu). Rezulta ca puterea activa absorbita de sarcina este maxima daca Z = Z_i* (teorema transferului maxim de putere activa).

Daca Z = Z_i^* puterea activa P_d cedata de sursa este consumata in cantitati egale de R si R_i deci randamentul circuitului este h=P/ P_d=0,5.

Observatii

i) daca R¥ si/sau X¥ atunci h1 dar P0

ii) daca in loc de sursa de tensiune avem o sursa de curent cu parametrii I_s si Z_i, impedanta de sarcina Z absoarbe puterea activa maxima tot daca Z = Z_i*

iii) daca generatorul de curent alternativ are o impedanta interna inductiva, rezulta ca pentru a absorbi o putere activa maxima sarcina trebuie sa aiba un caracter capacitiv.

9. Rezonanta dipolilor

9.1. Definitii si exemple

Exista doua definitii ale rezonantei: prima se foloseste in electroenergetica, a doua se utilizeaza la circuitele electronice.

Definitia 1 Un dipol de c.a. este la rezonanta daca absoarbe pe la borne o putere reactiva nula,

adica Q_abs=UI sinj = 0.

Deci la rezonanta defazajul j dintre U si I este nul (sinj = 0 Þ j = 0). Daca impedanta echivalenta la bornele dipolului este Z=R+jX, Q=XI² =0 ÞX = 0 deci la rezonanta reactanta echivalenta este nula si dipolul are o comportare rezistiva la borne.

Definitia 2 a) Se considera la bornele dipolului o sursa de tensiune cu pulsatie variabila si valoare efectiva constanta. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care I(w) are maxime si minime.

Exemplu

- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile w₁ , w₂ , w₃ , w₄, w₅

- in cazul maximelor de curent (w₁ , w₃ , w₅ ) avem rezonanta de tensiune,

- in cazul minimelor de curent (w₂ , w₄) avem rezonanta de curent.

Se observa ca deoarece I = Y U si U = ct, curba Y (w) are aceeasi alura cu I (w).

b) Se considera la bornele dipolului o sursa de curent cu pulsatie variabila si valoare efectiva constanta. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care U(w) are maxime si minime.

Exemplu

- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile w'₁ , w'₂ , w'₃ , w'₄, w'₅

- in cazul minimelor de tensiune (w'₁ , w'₃ , w'₅) avem rezonanta de tensiune,

- in cazul maximelor de tensiune (w'₂ , w'₄) avem rezonanta de curent.

Deoarece U = Z I si I = ct, curba Z(w) are aceeasi alura cu U(w).

Observatii

i) cele doua definitii ale rezonantei nu duc in general la aceleasi pulsatii de rezonanta

ii) rezonanta de tensiune are loc la pulsatiile pentru care Y(w) are maxime locale si deci Z(w)=1/ Y(w) are minime locale

iii) rezonanta de curent are loc la pulsatiile pentru care Y(w) are minime locale si deci Z(w)=1/ Y(w) are maxime locale.

Exemple. a)

Se calculeaza puterea aparenta complexa S = UI* si se anuleaza puterea reactiva obtinandu-se pulsatiile de rezonanta dupa definitia 1: ; se observa ca daca R0

atunci w². Se calculeaza minimele si maximele lui I(w) respectiv ale lui Z(w)

si are solutiile

(daca R0 atunci w²). Pulsatiile de rezonanta obtinute dupa cele doua definitii nu sunt aceleasi.

b) Impedanta complexa a circuitului RLC serie este . Rezulta

. Dupa prima definitie, pulsatia de rezonanta corespunde lui X=0 deci . Dupa a doua definitie, se calculeaza si se obtine aceeasi valoare pentru w_{0 .} Daca U=ct in raport cu w, la rezonanta I ia valoarea maxima deoarece Z ia valoarea minima Z(w₀)=R.. Pentru acest circuit U_c(w₀)=|X_c|I= U_L(w₀)=|X_L|I si U_c(w₀)= -U_L(w₀) deci U(w₀)=U_R(w₀) +U_C(w₀) + U_L(w₀)=U_R(w₀). Este posibil ca la rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta U_C si U_L sa aiba valori mai mari decat tensiunea U a sursei de alimentare. Se noteaza cu factorul de calitate al circuitului unde U_L, U_C, U_R se considera la rezonanta. Daca Q₀ >1 (), la rezonanta, tensiunea bobinei si cea a condensatorului depasesc tensiunea sursei de alimentare.

c) Circuitul RLC paralel are propietati selective in frecventa duale celui RLC serie.

Utilizand ambele definitii se obtine aceeasi pulsatie de rezonanta a acesui circuit . La rezonanta deci Y are valoarea minima. Daca U=ct in raport cu w, la rezonanta I ia valoarea minima deoarece I=YU. Pentru acest circuit I_c(w₀)=U/|X_c|= I_L(w₀)=U/|X_L| si I_c(w₀)= -I_L(w₀) deci I(w₀)=I_R(w₀) +I_C(w₀) + I_L(w₀)=I_R(w₀). Este posibil ca la rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta I_C si I_L sa aiba valori mai mari decat curentul I prin sursa de alimentare. Se noteaza cu Q₀ factorul de calitate unde I_L, I_C, I_R se considera la rezonanta. Daca Q₀ >1 (),curentul bobinei si al condensatorului depasesc curentul total.

9.2. Aplicatii tehnice ale rezonantei

a)Compensarea factorului de putere Presupunem ca avem o linie de transport al energiei electrice la capatul careia este conectat consumatorul inductiv (asa cum sunt majoritatea consumatorilor energetici) din figura a..

Curentul absorbit de consumator este : deci si cosj =.

Se conecteaza un condensator in paralel cu consumatorul astfel incat (circuitul b). In acest caz avem un circuit RLC derivatie la rezonanta a carui impedanta de intrare este Z=R si curentul absorbit de receptor este . Puterea reactiva absorbita de consumatorul inductiv in paralel cu condensatorul C este nula, si pierderile de putere activa pe linia de transport (de rezistenta r ) vor fi minime : DP'_linie = rI'² < DP_linie= rI². In acest caz factorul de putere cosj'=1 si avem o compensare totala a factorului de putere.

Consumatorii industriali nu au tot timpul aceiasi parametri (se opresc anumite utilaje, in anumite zile nu se lucreaza, etc). Pentru a nu se ajunge la functionarea in regim capacitiv (care produce efecte nedorite in sistem) mentinand pierderile de putere pe linie la un nivel rezonabil se face o compensare partiala a factorului de putere (de exemplu cosj'=0,92). In acest caz calculul capacitatii condensatorului care se leaga in paralel cu consumatorul inductiv se face astfel: diferenta intre puterea reactiva absorbita de consumatorul necompensat Q=UIsinj si cea absorbita de consumatorul compensat partial Q'=UIsinj' este absorbita de condensator (Q_C=wCU²). Exprimand puterile reactive in functie de puterea activa P absorbita de consumator (Q=Ptgj, Q'=Ptgj') rezulta . In acest calcul se considera ca U nu se modifica prin

conectarea condensatorului.

b) Montaje Boucherot

Se considera cele doua circuite din figura de mai jos. Daca parametrii bobinei si condensatorului indeplinesc conditia de rezonanta (w² LC = 1) atunci curentul prin impedanta Z are valoarea U/wL pentru primul circuit si UwC pentru al doilea circuit, deci este independent de valoarea lui Z .

Aceasta proprietate se poate verifica foarte usor.

c)Circuite de rezistenta constanta

Impedanta de intrare intr-un astfel de circuit nu depinde de frecventa, desi circuitul contine si elemente reactive. Cele doua circuite din figura de mai jos au Z=R atunci cand parametrii

indeplinesc conditia: R² = L/C. Verificarea acestei propietati este un exercitiu simplu.