CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU

CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU

Studiul circuitelor electrice de curent continuu se face in cadrul electrocineticii. Electrocinetica este acea parte din electromagnetism care studiaza starile electrice ale conductoarelor parcurse de curent electric de conductie.

Campul electromagnetic este o forma aparte de existenta a materiei, diferita de substanta corpurilor, care se caracterizeaza prin faptul ca exercita asupra corpurilor, actiuni pondero-motoare (forte si momente) de natura electromagnetica.

In acest capitol se vor studia fenomenele electrice stationare, caracterizate prin marimi invariabile in timp.

Campuri electrice imprimate

Experimental s-a constatat ca la un sistem de corpuri metalice, electroliti sau gaze ionizate, legate intre ele prin medii conductoare si conectate la o sursa de energie electrica, apare prin mediile conductoare o circulatie a purtatorilor de sarcini electrice (electroni liberi in metale, ioni in electroliti si gaze), numita curent electric.

Deplasarea purtatorilor de sarcini electrice este intotdeauna insotita de dezvoltarea unei energii in mediile prin care circula. Spre deosebire de regimul electrostatic al campului electromagnetic, energia dezvoltata se poate transforma in alte forme de energie. Prezenta curentului electric este insotita de caldura, energie mecanica, chimica, magnetica.

In regim electrocinetic conductoarele nu sunt in echilibru electric, intrucat in interiorul conductorului campul electric este diferit de zero. Starea electrocinetica a campului electromagnetic poate fi mentinuta numai daca se cheltuieste o anumita cantitate de energie, de alta natura decat electrica. Campul electric obtinut prin consumul unei energii de alta natura decat cea electrica (camp care imprima purtatorilor de sarcina electrica o miscare ordonata), se numeste camp electric imprimat.

Campul electric imprimat are doua aspecte :

- Camp electric imprimat propriu-zis care genereaza curent electric constant in timp .

- Camp electric solenoidal care genereaza curent electric variabil in timp .

Campul electric imprimat se defineste prin relatia:

= (

unde: - forta imprimata purtatorului de sarcina q.

Spre deosebire de campul electrostatic, circulatia campului electric imprimat pe o curba Γ inchisa aste diferita de zero. Aceasta circulatie se numeste tensiunea electromotoare a sursei de energie electrica:

unde: e - este tensiunea electromotoare (t.e.m).

Campurile imprimate se pot obtine prin diverse procedee :

a.) Reactii electrochimice intre metale si solutii, principiu ce sta la baza construirii pilele electrochimice si acumulatorii.

Aceste campuri imprimate se mai numesc si campuri galvanice.

b.) Prin incalzirea contactului dintre doua metale diferite (termocuplul). Pe acest principiu se obtin campuri imprimate termo-electrice.

c.) Prin iradierea unei jonctiuni semiconductor-metal. Pe acest principiu se obtin campuri imprimate fotoelectrice.

Curentul electric

Curentul electric reprezinta deplasarea ordonata a purtatorilor de sarcini electrice printr-un mediu adus in stare de conductie. Dupa natura mediului prin care circula purtatorii de sarcina, curentul electric poate fi: de conductie, de deplasare, de convectie si curentul Rntgen teoretic.

a.) Curentul de conductie. Mediile, cum ar fi metalele si carbunii, care contin sarcini libere in stare naturala si care nu sunt insotite de transformari chimice cand sunt parcurse de curenti electrici, se numesc conductoare de speta I-a. Circulatia curentului prin metale este insotita intotdeauna de degajare de caldura. Trecerea curentului prin electroliti pe langa degajarea de caldura, este insotita si de fenomene chimice. Asemenea medii se numesc conductoare de speta a-II-a.

Circulatia purtatorilor de sarcina prin medii conductoare formeaza curentul de conductie.

b.) Curentul de deplasare apare prin materialele dielectrice cand acestea sunt plasate in campuri electrice.

c) Curentul convectie si curentul Rntgen teoretic apare numai in conductoare parcurse de curenti de conductie si aflate in miscare.

Deoarece importanta in practica a curentilor de deplasare, convectie si curentul Rntgen teoretic este redusa , in cele ce urmeaza se va face referire numai la curentul electric de conductie.

Observatie: intotdeauna starea electrocinetica este insotita de camp magnetic.

Electronii liberi dintr-un conductor metalic sau ionii unui electrolit sunt in permanenta, intr-o miscare continua dezordonata. Cantitatea de electricitate care strabate orice sectiune transversala a conductorului, in conditii normale, este in medie, egala cu zero. Daca insa asupra acestor electroni liberi actioneaza forte intr-un anumit sens (de exemplu fortele unui camp electric), la viteza lor se adauga componenta vitezei orientata in sensul fortei de actiune. In acest caz in orice sectiune transversala a conductorului trece o cantitate determinata de electricitate, adica, in conductor ia nastere un curent electric, numit curent de conductie.

Intensitatea curentului. Pentru cacterizarea deplasarii dirijate a particulelor de sarcina electrica se utilizeaza notiunea de intensitatea a curentului. Ea este egala cu cantitatea de electricitate care trece printr-o sectiune de transversala a conductorului in timp de o secunda.

Daca intr-un interval de timp oarecare intensitatea curentului nu isi schimba valoarea si nici sensul, curentul se numeste continuu. In acest caz se poate scrie relatia:

I= (1.3)

unde q reprezinta cantitatea de electricitate care trece prin sectiunea transversala a conductorului in timpul t. Daca consideram un element de suprafata ds prin care trece cantitatea de electricitate dq in    timpul dt, atunci: i= (1.4)

Curentul electric este o marime scalara.

Densitate de curent. Fie o suprafata S oarecare, a unui mediu conductor prin care circula un curentul electric si un element de suprafata ds, al acesteia. Se poate presupune ca directia curentului, adica directia miscarii sarcinilor electrice este aceeasi in toate punctele elementului. Raportul dintre curentul elementar di, ce trece prin elementul de suprafata ds (perpendicular pe directia curentului) si aria acestui element se numeste densitate de curent J si se exprima cu relatia:

(1.5)

Densitatea de curent este o marime vectoriala a carei directie coincide cu directia de miscare a sarcinilor electrice pozitive in punctul respectiv.

Daca vectorul si normala pozitiva la suprafata formeaza unghiul , atunci:

sau

Integrand, vom obtine valoarea curentului ce trece prin intreaga suprafata S, adica:

(1.6 Daca densitatea de curent are aceeasi valoare in toate punctele suprafetei si formeaza cu normala la suprafata pretutindeni acelasi unghi, se poate scrie:

Daca unghiul , adica directia curentului este perpendiculara pe suprafata, vom avea:

(1.7)

Relatia (1.7) este valabila pentru un curent constant in timp si in cazul conductoarelor liniare, care au dimensiunile transversale mici in raport cu lungimea lor.

In sistemul international, unitatea de masura pentru intensitatea curentului electric este amperul, iar pentru densitatea de curent amperul/mp (A/m²).

1.3. Legea conductiei electrice (Legea lui Ohm )

1.3.1. Legea lui Ohm in forma locala

Considerand o portiune de circuit electric strabatuta de un curent electric, se poate demonstra ca densitatea de curent prin conductor este direct proportionala cu intensitatea campului electric rezultant + adica :

(1.8)

in care: γ -conductibilitatea electrica a materialului.

- intensitatea campului electric

- intensitatea campului electric imprimat.

Relatia (1.8) exprima legea lui Ohm in forma locala.

Conductibilitate depinde de natura, structura si temperatura materialului conductor. Unitatea de masura pentru conductibilitate este (Ωm)^-1.

1.3.2. Legea lui Ohm in forma integrala

Aceasta lege se refera la conductori in forma de fir (filiformi), conductori la care dimensiunile sectiunii sunt mult mai mici ca lungimea. Pentru conductoare avem =0.

Considerand ca directia campului coincide cu directia deplasarii sarcinilor electrice, pentru un mediu izotrop, putem scrie:

Insa: si deci

Curentul elementar dI, care trece prin sectiunea transversala ds, poate fi considerat constant, deci se poate scoate de sub semnul de integrare intrucat conform principiului continuitatii curentului, acest factor este identic in orice sectiune transversala de-a lungul drumului de integrare, de lungime l si deci:

(1.9)

Diferenta de potential U intre capetele conductorului considerat este aceeasi pentru toti curentii elementari dI si deci, calculand curentul I in tot conductorul prin insumarea curentilor dI in diferite elemente de suprafata ds, ajungem la concluzia ca intensitatea curentului este proportionala cu tensiunea U, adica:

U = R I (1.10)

Unde R, se numeste rezistenta electrica a portiunii de conductor considerata si se calculeaza cu relatia (1.11).

R= (1.11)

Rezistenta electrica se masoara in Ohmi (). Marimea inversa rezistentei se numeste conductanta electrica si se noteaza cu G: G=1/R. Unitatea de masura pentru conductanta este Ω ^-1 (siemens).

Relatia (1.10), exprima legea lui Ohm cu aplicare la o portiune de conductor. Daca consideram cazul cel mai simplu, al unui conductor liniar de sectiune constanta ds, pe toata lungimea l, se poate scrie relatia sub forma:

Daca conductorul este omogen si γ este constant atunci avem:

sau deci:

Prin urmare, expresia rezistentei electrice are forma:

(1.12)

unde reprezinta rezistenta specifica sau rezistivitate si reprezinta rezistenta unui conductor cu lungimea de 1m .Unitatea de masura pentru rezistivitate este .

In cazul conductoarelor masive, de exemplu in cazul solului se utilizeaza unitatea Ωcm sau, in cazul izolantilor Ωm.

Sa examinam acum un circuit electric inchis, care contine o sursa de t.e.m. "e". Sub actiunea t.e.m in circuit apare curentul I. Campul elctric total in acest caz este: E=E_s+E_i , unde E_s este campul de natura electrostatica si E_i este campul electric imprimat.

Scriind integrala de linie a intensitatii campului de la borna negativa B, de-a lungul drumului n in interiorul sursei (fig.1.2), spre borna pozitiva A, obtinem:   

(1.13)

Ultima integrala reprezinta t.e.m. a sursei. Integrala nu depinde de alegerea drumului de integrare si prin urmare:

Egalitatea (1.13) se poate scrie deci sub forma: sau .

Prima integrala reprezinta diferenta de potential la bornele sursei, respectiv tensiunea la borne, care este egala, conform legii lui Ohm cu produsul intre intensitatea curentului si rezistenta circuitului exterior. A doua integrala reprezinta caderea de tensiune pe circuitul electric interior al sursei, pe care il notam cu u_o. Deci:

e = U + u_o = RI + u_o (1.14)

Caderea de tensiune u_o este datorata rezistentei interioare r a sursei si se poate scrie, conform legii lui Ohm aplicata unei portiuni de circuit:

Relatia (1.14) se mai poate scrie si sub forma:

sau (1.15)

Relatiile (1.15) reprezinta legea lui Ohm in forma integrala sau legea lui Ohm aplicata unui circuit intreg. In cazul cand in circuitul inchis actioneaza mai multe surse de t.e.m. diferite, prin "e" trebuie sa se inteleaga suma algebrica a t.e.m. ale tuturor surselor. Legea lui Ohm este o lege ce depinde de propietatile materialului si poarta denumirea de lege de material.

Dipol electric.

O portiune de circuit cu 2 borne, intre care se afla o tensiune electrica, se numeste dipol electric. Daca dipolul contine surse este activ, iar daca nu contine este pasiv. Relatia 1.8 integrata pe conturul inchis j-r_jk-e_jk-k- _Ujk-j ale unui dipol (fig.1.3) ne da :

V_j -V_k + e_jk = r_jkI_jk (1.16)

Relatia (1.16) mai poate fi scrisa si sub formele:

U_jk + e_jk = r_jkI_jk sau I_jk = g_jk (U_jk + e_jk) (1.17)

Relatiile (1.17) reprezinta o forme generale ale legii lui Ohm pentru un dipol activ fig. 1.3 (a), daca I_jk, U_jk si e_jk au acelasi sens.

Pentru dipolul pasiv fig.1.3 (b), avem relatia:

U_jk = r_jkI_jk (1.18)

Daca una din marimile acestea are sens opus, se va lua in relatie cu semnul minus. Astfel pentru fig.1.4 a si b, avem relatiile:

I_jk = g_jk (-U_jk + e_jk) (1.19)

r_jkI_jk =- U_jk (1.20)

1.4. Legea transformarii energiei in conductoare (Legea Joulle - Lenz)

Sa consideram un conductor prin care trece un curent electric de intensitate i si fie dq, cantitatea de electricitate ce transverseaza sectiunea in intervalul de timp dt. Lucrul mecanic efectuat de fortele campului electric intr-o portiune oarecare a conductorului, pentru mentinerea curentului in circuit, la capetele caruia exista o diferenta de potential U, va fi:

(1.21)

Acest lucru mecanic consumat se transforma in caldura si conductorul se va incalzi. Puterea necesara pentru mentinerea curentului in conductor este:

(1.22)

Inlocuind tensiunea U, din relatia lui Ohm se obtine relatia:

(1.23)

Puterea se masoara in watti ().

Cantitatea de energie electrica care se va transforma in caldura va fi:

(1.24)

Aceasta relatie a fost determinata experimental in anul 1844 de savantul rus Lenz si de savantul englez Joule, fapt pentru care poarta denumirea de legea Joule - Lenz.

Fenomenul de transformare a energiei electrice in caldura pe baza efectului termic al curentului electric, este utilizat atat in industrie cat si in functionarea aparatele de uz casnic. Exista si unele situatii cand acest fenomen este si daunator. In industrie se construiesc cuptoare electrice, ciocane de lipit electrice, instrumente de masura termice si alte aparate ce au baza acest fenomen. Printre aparatele de uz casnic, a caror functionare se bazeaza pe efectul termic, distingem: sobe electrice, aragaze electrice, ceainice electrice, perne electrice, fierul electric de calcat, radiatoare electrice etc.

Efectul daunator al transformarii energiei electrice in caldura este intalnit, indeosebi, la transformatoare si masinile electrice. Incalzirea conductoarelor electrice si a miezurilor feromagnetice conduc la reducerea randamentul si deteriorarea izolatiei. Evitarea acestor efecte se poate face folosind relee termice si alte dispozitive electrice si electronice ce intrerup alimentarea cu energie electrica a circuitelor, atunci cand, curentul depaseste valoarea maxima admisa.

1.5. Teoremele lui Kirchhoff

1.5.1. Retea electrica

Un ansamblu format din surse si receptori legati prin conductori, formeaza o retea electrica. Daca sursele au tensiunile electromotoare constante in timp, reteaua se va afla in regim stationar. O retea electrica poate fi caracterizata atat din punct de vedere topologic cat si electric.

Din punct de vedere topologic o retea se caracterizeaza prin:

Laturi portiuni din retea, compuse in general din receptori si surse, cuprinse intre doua noduri pe aceeasi cale de curent.

Noduri - puncte de ramificatie electrica, unde se intalnesc cel putin trei laturi sau cai de curent.

Ochiuri- contururi inchise in care o latura a retelei intra o singura data.

Din punct de vedere electric reteaua se caracterizeaza prin:

- Curentii din laturi

- T.e.m ale surselor

- Rezistentele laturilor in care se includ de obicei si rezistentele interioare ale surselor.

1.5.2. Teorema I-a a lui Kirchhoff

Aceasta teorema se refera la nodurile retelei. Teorema I-a a lui Kirchhoff se enunta astfel: suma algebrica a curentilor ce converg (intra sau ies) intr-un nod este egala cu zero, adica:

(1.25)

unde: i₁, i₂, i₃, ..., i_n sunt curentii care converg intr-un nod. Pentru nodul din fig.1.5 se poate scrie:

Pentru demonstrarea acestei legi, se considera nodul din fig. 1.5 situat in interiorul suprafetei inchisa S. Prin aplicarea principiului continuitatii scurgerii sarcinilor electrice, suma sarcinilor care intra in interiorul suprafetei S este egala cu suma sarcinilor care ies din suprafata respectiva:

q₁+q₂=q₃+q₄    (1.26)

Impartind relatia prin t se obtine:

i₁+i₂=i₃+i₄ (1.27)

Adica suma curentilor care intra in nod este egala cu suma curentilor care ies din acel nod. Daca aceasta teorema se aplica retelei din fig.1.6, intre curentii I₁, I₂, I₃ si I₄ se poate scrie relatia (rezistoarele R₁,R₂,R₃ si R₄ sunt considerate in interiorul suprafetei inchise S): I₁+I₃+I₄=I₂

1.5.3. Teorema a II-a a lui Kirchhoff

Aceasta teorema se aplica circuitelor inchise (ochiurilor de retea). Ea se enunta astfel: intr-un circuit inchis, suma algebrica a caderilor de tensiune pe rezistoarele laturilor este egala cu suma algebrica a t.e.m.. Caderile de tensiune se iau cu semnul plus daca sensul curentului prin rezistor coincide cu sensul de parcurgere a circuitului si cu minus in caz contrar. Se atribuie semnul plus t.e.m., cand sensul de parcurgere a circuitului strabate sursa (prin interior) de la borna negativa spre borna pozitiva si semnul minus in caz contrar. Pentru exemplificare se considera circuitul simplu din fig.1.7, ce apartine unei retele electrice oarecare. In acest circuit actioneaza mai multe surse de t.e.m. Aplicand integrala de linie a vectorului intensitatii campului electric de-a lungul intregului circuit inchis abcdfa, avem :

Intrucat

, rezulta:

Partea stanga a egalitatii reprezinta suma caderilor de tensiune in toate portiunile circuitului inchis considerat:   

unde n reprezinta numarul de portiuni neramificate (laturi) ale circuitului considerat.

Partea dreapta a egalitatii reprezinta suma algebrica a t.e.m. ale tuturor surselor care actioneaza in acest circuit, adica:

Astfel avem: (1.28)

In cazul circuitului reprezentat in fig. 1.7, teorema a II-a a lui Kirchhoff se scrie astfel:

1.6. Gruparea rezistoarelor. Rezistente echivalente.

Rezistoarele se pot grupa in serie, paralel si mixt.

a.) Gruparea in serie Se spune ca elementele unui circuit electric sunt legate in serie, daca toate aceste elemente sunt strabatute de acelasi curent. Fie circuitul din fig.1.8, format din trei rezistoare legate in serie. Aceste rezistoare pot fi asezate ca in fig. 1.8a, 1.8b sau 1.8c. Rezistenta echivalenta a gruparii este egala cu suma rezistentelor tuturor rezistoarelor din care este compusa gruparea, adica:

In cazul general, cand avem n rezistoare legate in serie, relatia se scrie sub forma:

(1.29)

Daca, r₁ = r₂ = r₃ =...= r_n = r rezulta R = nr

b.) Gruparea in paralel. Un grup de rezistente sunt conectate in paralel daca tensiunea aplicata la bornele fiecarui rezistor este aceeasi cu tensiunea aplicata intregii grupari(fig.1.9). Rezistoarele pot fi asezate ca in fig. 1.9 a, b, sau c. Rezistenta echivalenta a gruparii este data de relatia: .

Relatia, sub forma generala, se scrie astfel:

sau (1.30)

adica conductanta echivalenta, la o grupare in paralel este egala cu suma conductantelor partiale.

Gruparea mixta se caracterizeaza prin aceea ca are rezistoare legate si in serie si in paralel.

In fig.1.10 este reprezentata o grupare mixta, in care: r₁ si r₂ sunt in serie; rezistenta echivalenta r₁₂ este in paralel cu r₃ si r₁₂₃ este in serie cu r₄. Rezistenta echivalenta dintre r₁₂₃ si r₄ este in paralel cu r₅. Rezistenta echivalenta a intregii grupari, va fi :

In fig. 1.11 este data o grupare mixta compusa din 11 rezistoare. Rezistenta echivalenta intre bornele A si B se deduce astfel: rezistoarele 6, 7 si 8 sunt legate in serie; rezistenta lor echivalenta este legata in paralel cu R₂; rezistoarele 9, 10 si 11 sunt legate in serie si rezistenta lor echivalenta in paralel cu R₄. Se reduce astfel gruparea la o legare in serie. Intre bornele C si D, rezistenta echivalenta este formata din rezistoarele 7 si 8 legate in serie, 6 si 2 legate tot in serie (R₁ nu intervine ), 4, 10, 11 legate tot in serie (R₅ nu intervine ). R₇₈ este in paralel cu R₂₆ si R₉ in paralel cu R_4,10,11 si deci gruparea se reduce la o legare in serie.

1.7. Divizorul de curent si divizorul de tensiune

In fig.1.12 este reprezintat un divizor de curent de ordinul doi, adica curentul total I se divide (se ramifica ) in doi curenti, I₁ si I₂. Acesti curenti se pot exprima numai in functie de I, R₁ si R₂. Folosind legea lui Ohm se obtin relatiile:

I₁ = I si I₂ = I (1.31)

Rezistorul de rezistenta variabila (reostat cu cursor) reprezentat in fig.1.13 se comporta ca un divizor de tensiune, daca se aplica la bornele lui tensiunea U, iar intre cursor si o borna a rezistorului se foloseste o tensiune u, data de relatia:

(1.32)

Raportul r/R fiind subunitar tensiunea u va fi intotdeauna mai mica decat tensiunea U.

1.8. Rezolvarea circuitelor complexe de curent continuu

La rezolvarea unui circuit electric, deobicei, se cunosc valorile tensiunilor electromotoare si ale rezistentelor din circuit si se cer curentii prin laturile circuitului. Circuitele electrice care contin numai grupari de rezistoare serie si paralel si nu contin mai multe surse pe laturi diferite se considera circuite simple, restul de circuite se numesc circuite complexe.

1.8.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Fie circuitul din fig.1.14 si sa folosim pentru rezolvare teoremele lui Kirchhoff. Circuitul are trei noduri (n=3) si 5 laturi (l=5).Aplicand teorema I-a a lui Kirchhoff in noduri vom avea:

(1) i₅ = i₁ +i₆

i₄ + i₆ = i₂

i₁ + i₂ = i₄ + i₅

Se observa ca daca adunam primele doua relatii, obtinem relatia a treia si deci,numai doua relatii sunt independente.

Pentru o retea complexa cu n noduri, numai n-1 relatii ale teoremei I-a a lui Kirchhoff sunt independente si deci utile.

Teorema a II-a a lui Kirchhoff se aplica la circuite inchise (ochiuri). Dintre toate numai
o=l-(n-1) sunt circuite independente (ochiuri independente), care in cazul nostru sunt in numar de 3 (o=3). Daca se noteaza cu l numarul de laturi ale circuitului complex (care este egal si cu numarul necunoscutelor), cu o numarul de ochiuri independente si cu n numarul de noduri, atunci teorema a II-a a lui Kirchhoff se aplica pe o=l-(n-1) circuite inchise. In cazul din fig.1.14, o=5-3+1=3. Aplicand teorema a II-a a lui Kirchhoff pentru cele trei ochiuri, vom avea:

r₁i₁ + r₅i₅ = e₁

r₅i₅+r₆i₆-r₄i₄=0

r₃i₃+r₄i₄+r₂i₂=(r₂+r₃)i₂+r₄i₄ =e₂

Teorema a doua a lui Kirchhoff se poate aplica oricarui circuit inchis. Rezolvand sistemul format din primele doua ecuatii, obtinute prin aplicarea teoremei I-a a lui Kirchhoff si cele trei ecuatii rezultate prin aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff, obtinem curentii necunoscuti i₁,i₂,.,i₅ . Numarul necunoscutelor unui circuit complex trebuie sa fie intotdeauna egal cu numarul laturilor.

1.8.2. Metoda transfiguratiei

Se aplica circuitelor complexe ce contin grupari stea si triunghi. Metoda consta in a inlocui grupari de rezistoare conectate in triunghi, cu altele echivalente conectate in stea, sau invers. Metoda se aplica numai in cazul in care transfigurarea conduce la o rezolvare mai simpla a retelei si nu altereaza rezultatele (curentii din circuit raman neschimbati). Fie r₁₂,r₂₃ si r₃₁ rezistentele rezistoarelor legate in triunghi, pe care vrem sa le inlocuim cu rezistentele echivalente r₁,r₂, si r₃ a rezistoarelor legate in stea (fig.1.15) sau invers. De exemplu, in circuitul din fig.1.14, prin inlocuirea triunghiului 1-2-3 cu o stea echivalenta, sistemul de ecuatii obtinut cu teoremele lui Kirchhoff are trei ecuatii cu trei necunoscute.

Pentru a nu se modifica curentii din circuit este necesar ca rezistentele intre doua puncte din retea, cand se intrerupe legatura spre al treilea nod, sa fie aceleasi in cele doua scheme. Adica, daca se aplica o tensiune intre nodurile 1-2 la conexiunea in triunghi si aceeasi tensiune intre nodurile 1-2 la conexiunea in stea, curentii in restul circuitului vor ramane neschimbati. Vom putea deci scrie, in cazul acesta egalitatea rezistentelor echivalente dintre cele doua noduri si anume:

Folosind acelasi rationament si pentru nodurile 2-3 si respectiv 3-1, cand se intrerup legaturile in nodurile 1 si 2, se mai obtin inca doua relatii, care mai pot fi obtinute si prin permutarea circulara a indicilor. Astfel avem:

Pentru a gasi valorile lui r₁, r_2, r₃ in functie de r₁₂, r₂₃ si r_31, se aduna cele trei relatii si obtine relatia:

(1.33)

apoi, se scad pe rand cele trei relatii din relatia (1.33). Se obtin expresiile:

(1.34)

Pentru aflarea rezistentele r₁₂, r₂₃ si r₃₁ in functie de r₁, r₂ si r₃, se procedeaza astfel:

se calculeaza relatia , apoi se imparte pe rand la relatiile (1.34) si se obtin relatiile (1.35).

(1.35)

Aplicand aceasta metoda, la circuitul reprezentat in fig.1.14, triunghiul 1-2-3 se transforma intr-o stea echivalenta si obtinem circuitul din fig.1.16.

Rezistentele conectate in stea sunt date de relatiile:

Rezolvarea circuitului se face utilizand teoremele lui Kirchhoff. V-a trebui sa rezolva sistemul:

Din acest sistem calculam numai curentii i₁ si i₂. Aplicam apoi teorema a II-a a lui Kirchhoff ochiului I din circuitul reprezentat in fig.1.14 si vom afla curentul i₅. Teorema I-a a lui Kirchhoff aplicata nodului I, ne va da curentul i₆ si aplicata apoi in nodul 2 ne va da curentul i₄.

1.8.3. Metoda suprapunerii efectelor

Are la baza urmatorul principiu: daca in aceeasi retea se suprapun doua sau mai multe regimuri de echilibru, se obtine tot un regim de echilibru. Conform acestui principiu, curentul intr-o latura a unui circuit poate fi considerat ca suma algebrica a curentilor produsi in acea ramura de fiecare t.e.m. in parte, cand ar lucra in circuit independent de celelalte tensiuni electromotoare.

Acest principiu al suprapunerii efectelor permite, deci, ca un circuit complex sa fie descompus in mai multe circuite simple in care sa nu actioneze surse decat pe o singura latura, pe celelalte laturi sursele se inlocuiesc cu rezistentele lor interioare, iar in cazul cand acestea nu sunt specificate (fiind inglobate in rezistentele laturilor), sursele se scurtcircuiteaza.

Aplicand principiul suprapunerii efectelor, circuitului reprezentat in fig.1.14, obtinem doua circuite mai simple, de rezolvat, reprezentate in fig.1.18 si 1.19.

Curentii din cele doua circuite se pot calcula cu usurinta cu ajutorul relatiilor de mai jos:

Curentii reali, in laturi, in cazul cand functioneaza ambele surse de t.e.m. e₁ si e₂, tinand seama de sensul curentilor din fig.1.14, 1.18 si 1.19, sunt:

Daca intr-un circuit complex exista trei t.e.m., aplicand principiul suprapunerii efectelor, vom avea de rezolvat trei circuite simple.

Calculand curentii care circula prin laturile circuitului, determinati de fiecare sursa in parte si insumandu-i algebric, vom obtine curentii reali din fiecare latura .

Dupa cum se vede, aceasta metoda de rezolvare a circuitelor complexe de curent continuu este simpla insa laborioasa.

1.8.4. Metoda circuitelor independente (metoda curentilor de ochiuri sau de contur)

Aceasta metoda se recomanda rezolvarilor de circuite complexe ce au numarul de ochiuri independente mai mic sau egal cu numarul de noduri minus unul (o ≤n-1 .Sistemul de ecuatii format in acest caz are dimensiunea o. Circuitul complex se considera ca o suprapunere de circuite simple, separate. Se considera ca fiecare din aceste circuite este strabatut de un curent propriu (curent circular sau de contur), care circula numai prin laturile circuitului. Numarul de circuite simple in care se poate descompune circuitul complex, este egal cu numarul de ecuatii independente date de teorema a II-a a lui Kirchhoff, adica este egal cu o. Prin laturile comune a doua circuite simple alaturate, circula cei doi curenti de contur ai celor doua circuite. Prin laturile necomune circula numai curentul propriu al conturului. Curentii reali din laturile circuitului complex sunt dati: - fie de curentii proprii in cazul laturilor necomune; - fie de suma algebrica a curentilor circulari ce trec prin laturile respective, in cazul laturilor comune.

Notam cu I, curentii circulari si cu i curentii reali. Fixam sensul curentilor circulari in mod arbitrar si aplicam teorema a II-a a lui Kirchhoff circuitelor simple, tinand cont de suprapunerea efectelor .Vom avea:

R₁₁I₁+R₁₂I₂+R₁₃I₃+.+ R_1oI_o=E₁₁

R₂₁I₁+R₂₂I₂+R₂₃I₃+.+ R_2oI_o=E₂₂

(1.36)

R_o1I₁+R_o2I₂+R_o3I₃+.+ R_ooI_o=E_oo

in care: R_ii=, cu i=, adica reprezinta suma rezistentelor tuturor laturilor circuitului independent i, iar R_ij=R_ji=, cu i,j=, se obtine prin insumarea rezistentelor laturilor comune contururilor j si j. In calculul numeric, termenii R_iiIi sunt totdeauna pozitivi, iar termenii R_ijIj sunt pozitivi atunci cand curentii I_i si I_j trec prin rezistenta R_ij in acelasi sens si este negativ in caz contrar. E_ii reprezinta suma algebrica a t.e.m. din conturul i, cand acesta este parcurs in sensul de parcurgere al curentului de contur.

Cu ajutorul acestei metode se reduce numarul ecuatiilor de rezolvat de la l (numarul laturilor) la o= l-n+1 (n - numarul de noduri).

Sa aplicam spre exemplu, aceasta teorema pentru rezolvarea circuitului reprezentat in fig.1.14. In acest caz avem: l=5; n=2; o=3 si deci trei circuite simple (trei ochiuri) strabatute de curentii circulari I_I, I_II si I_III. Aplicam teorema II-a a lui Kirchhoff acestor ochiuri, tinand seama de cele spuse mai sus. Vom avea:

(I)   

(II)   

(III)

Curentii reali, in functie de curentii circulari, vor fi:

; ;

;

1.8.5. Metoda tensiunilor intre noduri

In cazul in care un circuit complex are un numar mic de noduri (este indeplinita relatia n-1 < o), rezolvarea este mult mai rapida aplicand metoda tensiunilor intre noduri.

Vom trata aceasta metoda numai pentru cazul cand circuitul complex are numai doua noduri. Sa consideram pentru aceasta, circuitul din fig.1.20.

Aplicand teorema I-a a lui Kirchhoff la unul din noduri, gasim relatia:

(1.37)

Folosind relatiile (1.19) si (1.20) si notand cu U=U_BA, se obtine:

Inlocuind acesti curenti in relatia (1.37), gasim:

(e₁ - U)G₁ + (e₂ - U)G₂ + (e₃ - U)G₃-UG₄ = 0

sau    e₁G₁ + e₂G₂ + e₃G₃ = U(G₁ + G₂ + G₃+G₄)

de unde

Relatia generala se scrie sub forma:

(1.38)

unde l reprezinta numarul de laturi ale circuitului.

Circuitul reprezentat in fig.1.14 poate fi rezolvat si cu ajutorul metodei tensiunilor intre noduri daca triunghiul compus din rezistoarele r₄, r₅ si r₆ este inlocuit prin rezistoarele cu rezistentele echivalente legate in stea r₄₅, r₅₆ si r₄₆. In felul acesta ajungem la un circuit numai cu doua noduri(fig.1.21), cu tensiunea intre noduri data de relatia:

Calculand valoarea lui U, putem gasi pe i₁ si i₂ din relatiile:

si

Aplicand teorema a II-a a lui Kirchhoff pe ochiul de reteaua reprezentata in fig.1.14 gasim valoarea lui i₅, adica:

si deci

Cunoscand pe i₁ si i₅, aplicam teorema I-a a lui Kirchhoff in nodul 1 si gasim pe i₆. Aplicand teorema I-a a lui Kirchhoff in nodul 2, gasim pe i₄.

In general, pentru rezolvarea unui circuit trebuie sa se aleaga metoda care duce cel mai repede la rezultatul final.

1.8.6. Metoda generatorului echivalent de tensiune (teorema lui Thvenin).

Aceasta metoda se aplica in situatia cand, intr-o retea, ne intereseaza numai curentul dintr-o singura latura. Procedeul consta in urmatoarele:

se inlatura rezistorul din latura respectiva (bornele raman desfacute);

se calculeaza in aceste conditii tensiunea intre bornele a si b (considerata drept cadere de tensiune), unde a si b sunt bornele la care a fost conectat rezistorul;

se scot t.e.m. din retea si se inlocuiesc cu rezistentele lor interioare (acolo unde rezistentele interioare nu sunt specificate se inlocuiesc cu un conductor);

se calculeaza rezistenta echivalenta a retelei (fara rezistorul eliminat) R_ab0, vazuta dinspre nodurile a si b;

cu aceste elemente se construieste circuitul cu generatorul echivalent care are t.e.m. egala cu, rezistenta interioara R_ab0 si ca circuit exterior rezistorul eliminat anterior. Daca aceasta latura are rezistenta R, atunci:

(1.39)

Pentru a exemplifica modul de aplicare a teoremei generatorului echivalent, sa luam ca exemplu circuitul reprezentat in fig.1.14 si sa calculam intensitatea curentului i₆. Pentru aceasta sa calculam rezistenta R_ab0. Schema echivalenta este reprezentata in fig. 1.22. Se deduce usor ca:

Pentru a calcula U₁₂, respectiv , cand inlaturam pe r₆, aplicam circuitului din fig. 1.23 teorema a II-a a lui Kirchhoff si gasim: , adica am considerat pe ca o cadere de tensiune.

Curentii I₁ si I₂ se determina din relatiile:

si

deci: .

R_ab si fiind calculati, se determina i₆ cu relatia:

.

Sa calculam acum intensitatea curentului care strabate latura activa, de exemplu I₁. In acest caz bornele a si b vor fi cele din fig.1.24.

Pasivizand circuitul, R_ab0 va fi dat de relatia:

Tensiunea se poate calcula, aplicand teorema a II-a a lui Kirchhoff pe circuitul inchis format din sursa cu t.e.m. si rezistorul r₅, din relatia:

,

fiind dat de relatia de la divizorul de curent.

si

Intensitatea curentului I₁ se poate deci calcula cu relatia:

(1.40)

Bilantul puterilor intr-un circuit simplu. Transferul maxim de putere.

Fie un circuit simplu, format dintr-o sursa cu t.e.m. egala cu e si rezistenta interioara r_i, care debiteaza curent electric pe rezistenta de sarcina R (fig. 1.25). Scriind legea lui Ohm pentru un circuit intreg avem relatia:

e = r_i i + R i (1.41)

Inmultind ecuatia (1.41) cu i se obtine:

e i = r_i i² + R i² (1.42)

Termenul e ∙ i reprezinta puterea debitata de sursa, r_i i² reprezinta puterea disipata pe rezistenta interioara a sursei, iar R i² este puterea disipata in rezistenta de sarcina. Relatia (1.42) exprima bilantul puterilor in circuitul considerat. Puterea debitata de sursa este suma puterilor consumate pe rezistenta interioara a sursei si pe rezistenta circuitului exterior. Daca circuitul exterior este mai complicat, se ia in considerare rezistenta echivalenta a circuitului exterior. In acest caz termenul R ^. i² (unde R este rezistenta echivalenta) va fi egal cu suma puterilor disipate in fiecare element component al circuitului exterior.

Daca consideram rezistenta de sarcina R variabila (fig. 1.25), se pune intrebarea: care este puterea maxima ce o poate dezvolta sursa in rezistenta R si la ce valoare a acestei rezistente se obtine aceasta?

Puterea disipata pe rezistenta R este: P_R= P = R ^. i²

Inlocuind expresia curentului din relatia (1.41) obtinem:

P = e^{2 .} (1.43)

Din ecuatia: e^{2 .} = 0

rezulta R = r_i . Deci, in rezistenta de sarcina R se obtine puterea maxima atunci cand R = r_i. Expresia puterii maxime este:

P_max = e^{2 .} = (1.44)

Se remarca faptul ca P_max are o valoare cu atat mai mare, cu cat rezistenta interna r_i a sursei este mai mica.

Puterea dezvoltata de sursa este P_e = e i = , iar pentru R=r_i , este: P_e = (1.45)

Randamentul maxim al sursei este: η_max %= = 50%

Teorema conservarii puterii in curent continuu

Enunt. Intr-o retea de curent continuu suma algebrica a puterilor debitate de sursele din retea este egala cu suma puterilor consumate pe rezistentele laturilor.

(1.46)

Demonstratia teoremei se face plecand de la teorema a II a lui Kirchhoff prin inmultirea ambilor membri cu I_k..Teorema conservarii puterilor serveste la verificarea calculelor efectuate asupra unei retele folosind una din metode.