RELATII DE CONSERVARE PENTRU CAMPURI ELECTROMAGNETICE CU VARIATIE ARMONICA IN TIMP

RELATII DE CONSERVARE PENTRU CAMPURI ELECTROMAGNETICE CU VARIATIE ARMONICA IN TIMP

1.GENERALITATI

In acest capitol se va lucra cu fazori. De obicei fazorul are un model egal cu amplitudinea marimii instantanee. Se face urmatoarea convectie: in acest capitol, fazorii au modulul egal cu valoarea eficace. Aceasta convectie prezinta un avantaj real, deoarece simplifica mult notatia fara a schimba nimic din aspectul ecuatiilor fundamentale, deoarece toti factorii se inmultesc cu acelasi coeficient numeric.

Referitor la marimile de camp definite intr-un regim armonic, trebuie observat urmatorul fapt: constantele macroscopice ε μ si σ pot fi in acest caz marimi complexe. Aceasta corespunde faptului ca, in general, si si si nu au in orice mediu o variatie identica in timp. Se stie ca intr-un mediu feromagnetic apare fenomenul de histerezis, care face ca si sa aiba variatii foarte diferite, nemaiputand fi vorba de o proportionalitate intre valorile instantanee ale acestor marimi.

Pentru un regim armonic se considera ca, atunci cand variaza armonic, si are tot o variatie armonica de aceasi pulsatie, intre si aparand un defazaj. Aceasta corespunde, in fond, aproximarii ciclurilor de histerezis prin elipse (fig.1) ceea ce se poate face in anumite conditii, in special pentru valori mai mici ale lui

Fig.1

Dar aceasta defazare a lui si este, in fond, echivalenta cu introducerea unei permeabilitati complexe:

Scriem:

Semnul adoptat pentru partile imaginare se va justifica ulterior. Mai intalnim si notiunea de conductivitate complexa, aceasta notiune se impune din motive de simetrie, astfel incat scriem si:

Cazul constantelor pur reale este un caz limita, idealizat.

2.CONSERVAREA CAMPULUI ELECTROMAGNETIC INTR-UN REGIM IN TIMP PENTRU UN DIELECTRIC PERFECT

Se pleaca de la legile fundamentale ale campului electromagnetic, completate cu densitatea de current , respective densitatea de curent electric

(1)

(2)

unde si sunt curenti imprimati, iar relatia (2) reprezinta complex conjugate legii circuitului magnetic.

Pentru stabilirea unei relatii de conservare se utilizeaza procedeul clasic. Inmultind scalar prima ecuatie cu , a doua cu si scazand rezultatele, se obtine in membrul stang:

iar in membrul drept:

ceea ce conduce la teorema de conservare:

(3)

unde este vectorul Poynting: , iar sunt densitatile de energie magnetica si electrica: , unde

sunt densitatile de lucru efectuat de camp.

Separand partile reala si imaginara, se obtin:

(4)

(5)

Relatia (4) arata ca divergenta densitatii de putere activa provine numai din contributia surselor de camp, cat si din modul in care se inmagazineaza energia in camp.

Este interesant de analizat trecerea de la relatiile (4) si (5) la formularile integrale corespunzatoare. Se obtine astfel din relatia (4), utilizand teorema Gauss-Ostrogradski:

(6)

Este important a considera cazul in care densitatile de curenti exista numai intr-un domeniu Ω , care poate fi cuprins intr-o sfera de raza finita. Ina acest caz, fluxul , prin orice suprafata Σ care cuprinde pe Ω este acelasi; deci prin toate suprafetele ce inconjoara domeniul in care se afla sursele campului trece aceeasi putere reala, care este deci o putere radianta din Ω si care se propaga spre infinit.

In cazul interpretarii relatiei (5), rezutatul este putin diferit. Tot cu ajutorul teoremei Gauss-Ostrogradski se obtine:

(7)

Fata de formula (6) se observa o diferenta, care provine din prezenta termenului (T-U) din membrul drept. Prezenta acestui termen se traduce prin faptul ca, in general, inconjurand domeniul Ω cu diverse suprafete Σ, fluxul de putere imaginara nu este acelasi. Spatiul se prezinta deci ca un consumator sau un generator de putere reactiva, dupa caz. Aceasta este inca o diferenta importanta fata de puterea activa, reala, care nu era nici consumata de spatiul vid.

Dar daca T=U pentru toata regiunea exterioara unui domeniu Ω , atunci si fluxul de putere este aceleasi prin toate suprafetele care cuprind pe Ω . Insa, se poate arata ca, daca sursele unui camp sunt toate la distanta finita, atunci la distante foarte mari de surse campul are caracterul unei unde plane, deci . In aceste conditii T-u=U. Se poate afirma ca si fluxul puterii reactive este constant, dar numai prin suprafete care au toate punctele la o distanta sufficient de mare de domeniul Ω , in care sunt cuprinse sursele campului.

3.CONSERVAREA ENERGIEI IN MEDII DISIPATIVE

In cazul in care mediul este disipativ se pot utilize rezultatele anterioare, separand insa curentul imprimat de cel de conductie:

unde reprezinta densitatea de current electric de conductie, respective densitatea de current electric imprimat.

Relatia de conservare (3) capata acum o alta expresie:

(8)

unde si cu este densitatea de caldura dezvoltata datorita conductivitatii mediului.

Separand partea reala de cea imaginara , (8) devine:

(9)

(10)

ceea ce arata ca existenta unei conductivitati in mediu nu afecteaza decat fluxul puterii sale.

Interpretarea fizica a relatiei (9) devine mai pregnanta daca se trece la formularea globala:

sau

.

Aceasta arata ca partea reala a lucrului P efectuat de generatorii din camp serveste, pe de o parte, la producerea unei energii radiante, P_R, iar pe de alta parte la incalzirea mediului, termenul Q.

Pentru domenii in care actioneaza campuri imprimate, formulele (9) si (10) au o interpretare deosebit de pregnanta:

divergenta partii reale a vectorului lui Poynting este egala cu cantitatea de caldura dezvoltata de camp pe metrucub si secunda

divergenta partii imaginare a vectorului lui Poynting este egala cu diferenta dintre densitatea de putere magnetica si cea electrica, inmultita cu dublul pulsatiei.

Consideratiile energetice facute in acest paragraf permit a face si unele precizari la semnul σ

Sa consideram pentru aceasta doua suprafete Σ si Σ , care ambele inconjoara domeniul Ω , in care se afla toate sursele campului, Σ fiind exterioara lui Σ

Considerand suprafata Σ ca fiind formata din Σ si Σ teorema conservarii putere conduce la:

unde este puterea radiata prin Σ_i, i=1,2.

Dar, deoarece un mediu pasiv nu poate produce energie,

ceea ce inseamna ca:

Daca , atunci in mod obligatoriu , deci conductivitatea mediilor pasive este intotdeauna pozitiva sau eventual nula.

In cazul mediilor disipative, fluxul puterii active nu mai este acelasi prin orice suprafata Σ care inconjoara sursele, deoarece in domeniu delimitat de o anumita suprafata Σ are loc o alta disipatie.

TEOREME DE CONSERVARE A PUTERII IN MEDII CU CONSTANTE MACROSCOPICE COMPLEXE

Pentru a stabili expresia generala a teoremei de conservare a puterii in medii cu constante macroscopice complexe este necesar a determina expresia vectorului:

Pentru aceasta se considera legea inductiei scrisa pentru campul direct si se inmulteste scalar cu

si legea circuitului magnetic scrisa pentru campul conjugat, care se inmulteste scalar cu :

,

Prin scaderea celor doua rezultate, se obtine:

(11)

unde

,

Daca se pun in evidenta curentii de conductie, relatia (11) devine:

(12)

Punand in evidenta partile reala si imaginara ale constantelor mediului si separand in (12), se obtine:

(13)

(14)

Interpretarea fizica a termenilor care intervin in relatia (13) este simpla: in teorema de conservare a puterii intervin partile imaginare al permeabilitatii si permitivitatii, precum si partile reale ale conductivitatii magnetice si electrice. Pentru un mediu dat, ansamblul tuturor termenilor care intervin in membrul drept al lui (13) trebuie sa reprezinte o pierdere de energie, deoarece singurul aport de energie in camp provine de la generatori prin intermediul partii reale a lui p.

De aici se pot trage unele concluzii si pentru cazuri particulare. Astfel, daca un mediu este lipsit de conductivitate, dar are permitivitatea complexa, atunci partea imaginara a acesteia trebuie de fie negativa.

In mod obisnuit, fiecare dintre termenii din membrul drept al relatiei (13), cu exceptia lui Re(p), reprezinta cate o pierdere, astfel incat toti acesti termeni au acelasi semn. Dar, in principiu, nu se poate afirma ceva decat despre toti termenii, deoarece un mediu este caracterizat din punct de vedere energetic prin suma tuturor acestor termeni, sursa care trebuie sa aiba un anumit semn. Daca unii termeni au un semn diferit de al altora, acesta este un fapt pe care numai experienta il poate decide.

Revenind la teorema de conservare a puterii reale, se observa ca partile imaginare ale permeabilitatii si permitivitatii reprezinta, in principiu, pierderi de energie, deci este natural a pune:

Se obsrva ca termenii care masoara pierderile prin partile complexe ale lui μ si ε sunt proportionali cu pulsatia. Aceasta se explica prin faptul ca la fiecare ciclu apare o pierdere de energie proportionala cu aria elipsei din planul , respective

Relatia referitoare la conservarea puterii complexe intr-un mediu cu vascozitate electromagnetica complexa constituie o generalizare a relatiei de conservare uzuala, in sensul ca divergenta partii reale a fluxului de putere complexa este egala cu diferenta dintre contributia surselor si caldura degajata, ambele considerate pe unitatea de volum.

In ceea ce priveste divergenta partii imaginare a vectorului lui Poynting complex, apar unele diferente, la termenii clasici adaugandu-se alti termini corectivi care provin din conductivitatile complexe ale mediului.

5.PUTERE PULSANTA

In teorema lui Poynting intervine termenul . Se considera cazul unui regim armonic in timp:

,

Pentru mai exista expresia:

Prin transformari trigonometrice simple rezulta:

,

unde , .

Rezulta ca in expresia lui apar doi termeni: un termen constant, egal cu valoarea medie a lui S:

si un termen pulsant, de pulsatie 2ω

care are o valoare medie nula: S₂=0.

Se observa ca . Daca se lucreaza cu valori eficace pentru si , atunci . Termenul mediu si termenul pulsant se poate pune in evidenta si la densitatea de energie imagazinata in mediu, ca si la lucrul surselor, respective la puterea disipata in medii. In acest scop se utilizeaza si identitatea:

Notand cu o bara deasupra valoarea medie, constanta si cu "~" termenul oscilant, pulsatoriu, teorema de conservare a puterii in regim armonic devine:

care se poate separa in doua relatii de conservare: una pentru valoarea medie si una pentru termanii pulsanti.

6.CAZUL FRECVENTELOR COMPLEXE

Plecand de la ecuatiile Maxwell:

(15)

(16)

respectiv

(17)

(18)

Inmultind pe (16) cu si pe (18) cu si scazandu-le, se obtine:

(19)

Din relatia

se deduce ca membrul stang al relatiei (19),

poate fi scris:

unde este vectorul Poynting complex:

.

Utilizand relatia:

,

primul termen din membrul drept al lui (19) poate fi scris:

(20)

Se poate arata ca (20) este echivalent cu :

(21)

sau

(22)

Notam cu indicele i curentii imprimati:

Ultimii doi termeni din membrul drept al lui (19) pot fi scrisi:

astfel incat relatia (19) devine:

sau, cu relatia (21)

,

ceea ce reprezinta doua formulari ale teoremei de conservare a puterii in campul electromagnetic in regim armonic.

7.CONSERVAREA IMPULSULUI ELECTROMAGNETIC

Inmultind relatia (15) cu , se obtine:

si relatia (17) cu , rezulta:

Ecuatiile (21) si (22) sunt de forma:

Dar

deci:

Calculam:

Fie:

Atunci:

(23)

In mod simetric punem:

obtinand:

(24)

Adunand relatia (23) cu relatia (24), rezulta:

Adunand si scazand termenii:

se obtine:

sau

unde s-a notat, e tensorul electric:

Daca mediul este omogen, se poate scrie:

(25)

In mod analog se obtine:

(26)

Inmultind relatia (25) cu si pe (26) cu , se obtine:

Adunand ultimele doua relatii, rezulta:

,

ceea ce constituie expresia unei teoreme de conservare a impulsului electromagnetic pentru un regim armonic.