CIRCUITE MAGNETICE

CIRCUITE MAGNETICE

1. Consideratii generale Si definitii

Conform teoremei refractiei, liniile de camp magnetic sunt practic tangentiale pe fetele interioare ale suprafetei corpurilor feromagnetice cu >> ₀. De asemenea, la suprafata acestor corpuri - daca nu sunt prezente panze de curent pe suprafata - se conserva componenta tangentiala a intensitatii campului magnetic . Rezulta ca in interiorul corpurilor feromagnetice componenta tangentiala a inductiei este mare in comparatie cu cea din exterior (din aer, unde ), iar liniile inductiei magnetice sunt conduse prin corpurile feromagnetice asemanator cu modul in care sunt conduse liniile densitatii curentului de conductie prin conductoare. Deoarece si liniile de inductie magnetica sunt practic inchise, se numeste circuit magnetic un dispozitiv in care aceste linii trec printr-o succesiune de corpuri fero- sau ferimagnetice, separate eventual prin portiuni neferomagnetice, numite intrefieruri.

In figura 1-1 se arata doua circuite magnetice, utilizate a) in transformatorul electric monofazat si b) in releul electromagnetic. Portiunile de circuit magnetic pe care se asaza bobinele (b) se numesc coloane (c) sau miez (m), iar restul circuitului magnetic este inchis prin juguri (j) si intrefieruri (i); portiunile mobile (deplasabile) ale circuitului magnetic se numesc armaturi (a). De o parte si de alta a intrefierurilor apar poli magnetici. Conventional se considera poli nord (N) fetele feromagnetice din care ies linii de camp ( orientat din spre fier spre intrefier) si poli sud (S) cele in care intra liniile de camp.

Cea mai mare parte a liniilor campului inductiei magnetice se inchid prin fier si intrefier, formand liniile campului util (sau principal). O alta parte, mai mica, a liniilor inductiei magnetice se inchid numai printr-o parte a circuitului magnetic si apoi prin aer (prin spatiul neferomagnetic inconjurator), formand liniile campului de dispersie, carora le corespunde fluxul magnetic de dispersie.

O problema importanta o formeaza rezolvarea circuitelor magnetice (numita si analiza circuitelor magnetice), care se formuleaza astfel: pentru un circuit magnetic, de configuratie data si format din materiale cu caracteristici magnetice cunoscute, se cere sa se determine prin calcul fie fluxurile magnetice utile si de dispersie la o distributie data a solenatiilor, fie solenatiile de excitatie necesare producerii unui flux magnetic util dat. Problemele de mai sus se pot rezolva fie direct, prin aplicarea legii fluxului magnetic si a teoremei lui Amp re, fie utilizand analogia dintre circuitele electrice si circuitele magnetice.

Intr-o prima aproximatie, circuitele magnetice se rezolva neglijand dispersia magnetica si considerand fluxul magnetic uniform distribuit in sectiuni transversale pe liniile de camp (se considera aceeasi inductie in toate punctele unei sectiuni transversale), iar circuitul magnetic se imparte in portiuni practic omogene din punct de vedere magnetic.

In legatura cu calculul fluxului magnetic al laturilor de circuit magnetic trebuie precizata notiunea de flux magnetic fascicular. Prin flux magnetic facscicular se intelege fluxul magnetic calculat prin sectiunea unei laturi de circuit magnetic. Asadar, fluxul magnetic fascicular reprezinta analogul magnetic al curentului electric de conductie din electrocinetica.

2. Metoda directa de rezolvare a unui circuit magnetic

Metoda directa consista in aplicarea succesiva a legii fluxului magnetic si a teoremei lui Amp re, in vederea determinarii relatiei dintre fluxul magnetic util al circuitului magnetic neramificat si solenatia excitatoare.

Metoda se ilustreaza cu exemplul din figura 2-1, al unui circuit magnetic in forma de C, avand o bobina cu solenatia N i, mai multe portiuni feromagnetice omogene, cu lungimi ale liniilor de camp medii l_k, k = 1,,5, arii ale sectiunilor transversale A_k, precum si un intrefier de largime l_d si o arie a sectiunii transversale A_d (prin care trece fluxul magnetic in intrefier, arie aproximativ egala cu sau ceva mai mare decat aria sectiunii transversale a polilor vecini).

Fie f_u fluxul magnetic fascicular util al circuitului magnetic prin sectiunea 6 (intrefier).

Se aplica legea fluxului magnetic unor suprafete S_k care trece prin intrefier si printr-o sectiune oarecare de ordin k a circuitului magnetic. Datorita neglijarii dispersiei, circuitul magnetic neramificat reprezinta un tub de flux, deci in orice sectiune are acelasi flux magnetic

Datorita ipotezei simplificatoare ca inductia magnetica este practic constanta in fiecare sectiune transversala, rezulta

Cunoscand curba de magnetizare B_k (H_k) a materialului magnetic al fiecarei portiuni de ordin k a circuitului magnetic, se deduce valoarea intensitatii campului magnetic H_k corespunzatoare.

Pentru intrefier (portiunea 6) relatia este

Aplicand teorema lui Amp re unei linii de camp medii a circuitului magnetic (reprezentata cu linie intrerupta in figura 2-1) se poate determina solenatia excitatoare necesara. Se calculeaza intai tensiunile magnetice ale portiunilor omogene

Tensiunea magnetomotoare a circuitului se obtine prin sumare

Din teorema lui Amp re rezulta solenatia Q necesara sau curentul de excitatie i necesar

Dand fluxului magnetic util f_u diferite valori, se poate construi caracteristica magnetica a circuitului magnetic, adica dependenta f_u Q) sau f_u(i). In figura 2-2 se arata forma tipica a caracteristicii magnetice pentru o bobina cu miez feromagnetic si intrefier.

Daca se da solenatia (sau curentul de excitatie), fluxul magnetic util f_u se determina prin incercari succesive (metode de aproximare succesiva) sau construind intai caracteristica magnetica a circuitului, pe care se determina fluxul util corespunzator solenatiei date.

Pentru circuite magnetice ramificate, metoda directa de rezolvare consista in construirea de caracteristici magnetice partiale pentru laturile de circuit magnetic, care se compun apoi corespunzator relatiilor ce rezulta din legea fluxului magnetic si din teorema lui Amp re. Acest caz se trateaza mai sistematic in cadrul metodei care face apel la analogia dintre circuitele magnetice si circuitele electrice de curent continuu.

Observatie. Daca circuitul magnetic neramificat este liniar, adica portiunile sale pot fi caracterizate prin permeabilitati constante _k, atunci se obtine usor relatia explicita

Expresia data de suma reprezinta reluctanta echivalenta a circuitului magnetic neramificat, asa cum va rezulta din metoda prezentata in continuare.

3 Teoremele lui Ohm Si Kirchhoff referitoare la circuite magnetice

Intre marimile globale care caracterizeaza circuitele magnetice (f_f, U_m, Q) si marimile care caracterizeaza circuitele electrice de curent continuu (I, U, E) se poate stabili o analogie completa, fapt care permite utilizarea la circuitele magnetice a unor concepte si a unor metode de calcul dezvoltate in teoria circuitelor electrice.

Teoria circuitelor electrice de curent continuu are la baza legea lui Ohm si teoremele lui Kirchhoff. Pentru circuitele magnetice se pot stabili teoreme analoge celor de mai sus.

Se considera o portiune neramificata de circuit magnetic, care formeaza un tub de flux, adica are acelasi flux magnetic fascicular f_f in oricare sectiune transversala (fig. 3-1). De asemenea, se considera ca in fiecare sectiune transversala S, de arie A, vectorul inductiei magnetice este perpendicular pe sectiune si are aceeasi valoare in toate punctele sectiunii, astfel incat relatia dintre fluxul fascicular si inductie va fi

Considerand cunoscuta valoarea permeabilitatii a mediului in sectiunea S se deduce valoarea intensitatii campului magnetic

Calculand tensiunea magnetica de-a lungul liniei de camp C medii (linia axa), intre doua sectiuni transversale S₁ si S₂ si tinand seama ca vectorii sunt omoparaleli, rezulta

Marimea

se numeste reluctanta portiunii de circuit magnetic (numita, uneori, si rezistenta magnetica), iar relatia

constituie teorema lui Ohm referitoare la circuite magnetice, fiind teorema analoga legii lui Ohm (de la circuitele electrice).

Relatia (3-4) se mai numeste si relatia constitutiva a laturii de circuit magnetic.

In sistemul international de unitati (SI), unitatea de masura a reluctantei se numeste amper pe weber si se simbolizeaza [A/Wb] sau [H^-1].

Marimea reciproca reluctantei, notata cu P sau L

se numeste permeanta. Unitatea de masura a permeantei se numeste weber pe amper, simbolizata [Wb/A], sau henry, simbolizata [H].

Relatiile stabilite mai sus permit sa se intrevada existenta unei analogii intre circuitele magnetice si circuitele electrice de curent continuu, pe baza urmatorului tablou de corespondenta intre marimi:

Trebuie observat faptul ca, pe cand tensiunea electromotoare care intervine in circuitele de curent continuu are o localizare bine precizata (in laturi), solenatia poate fi asociata numai unui ochi (contur inchis), deci solenatiei ar trebui sa i se asocieze o tensiune electromotoare de ochi.

In cazul circuitelor magnetice, solenatia este data de bobine parcurse de curent, deci solenatia unei bobine de ordin k, cu N_k spire si parcursa de curentul i_k, se prezinta sub forma

ca marime care are semnul curentului i_k. Acestei solenatii i se poate asocia un sens de referinta axial in modul urmator.

Fie o bobina cu solenatia Q, data de curentul i, care in bobina are sensul de referinta marcat (in sectiunile bobinei, fig. 3-2), in conformitate cu sensul de infasurare al conductorului bobinei. Pentru calculul solenatiei pe o suprafata deschisa, sprijinita pe un contur inchis G, sensului de parcurgere al conturului G i se asociaza un versor al normalei dupa regula burghiului drept. Se observa usor ca acest versor va avea aceeasi orientare ca sensul de referinta al curentului (atat pentru conturul inchis spre dreapta G , cat si pentru conturul inchis spre stanga G din figura 3-2), daca conturul G este parcurs in sensul care se asociaza sensului de infasurare si sensului de referinta al curentului dupa regula burghiului drept. Acest sens, marcat cu o sageata ca in fig. 3-2, se atribuie solenatiei Q si constituie sensul de referinta axial al solenatiei calculate cu expresia Q = N i

Pentru a completa analogia dintre circuitele magnetice si circuitele electrice, mai trebuie stabilite teoremele topologice ale circuitelor magnetice, numite teoremele lui Kirchhoff.

Fie o retea magnetica, ca in figura 3-3, compusa din laturi (coloane, juguri, intrefieruri etc.) cu caracteristici magnetice cunoscute, avand bobine cu solenatii date. Se noteaza cu f_k fluxul magnetic fascicular al laturii k si acestui flux i se asociaza un sens de referinta (indicat cu sageata pe latura), omoparalel cu versorul al normalei la sectiunea transversala cu care a fost calculat (definit) fluxul respectiv.

Aplicand legea fluxului magnetic unei suprafete inchise S_a, care inconjoara un nod (de ordin a) al retelei magnetice, adica

se obtine relatia

care constitue prima teorema a lui Kirchhoff referitoare la circuite magnetice: suma fluxurilor magnetice fasciculare ale laturilor concurente intr-un nod, calculate cu acelasi sens de referinta fata de nod, este nula. In relatia (3-8) semnul se ia (+)daca sensul de referinta al fluxului magnetic fascicular respectiv este de iesire din nod (ca ) si (-) in caz contrar. In cazul concret din figura 3-3 rezulta relatia

In reteaua din figura 3-3 se considera un drum (contur) inchis G_l, de-a lungul ochiului l, care se va parcurge in sens orar. Acestui ochi i se aplica teorema lui Amp re

Integrala de contur, reprezentand tensiunea magnetomotoare a ochiului l, se descompune in integrale de linie pe segmente ale curbei G_l, reprezentand tensiuni magnetice ale laturilor, iar integrala de suprafata, reprezentand solenatia ochiului l, se descompune intr-o suma de solenatii datorite bobinelor laturilor care compun ochiul l

Se noteaza cu U_mk tensiunea magnetica corespunzatoare laturii k, avand acelasi sens de referinta ca fluxul magnetic fascicular f_k al laturii (ca in teorema lui Ohm). Se mai noteaza cu Q_k solenatia bobinelor laturii k, avand sensul de referinta axial precizat asa cum s-a aratat mai inainte. Relatia (3-9) devine

si reprezinta a doua teorema a lui Kirchhoff referitoare la circuite magnetice: suma tensiunilor magnetice ale laturilor ce formeaza un ochi, calculate in sensul de parcurgere, este egala cu suma solenatiilor bobinelor laturilor ochiului. Semnele se iau astfel:

- pentru tensiunile magnetice de latura se ia semnul (+) atunci cand sensul de referinta al fluxului laturii coincide cu sensul de parcurgere si (-) in caz contrar;

- pentru solenatiile laturilor se ia semnul (+) atunci cand sensul de referinta axial coincide cu sensul de parcurgere si (-) in caz contrar.

La circuite magnetice liniare a doua teorema a lui Kirchhoff se poate prezenta si sub o forma explicita, in care tensiunile magnetice de latura se expliciteaza cu ajutorul teoremei lui Ohm

Regula de semne ramane cea enuntata anterior.

In cazul concret din figura 3-3 rezulta relatia

Tensiunea magnetica intre doua noduri a si b (fig. 3-3) se poate calcula in acelasi mod, aplicand teorema lui Amp re unui contur G', care contine drumul a-b

Se observa usor ca prin analogia descrisa inainte s-ar fi putut stabili direct (fara a fi demonstrate) teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice, prin simpla transcriere a teoremelor corespunzatoare de la circuitele electrice.

Intrucat teoria circuitelor electrice are la baza relatiile topologice date de teoremele lui Kirchhoff si relatiile constitutive ale laturilor (legea sau teorema lui Ohm pentru laturile liniare), toate teoremele enuntate pentru circuitele electrice isi au teoreme echivalente in teoria circuitelor magnetice. Astfel, de exemplu, daca circuitele magnetice sunt liniare (laturile au permeabilitati constante), atunci se pot folosi teoremele de superpozitie, de reciprocitate, teoremele reluctantelor echivalente, teoremele generatoarelor echivalente s.a.

Aplicatie. Fie circuitul magnetic, considerat liniar, al unui miez cu trei coloane, cu cate o bobina pe fiecare coloana, ca in fig. 3-4a. Pe figura au fost marcate si elementele geometrice care permit caracterizarea fiecarei laturi (coloane) prin reluctanta corespunzatoare

Se mai noteaza solenatiile laturilor

cu sensurile de referinta axiale marcate pe figura, in corespondenta cu sensurile de referinta ale curentilor si cu sensurile de infasurare ale bobinelor.

Se stabileste, fara dificultate, circuitul electric echivalent din figura 3-4b. Rezolvarea circuitului magnetic din figura 3-4a se reduce la rezolvarea circuitului electric 3-4b.

Dand fluxurilor magnetice sensuri de referinta (marcate pe figuri), cu metoda ecuatiilor asociate teoremelor lui Kirchhoff se stabileste urmatorul sistem de ecuatii

Rezolvarea sistemului de mai sus permite determinarea fluxurilor magnetice fasciculare f f f

4. Calculul circuitelor magnetice neliniare

Materialele feromagnetice din care sunt realizate circuitele magnetice au permeabilitatea dependenta de inductia sau de intensitatea campului magnetic, adica sunt materiale magnetice neliniare. In consecinta circuitele magnetice sunt, de regula, neliniare (din punct de vedere magnetic). Calculul circuitelor magnetice neliniare se aseamana cu calculul circuitelor electrice neliniare de curent continuu.

In cazul unei laturi neliniare de circuit magnetic nu mai este valabila teorema lui Ohm referitoare la circuite magnetice (3-4) si nu se poate defini o reluctanta care sa fie calculata cu relatia (3-3). Relatia intre tensiunea magnetica U_m a laturii si fluxul magnetic fascicular f_f va fi data de o caracteristica magnetica U_m(f_f) sau f_f(U_m).Teoremele lui Kirchhoff raman valabile in forma care nu face apel la teorema lui Ohm: prima teorema in forma (3-8), iar a doua - in forma (3-10).

Pentru o retea magnetica cu n laturi, cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se pot scrie n ecuatii independente intre fluxurile magnetice fasciculare f_k ale laturilor si tensiunile magnetice U_mk ale laturilor, iar caracteristicile magnetice ale laturilor reprezinta alte n relatii independente intre aceleasi marimi. Se obtine, astfel, un sistem complet de 2n ecuatii, care determina solutia cautata.

Pentru exemplificare, se considera cazul unui circuit magnetic neliniar ca in figura 4‑1a, avand 3 laturi, cu o bobina pe prima latura, care produce solenatia Q. Cu sensurile de referinta marcate in figura, se pot scrie urmatoarele relatii intre marimi:

In figura 4-1b s-au reprezentat caracteristicile magnetice f_k(U_mk) (neliniare) ale laturilor 1, 2 si 3, precum si caracteristica rezultanta f (U_{m ab}) a laturilor 2 si 3, conectate in paralel conform relatiilor (4-1) si (4-2). Aceasta caracteristica se calculeaza astfel: pentru fiecare valoare data a tensiunii magnetice U_m ab se aduna fluxurile magnetice fasciculare ale caracteristicilor 2 si 3. Apoi se poate calcula caracteristica fluxului magnetic fascicular f_f Q), adunand tensiunile magnetice U_m1 si U_m ab pentru fiecare valoare a fluxului magnetic fascicular f_f f (conform relatiei 4-3). Cu ajutorul caracteristicii rezultante f_f Q) se poate determina punctul de functionare corespunzator unei solenatii excitatoare Q date, sau unui flux fascicular f dat si apoi se deduce starea magnetica a tuturor laturilor.

Pe caracteristicile laturilor f (U_m1), f (U_m ab), f (U_m ab) au fost marcate trei puncte de functionare corespunzatoare unui sir de 3 solenatii in progresie aritmetica: 3Q Q Q

Punctele de functionare se pot determina si prin calcul iterativ. De exemplu, pentru o solenatie data Q , se ia ca variabila independenta tensiunea magnetica U_m ab. Acesta tensiune determina toate tensiunile magnetice ale laturilor prin relatiile (4-2) si (4-3), asa ca determina valoarea functiei f(U_m ab) = f f f . Cautand radacina acestei functii (de exemplu cu metoda Newton), se determina tensiunea magnetica U_m ab corespunzatoare si apoi starea magnetica a oricarei laturi.