Calculul campului magnetic

Calculul campului magnetic

In cadrul acestui paragraf se prezinta calculul analitic al unui camp magnetic (prin determinarea marimilor de stare sau pentru cateva cazuri particulare de interes, insa, pentru aplicatiile practice din tehnica.

Aplicatia 5.4. Sa se determine potentialul magnetic vector al unui conductor rectiliniu aflat in regim electrocinetic

Intrucat divergenta rotorului vector este identic nula, si fiindca , rezulta ca inductia magnetica este rotorul unui vector :

,

numit potential magnetic vector in vid, prescurtat potential vector in vid.

Cu identitatea vectoriala:

^,

expresia inductiei magnetice in vida unui curent filiform ia forma:

Identificand aceasta expresie cu (5.4-1) se obtine potentialul vector in vid al unui conductor filiform:

^,

Observatii. Relatia (5.179) determina numai componenta rotationala a potentialului vector . In general, , in care este componenta rotationala si , , iar este componenta solenoidala cu . In regim stationar si cvasistationar, potentialul vector satisface conditia , numita de etalonare de tip Coulomb.

La fel ca in cazul potentialului electrostatic al unui corp filiform incarcat cu sarcina electrica, contributia fiecarui element de lungime este invers proportionala cu distanta dintre element si punctul in care se calculeaza potentialul vector .

Potentialul vector in vid al unui fir rectiliniu, infinit lung, aflat sub curent electric se poate exprima logaritmic. Alegandu-se axa Oz a unui sistem de coordonate cilindrice circulare in lungul firului si originea O, in piciorul perpendicularei coborate pe fir din punctul in care se determina potentialul vector in vid (fig. 5.32), se obtine:

sau,

^, (5.180)

in care s-a notat cu constanta: .

Potentialul vector al unui fir rectiliniu infinit lung, sub curent electric de conductie este proportional cu logaritmul natural al distantei la fir si se numeste potential logaritmic. Formula (5.180) este similara cu expresia potentialului electric logaritmic si din acelasi motiv intervine lungimea firului in expresia constantei. Acest inconvenient se elimina integrandu-se direct ecuatia:

^,

care rezulta din (5.179).

Integrandu-se intre un punct de referinta la distanta a de fir si punctul situat la distanta r, se obtine expresia:

^.

Aplicatia 5.5. Sa se determine expresia intensitatii campului magnetic al conductorului infinit lung, intr-un punct aflat la distanta d fata de conductor (fig. 5.33)

Vectorii elementari sunt perpendiculari pe planul elementelor si razelor vectoare . Sensul lor este dat de regula efectuarii produsului vectorial :

^.

Pentru intregul conductor:

^,

unde:

Tinandu-se seama de relatiile evidente:

si ^,

rezulta:

Aplicatia 5.6: Sa se determine expresia intensitatii campului magnetic al spirei circulare din figura 5.34.

Fata de centrul spirei sunt intotdeauna perechi de elemente simetrice, ale caror campuri elementare in P au componente paralele cu planul spirei egale si opuse. Prin urmare, campul rezultant in P va avea numai componenta perpendiculara pe planul spirei:

^, (5.182)

cu modulul:

^,

deoarece si sunt perpendiculari.

Avand totodata si , rezulta:

^,

unde este distanta de la punctul P la planul spirei.

In centrul spirei, pentru care , rezulta imediat din relatia (5.184):

^.

Ultima relatie serveste si la definirea unitatii de masura pentru intensitatea campului magnetic, numita amper pe metru: A/m. Ea este echivalenta cu acea valoare a intensitatii campului stabilita in centrul unei spire cu diametrul de 1m de un curent cu intensitate de 1A prin spira.

Aplicatia 5.7: Sa se determine expresia intensitatii campului magnetic produs de o bobina intr-un punct de pe axa ei (fig. 5.35).

Intensitatea campului magnetic in punctul P va rezulta prin insumarea in acel punct a contributiei fiecarei spire componente a bobinei la formarea campului magnetic.

Daca se noteaza cu numarul de spire pe unitatea de lungime, o portiune a bobinei va contine spire si va produce in P un camp de intensitate echivalenta cu acela produs de o spira de raza egala cu abobinei, daca se afla sub curentul total :

.

Notandu-se cu unghiul razei vectoare dusa din P catre elementul si avandu-se in vedere relatiile:

se obtine:

,

de unde, integrandu-se pentru toate valorile unghiului va rezulta:

si fiind unghiurile corespunzatoare extremitatilor solenoidului.

In ipoteza teoretica a bobinei infinit lungi (admisa de calculele tehnice atunci cand dimensiunile sectiunii bobinei sunt mici in raport cu lungimea), si iar expresia (5.185) a intensitatii campului devine:

, (5.185')

unde este numarul de spire, iar lungimea bobinei.