FOLOSIREA METODELOR TIMP-FRECVENTA PENTRU ANALIZA SEMNALELOR DE RADIOLOCATIE IN RECEPTOARELE DE RAZBOI ELECTRONIC

Folosirea metodelor timp-frecventa pentru analiza semnalelor de radiolocatie in receptoarele de razboi electronic

Existenta unor mari densitati si diversitati de semnale in spatiul de lupta electronic modern conduce la una din sarcinile primordiale ale sistemelor de receptie de razboi electronic de radiolocatie: analiza semnalelor radar. In toate situatiile, o mare importanta o are cunoasterea cat mai precisa cu putinta a amenintarii, in cazul nostru, a semnalelor radar uzuale din spatiul de lupta electronic.

Analiza semnalelor radar din campul de lupta electronic este o sarcina de baza pentru sistemele de receptie de razboi electronic. Aceasta este echivalent cu buna cunoastere a amenintarii si, in consecinta, este un prim pas spre combaterea acestuia. Analiza semnalelor radar se pot face prin metode monodimensioanle si bidimensionale.

Primele, aparute primele, presupun analiza numai in timp sau numai in frecventa si au un grad mai scazut de complexitate; tocmai in aceasta rezida dezavantajul dar, paradoxal si avantajul acestora: dezavantaj pentru ca, desi ofera, in multe cazuri, o modalitate de prima evaluare si si analiza rapida a semnalelor, in multe situatii, in special in cazul folosirii semnalelor moderne de radiolocatie (semnale complexe, cu modulatii complicate si de banda larga, greu de analizat si de contracarat intr-un timp suficient de scurt pentru ca riposta sa fieeficienta).

Cea de-a doua categorie de metode, respectiv reprezentarile timp-frecventa, liniare sipatratice, reprezinta instrumente puternice de analiza a semnalelor si, de aceea, sunt folosite, ori de cate ori situatia o permite, la procesarea semnalelor.

1.Analiza monodimensionala a unor semnale de radiolocatie

1.1.Reprezentarea in timp si reprezentarea in frecventa

Reprezentarea in timp este prima si cea mai naturala modaliate de descriere a unui semnal; in cele ce urmeaza, aceasta reprezentare va fi denumita forma semnalului. Reprezentarea in frecventa se obtine cu ajutorul transformatei Fourier, rezultand spectrul semnalului.

Consultarea spectrelor semnalelor conduce la formularea urmatoarelor constatari:

coeficientii obtinuti prin dezvoltarea semnalului s(t) intr-o familie infinita de oscilatii sunt complet nelocalizati in timp;

spectrul semnalului arata atat frecventele continute in semnal, cat si amplitudinile si fazele corespunzatoare acestor frecvente;

din pacate, spectrul nu arata la ce momente de timp apar aceste frecvente. Din aceasta cauza, s-a pus problema gasirii unei modalitati de caracterizare simultana, in timp si frecventa, a semnalelor. Rezulta, astfel, posibilitatea de a observa evolutia in timp a fiecarei componente spectrale a semnalului

Transformata Fourier nu este adaptata analizei semnalelor nestationare, aceasta reprezentand o proiectie a semnalului pe o familie infinita de unde (armonice) care sunt complet nelocalizate in timp.

Conceptele de pozitie medie in timp, pozitie medie in frecventa, durata, banda-definite cu ajutorul momentelor de diferite ordine ale semnalului sau puterii acestuia- , precum si cel de baza nu sunt adaptate analizei unei categorii largi de semnale nestationare si al celor pe fondul zgomotului.

Analiza bidimensionala a unor semnale de radiolocatie

2.1. Reprezentari liniare timp-frecventa: transformata Fourier pe termen scurt

2.1.1.Modelarea analitica a transformatei Fourier pe termen scurt

Pentru a obtine forma analitica a STFT se procedeaza la ferestruirea semnalului, s(u), in jurul unui moment de timp, t, urmata de calcularea transformatelor sale Fourier pentru fiecare moment de timp, t, al suportului temporal de definitie. Rezulta forma analitica a transformatei Fourier pe termen scurt (STFT), sau a spectrului pe termen scurt, care, impreuna cu inversa sa formeaza perechea STFT, exprimata analitic prin relatiile urmatoare: rel 1si 2:

unde w(t) este o fereastra de analiza pe termen scurt localizata in jurul t = 0 si f = 0.

Fereastra avand energie finita, STFT este inversabila, astfel ca semnalul poate fi descompus intr-o suma ponderata de unde elementare de forma: rel 3:

Conform relatiei (3), fiecare unda elementara se obtine din fereastra w(t) prin translatiein timp si translatie in frecventa (modulatie, conform proprietatilor transformatei Fourier). Cu alte cuvinte, STFT este o proiectie a semnalului analizat pe unde elementare de forma (12), care sunt relative bine localizate in timp si frecventa.

Cum fereastra w(t) suprima efectiv semnalul s(u) in afara sa, (respectiv in vecinatatea punctului de analiza u t ), se poate spune ca STFT este un spectru "local" al semnalului s(u) in jurul lui t. Se mai poate constata ca, spre deosebire de transformata Fourier "clasica", spectrul obtinut cu ajutorul STFT are componente variabile in timp. Pe baza STFT se poate realiza spectrograma Fourier, FS, care furnizeaza distributia "timp-frecventa" a energiei semnalului:rel 4:

Daca rezolutiile in timp respectiv frecventa sunt Δt si Δf, atunci, principiul de incertitudine Heisenberg - Gabor, poate fi scris si sub forma:rel 5

STFT se caracterizeaza prin valorile fixe ale rezolutiilor in timp si in frecventa, fapt careface ca totul sa depinda de lungimea temporala a ferestrei w(t): daca fereastra este ingusta rezulta o buna rezolutie in timp (STFT si FS vor fi bine localizate in timp), dar rezolutia in frecventa va fi slaba.

2.1.2.Rezolutia timp-frecventa a STFT

Spectrul STFT poate oferi o buna localizare in timp si frecventa a componentelor semnalului. Rezolutia in timp a STFT se poate evalua considerand ca semnal de test impulsul Dirac:rel 6:

Se deduce ca rezolutia in timp a STFT este proportionala cu durata efectiva a ferestrei de analiza, w(t). Ca o consecinta a principiului incertitudinii, si in cazul STFT suntem in fata unui compromis: pe de o parte, o buna rezolutie in timp impune folosirea unei ferestre w(t) foarte inguste; pe de alta parte, o buna rezolutie in frecventa impune un interval spectral de analiza foarte ingust, adica un filtru de banda cat mai ingusta, deci, ca rezultat, o fereastra temporala, w(t), foarte larga; cele doua cerinte sunt, evident, contradictorii.

a. Cazul 1 corespunde unei rezolutii in timp perfecte: fereastra w(t) este aleasa de forma impulsului Dirac.rel 7:

STFT este perfect localizat in timp, dar nu are nici un fel de rezolutie in frecventa.

b. Cazul al 2-lea este cel al rezolutiei perfecte in frecventa, obtinuta cu ajutorul ferestrei constante:rel 8:

adica STFT se reduce la o transformare Fourier "clasica" a semnalului s(t), care, dupa cum se stie, nu ofera nici un fel de rezolutie in timp.

2.2.Reprezentari neliniare timp-frecventa. Clasa lui Cohen

Spre deosebire reprezentarile prezentate anterior care dezvolta semnalul in componente elementare, localizate in timp si frecventa, reprezentarile neliniare (timp-frecventa) realizeaza distributia energiei semnalului in planul timp-frecventa. Este cunoscut ca energia semnalului poate fi exprimata atat in timp cat si in frecventa:rel 9:

unde |s(t)|² si |S(t)|² pot pot fi interpretate ca densitati de energie in timp respectiv frecventa. Este firesc de a cauta o densitate de energie mutuala timp-frecventa, ρs(t,f) astfel incat.rel 10:

Deoarece energia este o functie patratica de semnal, distributiile de energia timp frecventa vor fi, in general, reprezentari patratice

Pentru ca o marime sa poate fi densitate de energie ea trebuie sa satisfaca siurmatoarele proprietati:rel 11 si 12:

denumite proprietati de marginalitate, care exprima faptul ca integrarea densitatii mutualefunctie de o variabila a planului timp-frecventa conduce la obtinerea densitatii de energiefunctie de cealalta variabila.

Exista mai mult de o distributie care satisface conditiile (10), (11), (12), asa incat pot fi impuse si alte cerinte suplimentare asupra densitatii mutuale ρs, astfel ca aceasta distributie sa aiba si alte proprietati care pot fi considerate utile. Printre aceste proprietati s-a impus, ca fundamental, principiul covariantei in timp si cel al covariantei in frecventa.

2.2.1.Reprezentarea Wigner-Ville

O distributie de energie timp-frecventa de un interes cu totul particular este distributia(reprezentarea) Wigner-Ville (WVD) definita prin relatia:rel 13:

sau prin duala ei:rel 14:

WVD este reala pe intreg domeniul de definitie, pastreaza deplasarile in timp si in frecventa si satisface proprietatile de marginalitate. Fiind o reprezentare neliniara si in cazul WVD se aplica principiul superpozitiei:rel 15:

unde:rel 16:

este termenul de interferenta al WVD aplicata semnalului s = s1 + s2

2.2.2.Reprezentarea pseudo Wigner-Ville

Definirea WVD impune cunoasterea variatiei functiei.rel 17:

pe intreg domeniul τ , fapt care poate fi, practic, dificil de realizat in multe cazuri. De aceea, de multe ori, este mai convenabil de a restrange domeniul de analiza al variabilei τ, prin inlocuirea functiei qs(t,τ) cu varianta ei ferestruita cu ajutorul functiei w(t), rezultand o noua distributie, caracterizata prin relatia:rel 18:

unde W(f) este imaginea Fourier a ferestrei w(t). Din cauza naturii lor oscilante, componentele de interferenta vor fi atenuate in PWVD fata de WVD, rezultand o claritate mai mare a reprezentarii in planul timp-frecventa. Acest avantaj este insotit, insa si de mai multe dezavantaje, dintre care mentionam:

PWVD nu mai satisface proprietatea de marginalitate;

cresterea benzii de frecventa a componentelor proprii - de tipul WVs1 (t,f) sau WVs2(t,f)

2.2.3.Reprezentarea pseudo Wigner-Ville netezita

Printre proprietatile utile ale oricarei reprezentari timp-frecventa de o mare importanta este cea a covariantei in timp si in frecventa. Faptul ca o reprezentare de energie timpfrecventa se bucura de proprietatea de covarianta este echivalent cu aceea ca, daca semnalul este deplasat in timp (intarziat) si in frecventa (mixat), atunci reprezentarea sa timp-frecventa va fi deplasata corespunzator cu aceleasi marimi in planul timp-frecventa. Se arata [B-16] ca acele reprezentari timp-frecventa care se bucura de proprietatea de covarianta constituie clasa lui Cohen si au expresia generala:rel 19:

unde p(ζ,τ) este denumita functia de parametrizare.

Expresia (19)se poate scrie si sub forma urmatoare [B-16]:rel 20:

unde.rel 21:

este transformata Fourier bidimensionala a functiei de parametrizare, p(ζ,τ). Clasa lui Cohenare un caracter de generalitate, ea cuprinzand un mare numar de transformari timp-frecventa particulare: astfel, WVD este cazul particular obtinut pentru p(ζ,τ) = 1 - funtia Π(t,f) fiind un dublu impuls Dirac in timp si in frecventa, Π(t,f) = δ(t) δ(f). Daca Π(t,f) se interpreteaza drept o functie de netezire, atunci expresia (20) permite interpretarea Cs(t,f; Π) ca o versiune netezita (filtrata) a WVD. Se obtine o noua distributie care va atenua, intr-un anumit fel (conform aspectului particular ales al functiei de parametrizare), termenii de interferenta ai WVD.

Considerand fereastra de termen scurt w(t) si imaginea sa Fourier H(f), o alegere a functiei Π(t,f) de forma:rel 22:

este echivalenta cu controlul progresiv si independent al netezirii aplicate PWVD, atat in timpcat si in frecventa.

Se obtine o noua distributie:rel 23:

numita transformarea pseudo Wigner-Ville netezita (pseudodistributia Wigner-Villenetezita, SPWVD).

Reprezentari timp-frecventa redistribuite: spectrograma redistribuita

O cerinta esentiala impusa oricarei tranformari timp-frecventa il reprezinta claritatea, respectiv capacitatea acestora de a fi usor analizate, chiar in cazul semnalelor cu legi de modulatie complexe, care evolueaza pe fondul zgomotului si care pot avea componente cu frecvente rapid variabile in timp, asa cum este cazul semnalelor de radiolocatie moderne. Cu alte cuvinte, o reprezentare timp-frecventa, pentru a fi un instrument util de analiza, trebuie sa prezinte o buna concentrare a componentelor utile ale semnalului si sa nu aiba componente de interferenta care sa conduca analiza pe un drum gresit (rezultand concluzii false asupra naturii si structurii semnalului).

Transformarile biliniare si patratice prezentate anterior ofera facilitati deosebite de analiza a semnalelor, inclusiv a celor nestationare. Cu toate acestea, de multe ori aceste transformari (dar nu numai ele - [B-4]) sufera, partial, din acest punct de vedere, intr-un grad mai mare sau mai mic, functie de tipul transformarii, tipul si lungimea ferestrei de analiza, etc.

Acesta este motivul pentru care tehnicile de analiza a semnalelor prin transfomarile bilinare si neliniare s-au dezvoltat pe noi directii, una dintre acestea reprezentand-o metoda redistribuirii ("reassignment") transformarilor patratice. Aceasta metoda se poate aplica, in principiu, tuturor transformarilor patratice, dar, in cele ce urmeaza, ne vom opri asupra redistribuirii sprectrogramei; evident, rezultatul aplicarii acestei metode va fi spectrograma redistribuita.

Spectrograma redistribuita

Spectrograma a fost prima transformare biliniara asupra careia s-a aplicat metoda redistribuirii. (Metoda a aparut, de fapt, pentru a imbunatati spectrograma.).

Se demonstreaza, [B-15], ca, drept consecinta a uneia dintre proprietatile transformarii Wigner -Ville (respectiv proprietatea de conservare a produsului scalar din domeniul timp in domeniul frecventa, exprimata prin relatia lui Moyal:rel 24:

spectrograma se poate exprima ca produs de convolutie bidimensional dintre WVD a semnalului si WVD a ferestrei de analiza:rel 25:

De aceea, aceasta transformare reduce nivelul componentelor de interferenta, pastrandu-se, evident, compromisul "rezolutie in timp-rezolutie in frecventa". Din examinarea mai atenta a relatiei (5.35) se poate constata ca WV t a f w , delimiteaza un domeniu timp-frecventa in vecinatatea punctului (t,f), vecinatate in care se face o medie ponderata a valorilor WVD ale semnalului. Esenta metodei redistribuirii consta in observarea faptului nu exista nici un motiv consistent ca aceste valori sa fie distribuite simetric in jurul punctului (t,f), acest punct fiind centrul geometric al domeniului delimitat de WV t a f w , . De aceea, media ponderata poate sa nu fie asociata punctului (t,f), ci, mai curand, centrului de gravitate al domeniului, care este mult mai reprezentativ pentru distributia locala de energie a semnalului. Astfel, prin metoda redistribuirii, se muta fiecare valoare a spectrogramei calculata in orice punct (t, f) care este, de fapt, centrul de gravitate al distributiei de energie a semnalului in jurul punctului (t,f).

Se arata ca una dintre cele mai interesante proprietati ale reprezentarii redistribuite este aceea ca ea foloseste si informatia de faza continuta in transformata Fourier pe termen scurt (STFT), si nu numai patratul modulului, precum spectrograma "obisnuita", [B-16]. Se mai poate demonstra, [B-16], ca spectrograma redistribuita, desi nu mai este o transformare biliniara, pastreaza proprietatea de covarianta in timp si in ferecventa, precum si cea de ne-negativitate (similar WVD).

2.2.5.Functia de incertitudine

O functie de o importanta cu totul particulara in analiza semnalelor radar este functia de incertitudine (sau functia de ambiguitate). Ceea ce ne intereseaza mai mult, in contextul analizei si clasificarii semnalelor de radiolocatie specifica razboiului electronic, este posibilitatea extragerii cat mai multor informatii despre semnale din reprezentarea AF, ca si relatiile dintre aceasta functie si celelalte reprezentari timp-frecventa, expuse la paragrafele anterioare.

Este cunoscuta definitia functiei de incertitudine:rel 26:

Aceasta functie, cunoscuta si sub denumirea de functia de ambiguitate Sussman simetrica, poate fi privita, intre altele, si ca o masura a corelatiei timp-frecventa a semnalului s,sau, altfel spus, a gradului de similitudine dintre semnal si replica sa deplasata in timp (intarziata) si in frecventa (deviata Doppler). Spre deosebire de variabilele 't' si 'f', care sunt coordonate 'absolute' timp-frecventa, variabilele 'τ' si 'ζ' sunt coordonate 'relative' (cunoscute sub numele de intarziere si deviatie Doppler).

Foarte important de subliniat este faptul ca functia de incertitudine este, de fapt,transformata Fourier bidimensionala a distributiei Wigner-Ville a semnalului:rel 28a:

Astfel. AF este duala WVD in sensul transformarii Fourier, facand astfel parte din clasalui Cohen. Aceasta face sa existe si o corespondenta intre proprietatile celor doua reprezentari.

3.Extragerea informatiei din reprezentarea timp-frecventa a unor

semnale de radiolocatie

3.1.Analiza timp-frecventa - instrument de evaluare a semnalelor din spatiul electronic de lupta

Prin procedeele de analiza unidimensionala si bidimensionala prezentate in anterior se realizeaza reprezentarea semnalelor stationare si nestationare in planul timp-frecventa. Importanta este insa si interpretarea acestor reprezentari, acestea reprezentand, de fapt, imagini care arata variatia in timp a tuturor componentelor spectrale ale semnalului. Chiar daca toate reprezentarile timp-frecventa au acelasi scop, fiecare dintre ele trebuie sa fie interpretata diferit, potrivit proprietatilor specifice ale fiecareia.

Astfel, unele dintre ele au termeni de interferenta de nivel relativ ridicat, altele, dimpotriva, izoleaza si reduc bine termenii de interferenta (de exemplu, functia de incertitudine), altele realizeaza o localizare cvasi-perfecta a unor tipuri particulare de semnale (de exemplu, distributia Wigner-Ville localizeaza foarte bine semnalele de tip chirp), iar altele

se comporta mai bine in cazul semnalelor insotite de zgomot (de exemplu, transformatapseudo Wigner-Ville netezita).

3.2.Interpretarea interferentelor din reprezentarile timp-frecventa

In orice reprezentare timp-frecventa apar termeni de interferenta. Acestia afecteaza negativ claritatea reprezentarii, dar au si o parte pozitiva, exprimat prin faptul ca ofera unele informatii despre semnalul analizat. Cunoasterea cat mai precisa a interferentelor este utila in interpretarea informatiilor continute de imaginea timp-frecventa.

Se va ilustra utilitatea interpretarii termenilor de interferenta prin evidentierea faptului ca acestia contin informatii utile despre faza semnalului.

Fie un semnal cu modulatie de faza cu codificare Barker de lungime 3.rel 29.

unde vectorul fazelor este: θk =

Fig.1.Semnal cu codificare Barker de lungime 3

Pentru analiza semnalului se va utiliza SPWVD

Fig.2.Transformata pseudo Wigner-Ville netezita a semnalului cu codificare Barker de lungime 3

Se poate constata ca momentele celor doua schimbari de faza din cadrul semnalului apar cu claritate: la momentul t1 = 40 si la momentul t2 = 87. Prima schimbare de faza este de π rad, iar a doua are o valoare de aprox. π/4 rad.

Se mai poate constata ca marimea schimbarilor in amplitudine si forma din reprezentarea timp-frecventa (in cazul considerat, pseudo Wigner-Ville netezita, SPWVD) este direct proportionala cu marimea absoluta a schimbarii din cadrul formei semnalului.

Aceasta caracteristica se poate folosi pentru a detecta si localiza o variatie de faza a semnalului.

3.3.Transformarea Wigner-Hough

Teoria analizei imaginilor ne ofera instrumente care se pot folosi pentru imbunatatirea interpretarii reprezentarilor timp-frecventa. Unul dintre aceste instrumente il reprezinta transformarea Hough.

Vom exemplifica prin considerarea transformarii Hough pentru o linie. Ecuatia parametrica in coordonate polare a unei linii este:

ρ = x ⋅ cosθ + y ⋅ sinθ

Pentru fiecare punct de imagine (x,y), tranformata Hough asociaza o sinusoida in planul (ρ,θ), amplitudinea fiecarui punct fiind egala cu intensitatea pixelului (x,y).

Astfel, se realizeaza integrarea de-a lungul liniilor imaginii I, iar valoarea fiecarei integrale este asociata punctului (ρ,θ).

Ca rezultat, daca intr-o imagine mai multi pixeli de intensitate mai mare sunt concentrati de-a lungul unei drepte, se va observa, in domeniul (ρ,θ) un varf ale carui coordonate sunt legate direct cu parametrii liniei.

Aplicand transformata Hough distributiei Wigner-Ville, se obtine o noua transformare, numita transformarea Wigner-Hough (WHT), a carei expresie este [B-17]:rel 30:

Ca test de detectie se foloseste compararea valorilor WHT cu un anumit prag, iar estimarea parametrilor necunoscuti f0 si β o reprezinta chiar valorile coordonatelor varfului detectat al reprezentarii.

Se va testa WHT cu ajutorul unui semnal chirp cu doua componente pe fondul zgomotului.

Forma semnalului, spectrul sau si spectrul Wigner-Ville asociat sunt prezentate in fig.3, iar transformata sa Wigner-Hough, in fig.4.

Fig.3.Semnal chirp cu doua componente pe fondul zgomotului: a)forma; b)spectrul; c)trensformata Wigner-Ville(reprezentare in plan); d)transformata Wigner-Ville(reprezentare 3D)

Se poate constata foarte buna separare, in spatiul parametrilor WHT, a componentelor semnalului; aceasta separare era, practic, invizibila in forma sau spectrul semnalului si foarte greu vizibila in reprezentarea sa Wigner-Ville.

Este, de asemenea de remarcat faptul ca, in toate cazurile, in ciuda caracterului neliniar al transformatei Wigner-Hough, toate componetele semnalelor analizate sunt bine separate, in planul parametrilor (ρ,θ), chiar si in cazul semnalelor complexe pe fondul zgomotelor.