MATERIALE FEROELECTRICE

Scopul lucrarii

Scopul acestei lucrari este determinarea dependentei de frecventa si temperatura a permitivitatii complexe relative si studiul efectului piezoelectric pentru materiale ceramice feroelectrice.

I. Introducere teoretica

Materialele cu polarizare spontana sunt materiale care se caracterizeaza prin existenta unui moment electric nenul al unitatii de volum in absenta unui camp electric exterior. Celula elementara a unui asemenea material prezinta moment dipolar spontan printr-unul din urmatoarele mecanisme:

polarizarea de deplasare a electronilor atomici;

polarizarea de deplasare a ionilor celulei elementare.

Vectorul polarizatie spontana se caracterizeaza prin simetria limita de tip ¥m care contine urmatoarele elemente de simetrie:

o axa de rotatie de ordinul ¥ care contine dreapta suport a vectorului Error! Not a valid link.

o infinitate de plane de oglindire care contin aceasta dreapta.

Pentru ca intr-un material sa existe polarizatie spontana este necesar ca simetria structurala a materialului sa constituie, conform principiului lui Neumann, un subgrup al clasei de simetrie limita ¥m; din cele 32 de clase de simetrie cristalina existente in natura, numai 10 indeplinesc aceasta conditie si anume: m mm 3m 4mm 6mm

Starea feroelectrica reprezinta o stare de ordine a materiei, rezultata spontan din tendinta catre stabilitate care corespunde unui minim al energiei libere totale a materialului. Din acest motiv temperatura influenteaza starea de polarizatie spontana prin efectul perturbator. In consecinta exista o temperatura limita, numita temperatura Curie T_C, la care agitatia termica distruge starea de ordine dielectrica, materialul pierzand polarizarea sa spontana.

Dupa modul in care are loc tranzitia de faza la temperatura Curie T_C materialele feroelectrice se impart in doua categorii:

materiale cu tranzitie de faza de ordinul I caracterizate prin anularea cu salt a polarizatiei spontane la T_C (Figura 1a

materiale cu tranzitie de faza de ordinul II caracterizate prin scaderea monotona si continua a polarizatiei spontane la T_C (Figura 1b

Structura materialelor feroelectrice poate fi monocristalina sau policristalina. Indiferent de structura cristalina se constata ca in aceste materiale ordinea dielectrica spontana se caracterizeaza prin formarea de domenii dielectrice in interiorul carora momentele electrice ale celulelor elementare sunt orientate in aceeasi directie si sens, dar diferite domenii pot avea orientari diferite. Drept rezultat polarizatia macroscopica prezentata de material este in general mai mica decat valoarea corespunzatoare orientarii homoparalel a tuturor momentelor dipolare elementare, putand fi si nula.

Figura 1. Materiale feroelectrice de speta I si II.

Principalele caracteristici ale materialelor feroelectrice sunt dependenta de tip histerezis a inductiei electrice de intensitatea campului electric aplicat si dependenta permitivitatii complexe relative de intensitatea campului electric, de frecventa si temperatura.

Materialele feroelectrice care prezinta la nivel macroscopic polarizatie remanenta nenula se caracterizeaza prin efect piezoelectric direct si invers, care consta in interactiunea dintre marimile electrice (intensitatea campului electric si inductia electrica ) si marimile mecanice (tensiunea mecanica si deformatia mecanica relativa ). In domeniul liniar, de semnal mic, in regim armonic (cand marimile cauza mecanice si electrice variaza sinusoidal in timp) efectul piezoelectric poate fi descris cantitativ prin urmatorul sistem de ecuatii:

[D]=e e^T][E]+[d][T] ₍₁₎

[S]=[d_t][E]+[s^E][T]

unde

[E] este reprezentarea in complex simplificat a vectorului camp electric;

[T] - reprezentarea in complex simplificat a tensorului tensiune mecanica;

[D] - reprezentarea in complex simplificat a vectorului inductie electrica;

[S] - reprezentarea in complex simplificat a tensorului deformatie elastica.

Factorii de proportionalitate sunt parametri de material.

Proprietatile elastice ale unui material anizotrop sunt, deci, descrise de un tensor de ordinul doi in spatiul hexadimensional avand 36 de componente:

₍₂₎

Primul indice reprezinta directia deformatiei elastice, iar cel de-al doilea directia deformatiei elastice relative.

Din relatia de definitie a coeficientului de complianta rezulta ca s_ij este in general o marime complexa, dat fiind faptul ca S_n nu este in faza cu T_m :

s_mn = s'_mn - js''_mn (3)

Componenta imaginara s''_mn caracterizeaza pierderile de putere activa de natura elastica datorate frecarilor interne ale materialului. Practic aceste pierderi sunt evaluate cu ajutorul factorului de calitate mecanic Q_m definit de relatia:

(4)

Proprietatile electrice ale materialelor anizotrope sunt caracterizate de coeficientul tensorial de permitivitate dielectrica absoluta care este un tensor de ordinul doi in spatiul tridimensional, avand 9 componente:

(5)

Primul indice reprezinta directia campului electric, iar al doilea indica directia inductiei electrice.

In general coeficientii e_ij sunt marimi complexe, deoarece inductia electrica D_i produsa de campul electric E_j este defazata fata de acesta datorita pierderilor de energie de natura dielectrica:

e_ij e'_ij - je''_ij (6)

Factorul de calitate electric Q_e care caracterizeaza acest tip de pierderi este definit cu ajutorul urmatoarei formule:

(7)

In sfarsit, coeficientul piezoelectric care caracterizeaza proprietatile piezoelectrice ale materialelor anizotrope contine 18 elemente si are urmatoarea configuratie matriceala:

(8)

Un parametru important care caracterizeaza sintetic materialele din punct de vedere piezoelectric este coeficientul de cuplaj piezoelectric K. Patratul sau reprezinta fractiunea din energia electrica, respectiv mecanica de excitare care se transforma in energie mecanica, respectiv electrica, fiind inmagazinata in traductorul piezoelectric.

Lucrarea de fata isi propune determinarea parametrilor de material caracteristici ceramicelor piezoelectrice de tip PZT care contin titanati si zirconati de plumb in diferite concentratii si se obtin prin sinterizare. Din punct de vedere al proprietatilor electroelastice, ceramicele de tip PZT prezinta o simetrie de tip ¥m, determinata de existenta unei axe polare pe directia x₃, fiind caracterizate de urmatoarele configuratii ale matricilor de material:

⁽⁹⁾

II. Metoda de masura

1. Determinarea dependentei de frecventa a permitivitatii complexe relative

Se utilizeaza plachete din material feroelectric ceramic de tip PZT (solutie solida de titanat-zirconat de plumb) de lungime l, latime a si grosime b, avand armaturile depuse pe suprafetele mari (a l). Schema electrica echivalenta a probei este compusa dintr-un condensator plan si un rezistor R₀ conform Figurii 2:

Figura 2. Schema echivalenta a unei probe de material ceramic de tip PZT.

Se masoara prin metoda Q-metrului prin metoda compensatiei la diferite frecvente folosind inductante auxiliare adecvate capacitatea si factorul de calitate Q_e ale probei la temperatura ambianta.

Se determina permitivitatea relativa reala e', permitivitatea relativa imaginara e'' si tangenta unghiului de pierderi tgd_e cu relatiile:

(10)

unde e este permitivitatea electrica absoluta a vidului:e 10^-12 F/m

2. Determinarea dependentei de temperatura a permitivitatii complexe relative

Se determina variatia cu temperatura a capacitatii si a conductantei G₀ = 1/R₀ cu ajutorul montajului din Figura 3.

Figura 3. Montajul folosit pentru determinarea dependentei de temperatura a permitivitatii.

Cuptorul (1) este incalzit cu o rezistenta (3) aflata in peretii cuptorului. Rezistenta de incalzire este alimentata de la retea prin intermediul unui autotransformator (6). Temperatura din interiorul cuptorului se determina cu ajutorul termometru (5). Cuptorul gliseaza pe sina astfel incat sa poata fi introdusa proba (2) care este fixata cu ajutorul a doua tije de ceramica refractara care apasa elastic asupra probei. Prin aceste tije trec doua fire de conexiune, fiecare fiind in contact cu cate o armatura a probei. Cele doua fire sunt conectate la o punte RLC care masoara elementele si G₀ ale probei.

Se determina variatia lui si R₀ in intervalul de temperaturi 20 C.

Se calculeaza parametrii de material cu urmatoarele relatii:

(11)

unde w este frecventa unghiulara a semnalului de lucru al puntii: w =10⁴ rad/s.

Temperatura Curie corespunde maximului curbei e'(T), reprezentand temperatura la care dispare ordinea dielectrica in material.

Conform teoriei fenomenologice a feroelectricitatii pentru materialele feroelectrice cu tranzitie de faza de ordinul II dependenta permitivitatii relative reale de temperatura este de tipul:

pentru T<T_C (12)

si

pentru T>T_C (13)

unde A₀ este o constanta fenomenologica.

Conform acestei teorii graficul arata ca in Figura 4, pantele celor doua drepte ale lui pentru T<T_C si T>T_C avand raportul:

(14)

Figura 4. Dependenta pentru materiale feroelectrice.

3. Determinarea parametrilor de material elastici si piezoelectrici

Metoda de determinare a proprietatilor materialelor piezoelectrice este o metoda dinamica de rezonanta. Ea se bazeaza pe faptul ca prin aplicarea unui camp electric sinusoidal de frecventa f punctele materiale ale unei probe piezoelectrice vor oscila elastic fortat cu aceeasi frecventa f. Amplitudinea oscilatiilor elastice este maxima daca nu exista forte elastice externe care sa le atenueze. Unda elastica determinata de oscilatiile elastice se propaga fie pe o directie paralela cu directia de oscilatie, in acest caz unda elastica numindu-se unda longitudinala, fie pe o directie perpendiculara, corespunzator obtinandu-se o unda elastica transversala.

Lungimea de unda l care caracterizeaza propagarea undei elastice este data de relatia:

unde v_f este viteza de propagare a undei elastice in materialul piezoelectric, iar f frecventa oscilatiei elastice.

In cazul cand dimensiunea probei pe directia de propagare a undei elastice este un multiplu al jumatatii lungimii de unda, in proba piezoelectrica se stabileste un regim de unda elastica stationara, determinand fenomenul de rezonanta elastica. In acest caz oscilatiile sunt maxime, singurul fenomen care limiteaza amplitudinea lor fiind frecarea interna. Deci, rezonatorul piezoelectric este un dispozitiv electronic care functioneaza la frecventa electrica corespunzatoare regimului de unda stationara. El este construit dintr-o structura de forma si dimensiuni oarecare, confectionata din material piezoelectric si doua armaturi metalice pe care aplicand o tensiune electrica de frecventa dorita se induce in structura un camp electric corespunzator de comanda care va genera oscilatii si unde elastice. Modul fundamental de vibratie la rezonanta este caracterizat de frecventa f_s data de urmatoarea relatie:

(15)

Indiferent de forma constructiva si tipul de material piezoelectric, schema electrica echivalenta, general valabila, a unui rezonator piezoelectric in regiunea rezonantei fundamentale este prezentata in Figura 5.

Figura 5. Schema echivalenta a unui rezonator piezoelectric.

Elementele din schema echivalenta au urmatoarele semnificatii:

este capacitatea electrica prezentata de rezonator daca se impiedica, printr-o metoda oarecare (de exemplu incastrare), oscilatia elastica;

R₀ este rezistenta echivalenta a pierderilor de putere activa de natura dielectrica;

reactanta L-C modeleaza electric rezonanta elastica; inductanta L este determinata de masa rezonatorului, iar C de coeficientul de elasticitate;

R este o rezistenta care atenueaza oscilatia electrica a circuitului serie L-C, fiind determinata de pierderile de putere activa de natura elastica, datorate vascozitatii interne a materialului piezoelectric.

Circuitul serie R-L-C este activ numai in apropierea rezonantei elastice, in orice alt domeniu de frecventa el fiind pasiv, prezentand o impedanta mult mai mare decat circuitul derivatie -R_e: pentru frecvente mult mai mici decat f_s impedanta mare este determinata de C, iar pentru frecvente superioare lui f_s impedanta mare este determinata de L. Dependenta admitantei de intrare a unui rezonator piezoelectric de frecventa electrica este caracterizata de un grup de sase frecvente cu urmatoarele semnificatii:

f_s - frecventa de rezonanta serie a circuitului L-C;

f_p - frecventa de rezonanta derivatie a circuitului (L-C)-

f_m - frecventa la care modulul admitantei este maxim;

f_n - frecventa la care modulul admitantei este minim;

f_r si f_a - frecventele la care susceptanta este nula.

In cazul rezonatoarelor piezoelectrice cu pierderi de natura dielectrica si elastica neglijabile cele trei perechi de frecvente coincid:

f_m = f_n = f_s

f_r = f_a = f_p

La rezonatoarele piezoelectrice realizate din materiale ceramice piezoelectrice cu coeficient de cuplaj piezoelectric mare si cu factori de calitate electrici si elastici de valori medii, desi aceste frecvente sunt foarte apropiate, nu mai pot fi neglijate pierderile elastice care separa frecventele f_s si f_p de f_n si f_m astfel:

(16)

unde Q_m este factorul de calitate elastic.

Diferenta intre aceste doua frecvente este mai mica de 1% daca este indeplinita conditia urmatoare:

(17)

Caracteristica de frecventa a modulului admitantei de intrare a unui rezonator piezoelectric ceramic este prezentata in Figura 6.

Figura 6. Caracteristica de frecventa a modulului admitantei de intrare a unui rezonator piezoelectric ceramic

Aceasta caracteristica poate fi obtinuta cu ajutorul montajului din Figura 7, unde:

O - generator sinusoidal de frecventa variabila;

F - frecventmetru numeric;

V - voltmetru numeric;

R_Z - rezonator piezoelectric;

Figura 7. Montaj experimental pentru determinarea caracteristicii de frecventa pentru un rezonator piezoelectric ceramic

Utilizand acest montaj tensiunea citita pe voltmetrul electronic este proportionala cu modulul admitantei rezonatorului piezoelectric.

Capacitatea electrica prezentata de rezonatorul piezoelectric la frecventa f<<f_s este , inductanta L contribuind cu o reactanta neglijabila.

Capacitatea electrica prezentata de rezonator la frecventa f>>f_s este. Indicele superior T exprima faptul ca la f<<f_s exista oscilatii elastice, iar tensiunile elastice sunt nule (T = 0), iar S exprima faptul ca la f>>f_s oscilatiile elastice sunt complet suprimate (S = 0), avand o situatie echivalenta cu incastrarea completa a rezonatorului. Acest fapt se explica prin inertia materialului datorita careia punctele materiale nu mai pot urmari comanda electrica la aceste frecvente.

Tinand seama de faptul ca rezonatoarele au o forma de disc cu raza a si grosimea b, conform Figurii 8, rezulta pentru coeficientii de permitivitate dielectrica absoluta si relativa urmatoarele expresii:

(18)

Figura 8. Forma de disc a rezonatorului

(19)

unde e este permitivitatea absoluta a vidului.

Elementele schemei echivalente se pot determina folosind urmatoarele relatii:

(20)

unde Q_e este factorul de calitate electric al rezonatorului determinat la o frecventa f₀<<f_m.

Rezonatoarele piezoelectrice ceramice sub forma de disc vibreaza sub actiunea unei tensiuni electrice aplicate pe armaturi (care genereaza campul electric E₃) pe cele doua directii principale ale sale:

de-a lungul razei discului, deci perpendicular pe axa x₃ si cu simetrie cilindrica;

de-a lungul axei x₃ (modul longitudinal).

Ambele moduri sunt caracterizate de un fenomen de rezonanta elastica, conform Figurii 6.

Fie si frecventele caracteristice modului de vibratie radial si modulul impedantei de intrare a rezonatorului la frecventa

Coeficientul de cuplaj piezoelectric planar caracteristic modului de vibratie radial K_P poate fi determinat din urmatoarea relatie:

(21)

Coeficientul de cuplaj transversal K₃₁ se obtine astfel:

(22)

unde s^E este coeficientul Poisson la camp electric constant.

Coeficientii de complianta pot fi determinati cu urmatoarele relatii:

(23)

unde r este densitatea materialului piezoelectric:

Coeficientii piezoelectrici corespunzatori modului de vibratie transversal rezulta din formulele urmatoare:

; (24)

Din caracteristica modului de vibratie longitudinal se obtin si . Coeficientul de cuplaj piezoelectric corespunzator K₃₃ se obtine astfel:

(25)

Cu aceste elemente se pot determina urmatoarele elemente ale tensorului de complianta:

rezulta din urmatoarea relatie:

unde:

(26)

Coeficientii piezoelectrici caracteristici modului de vibratie longitudinal au urmatoarele expresii:

Factorul de calitate elastic al rezonatorului piezoelectric poate fi determinat cu formula urmatoare:

(27)

III.    Desfasurarea lucrarii

1. Determinarea dependentei de frecventa a permitivitatii complexe relative.

Se foloseste o placheta de PZT cu grosimea b = 3 mm care se introduce intr-un dispozitiv de proba cu aria armaturilor A = 80 mm². Masuratorile se fac cu ajutorul Q-metrului. Pentru fiecare frecventa se foloseste o bobina auxiliara (vezi Tabelul 1) pentru a fi posibila realizarea acordului aparatului. Se executa doua determinari: prima - fara proba, notandu-se capacitatea de acord interna a Q-metrului C_v0 si factorul de calitate Q₀; a doua - utilizand proba din PZT, refacandu-se acordul si notandu-se C_v1 si Q₁. Se completeaza Tabelul 1 cu valorile masurate, iar apoi se calculeaza si Q_e folosind urmatoarele relatii:

= C_v0 - C_v1

Ultima sectiune a Tabelului 1 se completeaza folosind relatiile (10).

Tabelul 1

Se traseaza diagramele e'(f), e''(f), tgd_e(f) si diagrama Cole-Cole e e

2. Determinarea dependentei de temperatura a permitivitatii complexe relative.

Proba de material feroelectric are grosimea b=3 mm si aria armaturilor A=80 mm².

In prima faza se efectueaza o determinare la temperatura ambianta.

Se regleaza apoi autotransformatorul pe pozitia de 100 V astfel incat cuptorul sa-si modifice lent temperatura si se fac citiri din 5 C in 5 C pana la temperatura de 250 C (pana la o temperatura cu aproximativ 50 C mai mare decat T_C). La fiecare valoare a temperaturii se masoara si R₀. Valorile acestora se trec in Tabelul 2.

Tabelul 2

Se calculeaza e e' si tgd_e cu ajutorul relatiilor (10) si stiind ca factorul de calitate al probei este Q_e = w R₀, iar w este frecventa unghiulara de lucru a puntii de masura. Valorile calculate se trec in sectiunea a doua din Tabelul 2.

Se traseaza diagramele e'(T), e''(T) si tgd_e(T).

Se traseaza diagrama determinand T_C si pantele celor doua drepte. Se calculeaza raportul

Se calculeaza constanta A₀ la T₁ = T_C - 5 C si la T₂ = T_C + 5 C.

3. Determinarea parametrilor care caracterizeaza efectul piezoelectric

a) Se vor masura caracteristicile a doua rezonatoare:

un rezonator piezoelectric ceramic Philips confectionat din PZT 4 cu urmatorii parametri: a = 20 mm, l = 6 mm, r 10³ kg/m³, s^E

un rezonator piezoceramic confectionat in laborator din PZT 5 cu urmatorii parametri: a = 10 mm, l = 2 mm, r 10³ kg/m³, s^E = 0,2 , unde r este densitatea, iar s^E este coeficientul Poisson la camp electric constant.

b) Se masoara pentru fiecare rezonator , identica cu capacitatea rezonatoarelor piezoelectrice la frecvente mult mai mici decat frecventele de rezonanta elastica radiala si longitudinala. Se foloseste puntea RLC.

c)    Se determina caracteristica de frecventa "punct cu punct" corespunzatoare fiecarui mod de vibratie pentru fiecare rezonator. In acest scop se utilizeaza montajul existent (vezi Figura 7) la care se conecteaza succesiv rezonatoarele intre bornele mediane. Semnalul sinusoidal de intrare in montaj este dat de generator prin iesirea sinusoidala de 75 W si o amplitudine de 2 3 V, iar semnalul necesar frecventmetrului se ia de pe iesirea de 75 W (semnal dreptunghiular).

Rezonatorului 1 i se determina caracteristicile:

pentru modul radial fundamental in domeniul 40 - 85 KHz;

pentru modul longitudinal in domeniul 300 - 400 KHz;

iar rezonatorului 2:

pentru modul radial fundamental in domeniul 60 - 135 KHz;

pentru modul longitudinal in domeniul 0,9 - 1,1 MHz.

Pentru fiecare caz se completeaza sectiunea respectiva din Tabelul 3.

Indicatie Se vor determina mai intai frecventele f_m si f_n prin modificarea frecventei oscilatorului O (vezi Figura 7) pana cand indicatia voltmetrului V devine maxima, respectiv minima. Dupa aceea se mai aleg inca 5 frecvente dupa cum se vede in Tabelul 3, respectand domeniul de frecvente corespunzator modului respectiv.

Tabelul 3

d) Se inlocuiesc rezonatoarele piezoelectrice cu o cutie de rezistoare. Se fixeaza frecventa la valoarea f_m si se regleaza valoarea rezistentei pana se obtine aceeasi valoare de tensiune ca pentru rezonator. Se noteaza valoarea rezistentei (R_m) in Tabelul 3 pentru cele doua moduri de rezonanta (radial, longitudinal). Se determina astfel modulul minim al impedantei rezonatoarelor, aproximativ egal cu rezistenta de pierderi de putere elastica R:

Se vor calcula elementele schemei echivalente pentru cele doua moduri de vibratie ale fiecarui rezonator:

Pe baza Tabelului 3 se traseaza cele patru grafice U=f(f) pentru cele 4 moduri de vibratie ale rezonatoarelor.

Continutul referatului

Ø     scopul lucrarii;

Ø     Tabelul 1 impreuna cu relatiile da calcul folosite, precum si graficele de la punctul III.1.;

Ø     Tabelul 2 si relatiile de calcul folosite, impreuna cu graficele de la punctul III.2., impreuna cu calculul constantei A₀ si al raportului ;

Ø     Tabelul 3, cele 4 grafice de la punctul III.3., precum si calculul elementelor schemei echivalente pentru cele doua rezonatoare;

Ø     concluzii si comentarii.