Rezolvarea circuitelor cu surse comandate

Rezolvarea circuitelor cu surse comandate

Procedeele prezentate anterior pot fi folosite pentru rezolvarea circuitelor electrice cu surse comandate. Vom prezenta in continuare cateva exemple de rezolvare a circuitelor cu surse comandate pentru a sublinia atentia mai aparte pe care trebuie s-o avem atunci cand rezolvam astfel de circuite. Primele doua exemple vor prezenta posibilitatea de folosire a procedeului de transformare a surselor cat si a celor mai frecvente erori ce pot apare in aceste cazuri.

Exemplul 3

Sa se determine tensiunea u_x din circuitul din Fig. 2.15.7.

Solutie Sursa de tensiune electromotoare E conectata in serie cu rezistorul R poate fi transformata intr-o sursa de curent I = E/R₁ conectata in paralel cu rezistenta R₁, asa cum se arata in Fig. 2.15.7 b. In felul acesta circuitul s-a transformat intr-un circuit avand doar o singura pereche de noduri, metoda cea mai convenabila de rezolvare fiind metoda potentialelor nodale: de unde rezulta: ,

Pentru valorile numerice E = 10 V, R₁ = 2Ω, R₂ = 2Ω, γ = 3 se obtine u_x = -2.5V

Procedeul de transformare a surselor se poate aplica si pentru sursele comandate la fel ca in cazul surselor independente. Vom ilustra aceasta in Fig. 2.15.8. Este foarte important de retinut faptul ca variabila de control nu se asociaza cu rezistenta careia ii corespunde in latura de control ci cu latura de control. S-a transformat sursa de curent comandata in tensiune γ u_x conectata in paralel cu rezistorul R₂ in sursa de tensiune comandata in tensiune γ u_x R₂ conectata in serie cu rezistorul R₂. Se observa ca tensiunea de comanda u_x ramane, asa cum este corect, intre nodul a si nodul de jos si nu se transfera impreuna cu rezistenta R₂ la bornele careia era in circuitul dat din Fig. 2.15.6 a. Pentru rezolvarea circuitului din Fig. 2.15.8 a aplicam teorema a-II-a a lui Kirchhoff pentru circuitul din figura:

E - γ u_x R₂ = I (R₁ + R₂)

Aceasta ecuatie contine doua necunoscute I si u_x, asa ca vom mai aplica odata teorema a-II-a a lui Kirchhoff pe un ochi de circuit care trece prin tensiunea u_x:

E = I R₁ + u_x

Substituind pe u_x din a doua ecuatie u_x = E - I R₁ si inlocuind in prima rezulta succesiv:

E - γ R₂ (E - I R₁) = I (R₁ + R₂), E (1- γ R₂) = I (R₁ + R₂ - γ R₁ R₂)

De unde, valoarea curentului I rezulta:

iar tensiunea u_x = E - I R₁ = -2.5V, ca si mai inainte.

Circuitul din Fig. 2.15.7 a , reluat in Fig. 2.15.8. b se poate rezolva si cu ajutorul metodei teoremelor lui Kirchhoff. Aplicand teorema a II-a a lui Kirchhoff ochiului de circuit din aceasta figura, legea lui Ohm pentru rezistenta R₂ si teorema I a lui Kirchhoff nodului de sus se obtin ecuatiile: E = I₁ R₁ + I₂ R₂, u_x = I₂ R₂, γ u_x +I₁ = I₂

Cele trei ecuatii reprezinta un sistem de trei ecuatii cu trei necunoscute I₁, I₂ si u_x. Prin rezolvarea sistemului se obtin solutiile : u_x = -2.5V, I₁ = 6.25A, I₂ = -1.25.

βiz

Exemplul 4

Sa se determine intensitatea curentului i_x din circuitul din fig. 2.15.9a

Rezolvare In Fig. 2.15.9b se prezinta rezolvarea circuitului prin transformarea sursei de tensiune electromotoare E intr-o sursa de curent E/R₁. Este important de observat faptul ca variabila de control i_x nu urmeaza rezistorul R₁ in timpul transformarii sursei, deoarece curentul i_x este curentul care intra in nodul a. Deoarece circuitul din Fig. 2.15.9b este un circuit cu doua noduri vom aplica, pentru rezolvare, metoda potentialelor nodale:

Ecuatia scrisa are doua necunoscute, curentul i_x si potentialul V. Alte ecuatii rezulta scriind legea lui Ohm pentru rezistenta R₂ si teorema I a lui Kirchhoff in nodul de sus:

V = I₂ R₂, respectiv i_x + σ i_x = I₂

In felul acesta se poate inlocui in prima ecuatie V = i_x (1 + σ) R₂ si se obtine:

, de unde

Cu datele numerice E = 10V, R₁ = 1Ω, R₂ = 2Ω, σ = 2 se obtine A. Valorile celorlalte necunoscute din relatiile anterioare sunt I₂ = A, V = V.

Un alt procedeu de rezolvare este posibil folosind transformarea sursei de curent comandata in curent σ i_x intr-o sursa de tensiune electromotoare comandata in curent σ i_x R₂ asa cum se arata in Fig. 2.15.9c. Circuitul obtinut are un singur ochi, astfel ca prin aplicarea teoremei a II-a a lui Kirchhoff rezulta:

i_x (R₁ + R₂) = E - σ i_x R₂, de unde

In Fig. 2.15.9d se prezinta aplicarea metodei teoremelor lui Kirchhoff pentru rezolvarea problemei date. Aplicand teorema a II-a a lui Kirchhoff in ochiul de circuit continand sursa de tensiune electromotoare E si teorema I a lui Kirchhoff in nodul de sus rezulta:

E = i_x R₁ + I₂ R₂

i_x + σ i_x = I₂

Solutiile sistemului sunt:

, respectiv I₂ = i_x + σ i_x = ,

la fel ca mai sus.

Exemplul 5

Sa se determine intensitatea curentului I₂ din circuitul din Fig. 2.15.10a.

Solutie Pentru rezolvarea circuitului vom aplica metoda teoremelor lui Kirchhoff. Scriem teorema I a lui Kirchhoff pentru nodul de sus si teorema a II-a pentru ochiul de circuit continand sursa de tensiune electromotoare comandata in curent β i_x:

I = i_x + I₂

I₂ R₂ - i_x R₁ = β i_x

Substituind pe I₂ din prima ecuatie in a doua avem: I₂ = I - i_x

(I - i_x) R₂ - i_x R₁ = β i_x

de unde rezulta:

respectiv:

Cu datele numerice I = 5A, R₁ = 3Ω, R₂ =2Ω si β = 3 rezulta: i_x = , I₂ = .