SENZITIVITATEA LA VARIATII ÎN LIMITE LARGI ALE PARAMETRILOR

SENZITIVITATEA LA VARIATII ÎN LIMITE LARGI ALE PARAMETRILOR

Definitiile date mai sus ale senzitivitatilor se bazeaza pe variatii infinitezimale ale parametrilor. Aceste definitii se refera la senzitivitatile diferentiale care se disting net de senzitivitatile la schimbari in limite largi ale parametrilor. Studiul efectelor schimbarilor in limite largi ale parametrilor intr-un circuit liniar este o problema care difera esential de cazul senzitivitatilor diferentiale.

Definitia senzitivitatii normale pentru schimbari in limite largi ale unui parametru Dx este data de relatia:

unde DF = F(x + Dx) - F(x). Schimbarile parametrului Dx pot fi arbitrari de mari, pozitive sau negative in raport cu valoarea nominala x.

Senzitivitatea relativa poate fi definita in functie de noile valori x + Dx si F(x + Dx) = F + DF in locul valorilor nominale, dupa cum urmeaza

Aceasta definitie, care se va numii senzitivitatea relativa actualizata la schimbari in limite largi ale parametrilor, este importanta cand noua valoare actualizata x + Dx sau F + DF este mult mai potrivita sa fi considerata decat valoarea nominala x sau F.    Asa se intampla in procesele de imbatranire sau cand valoarea nominala dintr-un nou proiect trebuie sa fie actualizata.

Factorul de transfer (amplificare) in tensiune A_{23_13} al circuitului liniar din figura 2.5 are expresia

,

iar senzitivitatea diferentiala (conform formulei de definitie (2.5))este data de relatia

.

Considerand ca parametru variabil conductanta de sarcina G_s = x, senzitivitatea relativa pentru schimbari in limite largi ale parametrului G_s (DG_s) are, conform relatiei de definitie (2.79), are expresia:

,

iar, senzitivitatea relativa actualizata la schimbari in limite largi ale parametrului G_s este data (conform relatiei de definitie (2.80)) de relatia

.

Daca DG_s = 0, atunci cele trei senzitivitati sunt identice.

Pe baza teoremei biliniare se poate arata ca evaluarea senzitivitatilor diferentiale si a celor corespunzatoare variatiilor in limite largi ale parametrilor se poate efectua numai prin calcule ale functiilor de circuit. În cele ce urmeaza se va demonstra ca toate tipurile de senzitivitati se pot exprima ca functii explicite de fiecare parametru x al circuitului. Parcker et al. [1] au demonstrat ca orice functie de circuit F(x, s) poate fi exprimata, pentru o valoare data a lui s, cu relasia

unde x este impedanta operationala a laturii de interes si Z este impedanta operationala echivalenta Thévenin in raport cu bornele laturii considerate (de impedanta x, fig. 2.7), care este independenta de x, in timp ce si sunt valorile functiei de circuit F(x) la x = 0 si, respectiv x = . Evident, in locul impedantelor x si Z se pot considera admitantele x si Y, si expresia (2.81) devine

Relatia (2.81) a fost extinsa si la circuitele cu surse comandate. În acest caz fiecare sursa comandata se substituie cu o sursa independenta , astfel incat este o tensiune sau un curent, dupa cum este o tensiune, respectiv un curent, pastrand polaritatea tensiunii si sensul curentului. Apoi, se reduce sursa de excitatie la zero si se evalueaza tensiunea sau curentul de la bornele portii de comanda a sursei comandate in circuitul astfel obtinut. În consecinta, Z din relatia (2.81) are expresia Z = .

Fig. 2.7. Ilustrarea teoremei biliniare.

În cele ce urmeaza ne vom referi numai la relatia (2.81) si, pentru simplificarea prezentarii, vom nota cu F valoarea lui F(x) pentru valoarea nominala a lui x, F(0) cu F₀ si F(¥) cu F_¥. O schimbare arbitrara Dx a lui x va determina schimbarea DF a lui F. Utilizand relatia (1.81), se poate scrie

Din formula (2.81) rezulta:

Introducand ca parametru al circuitului raportul

Din relatiile (2.84) si (2.85) se poate deduce relatia x + Z = rx. Deci, ecuatia (2.83)     se poate rescrie astfel:

Introducand variabila parametru se poate obtine urmatoarea functie biliniara:

Daca valorile F, F₀ si F_¥ sunt bine calulte, atunci valoarea functiei poate fi calculata pentru orice schimbari arbitrare . Dupa cateva calcule simple, din relatia (2.86) se deduce

Prin urmare, derivata partiala a lui F la valoarea nominala x are expresia:

si senzitivitatea relativa diferentiala este data de relatia:

Deci, senzitivitatea diferentiala S(F, x) se poate exprima in functie de trei valori particulare ale functiei de circuit: F, F₀ si F_¥

Introducand variabila parametru in formula de definitie (2.79) a senzitivitatii corespunzatore schimbarilor in limite largi ale parametrilor si tinand seama de relatia (2.87) reyulta:

Ecuatia (2.90) arata legatura dintre senzitvitatea la schimbari in limite largi Dx si senyitivitatea diferentiala.

Pentru senzitivitatea actualizata la schimbari in limite largi ale parametrilor se poate deduce expresia:

Este interesant sa investigam senzitivitatea diferentiala la valoarea actualizata a parametrului x, x + Dx, cand Dx poate lua orice valoare arbitrara (poyitiva sau negativa). Notand y = x + Dx, din ecuasia (2.83) se poate deduce urmatoarea expresie:

unde Dy este o schimbare arbitrara a lui y. Dupa cateva calcule simple, se obtine

Prin urmare, senzitivitatea diferentiala in punctul (y, F(y)) este data de relatia

Combinand ecuatiile (2.87), (2.88) si (2.94), se obtine:

Evident, cand , S(F, y) se reduce la S(F, x). Ecuatia (2.95) permite evaluarea senzitivitatii diferentiale pentru valori arbitrare ale lui p si deci ale lui Dx, daca functia de circuit F(x) a fost calculata la valoarea nominala x, la x = 0 si x = ¥, nefiind necesara nicio diferentiere. Reprezentarile grafice ale senzitivitatilor diferentiale si a celor pentru variatii in limite largi ale parametrilor, in functie de , dau o interpretare clara in functionarea senzitivitatilor functiei de circuit.

Trebuie remarcat faptul ca functiile de circuit F₀ si F_¥ au semnificatii speciale, deoarece ele se refera la functionarea in gol si, respectiv in scurcircuit a elementului de circuit, in raport cu care se calculeaza senzitivitatile. Rezultatele prezentate mai sus sunt deosebit de utile in analiza defectelor, in special in investigarea efectelor produse de schimbarile in limite largi ale imitantei unei laturi, incluzand cazurile extreme de gol si scurtcircuit.

În general, marimile F, F₀ si F_¥ sunt marimi complexe, in timp ce p este real. Toate discutiile purtate mai sus s-au referit la o singura valoare a frecventei complexe s. Cu modificari corespunzatoare in expresiile date mai sus, rezultatele se pot fi extinse la schimbari ale unei admitante a unei laturi sau a unui parametru asociat unei surse comandate. Senzitivitatile diferentiale si a cele pentru variatii in limite largi ale parametrilor, in raport cu un parametru x al circuitului, pot fi, de asemenea exprimate in functie de polii si zerourile unei functii de circuit la valoarea nominala a lui x, la x = 0 si x = ¥. Expresiile simbolice, astfel obtinute, permit calculul caracteristicilor de frecventa ale senzitivitatii functiei de circuit.

BIBLIOGRAFIE

1. L. O. Chua, P. M. Lin, Computer-Aided Analysis of Electronic Circuits - Algorithms and Computational Techniques, Preutice-Hall, In., Englewood Cliffs, New Jersey, 1995.

2. A. E. Schwarz, Computer-aided design of microelectronic circuits and systems, Academic Press, London, 1987.

3. L. O. Chua, C. A. Desoer, E. S. Kuh, Linear and nonlinear circuits, McGraw-Hill, N., Y., 1987.

4. D. A. Calahan, Computer-aided network design, McGraw-Hill, N. Y., 1972.

5. S. Franco, Electric Circuits Fundamentals, Saunders College Publishing, San Diego, 1995.

6. H. J. Orchard, G. C. Temes, "Filter design using transformed variables", IEEE Trans. CT, 15, Dec. 1968, pp. 385-408.

7. M. Iordache, M. Perpelea, Analiza asistata de calculator a circuitelor electrice si electronice neliniare complexe de mari dimensiuni, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1995, ISBN 973 - 30 - 3175 - 5.

8. Lucia Dumitriu, M. Iordache, Teoria moderna a circuitelor electrice - Vol. I - Fundamentare teoretica, Aplicatii, Algoritmi si Programe de calcul, Editura All Educational S.A., Bucuresti 1998, ISBN 973 - 9337 - 99- 6 (508 pag.).

9. M. Iordache, Lucia Dumitriu, Teoria moderna a circuitelor electrice - Vol. II - Fundamentare teoretica, Aplicatii, Algoritmi si Programe de calcul, Editura All Educational S.A., Bucuresti 2000, ISBN 973 - 684 - 337- 8 (805 pag.).

10. M. Iordache, Lucia Dumitriu, Simularea asistata de calculator a circuitelor analogice, Editura POLITEHNICA Press, Bucuresti 2002, ISBN 973 - 85238 - 9 - 3 (450).

12. M. Iordache, Lucian Mandache, Analiza asistata de calculator a circuitelor analogice neliniare, Editura POLITEHNICA Press, Bucuresti 2004, ISBN 973 - 8449 - 36 - 7 (405 pag.).

12. Lucia Dumitriu, M. Iordache, Simularea numerica a circuitelor analogice cu programul SPICE, MATRIX ROM, Bucuresti, ISBN (10) 973 - 755 - 054 - 4, ISBN (13) 978 - 773 - 755 - 054 - 5 (133 pag.)

13. M. Iordache, Lucian Mandache, Mircea Perpelea, Analyse numèrique des circuits analogiques non linénaires, Groupe Genoyer, 13420 Gémenos - France, Marseille 2007, ISBN 973 - 85238 - 9 - 3 (368 pag.).

14. M. Iordache, Lucia Dumitriu, Teoria Circuitelor Electrice, Editura Matrix ROM, Bucuresti, 2007, ISBN:    979 - 973 - 755 - 174 - 0 (289 pag.) .

15. M. Iordache, Bazele Electrotehnicii, Editura Matrix ROM, Bucuresti, 2008, ISBN: 978 - 973 - 755 - 296 - 9, 622.3 (075.8) (281 pag.)

16. A. J. Goldstein, F. F. Kuo, "Multiparameter sensitivity", IER Trans. CT, 8, June 1961, pp. 177-178.

17. M. Iordache, Lucia Dumitriu, I. Matei, ASINOM - Analiza SImbolica bazata pe Metoda NOdala Modificata, Manual de utilizare, Catedra de Electrotehnica, U.P.B., Bucuresti, 1999.

18. T. Marian, SPICE, Editura Teora, Bucuresti, 1996.

19. St. Andrei, PSPICE - Analiza Asistata de Calculator a Circuitelor Electronice, Editura ICPE, Bucuresti, 1996.

20. A. Vladimirescu, SPICE, Editura tehnica, Bucuresti, 1999.

22. C. Volosencu, Analiza Circuitelor cu Programul SPICE, Editura Electronistul, Timisoara, 1994.

22. T.G. Engel, "SPLICE : An Analytical Network Analysis Software", IEEE Transactions on Education, Vol.39, no.3, aug.1996, pp.394-398.

23. P. Tuinega, SPICE: A Guide to Circuit Simulation and Analysis Using PSPICE, Prentice-Hall, N.Y., 1988.

25. M.Iordache, Lucia Dumitriu, PACER - Program de Analiza a Circuitelor Electronice Rezistive, Manual de utilizare, Biblioteca Catedrei de Electrotehnica, Universitatea "Politehnica" Bucuresti, 1988.

26. M. Iordache, 'Asupra metodei nodale modificate de analiza a circuitelor electrice; Partea I: Circuite electrice de c.c.', E.E.A.-Electrotehnica 40, nr.2, feb. 1992, p.29-33.

27. M. Iordache, M. Perpelea, 'Modified nodal analysis for large-scale piecewise-linear nonlinear electric circuits', Rev., Roum., Sci., Techn., Électrotechn. et Énerg., 37, nr. 4, 1992, p. 487-496.

28. M. Hasler, J. Neirynck, Circuits nonlinéaires, Press Polytechniques Romandes, Lausanne, 1985.

^{29. W. J., McCalla, Fundamentals of computer-aided circuit simulation, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1988.}