Sectiunea totala de producere de perechi electron-pozitron cu electronul creat in subpatura 2S

Sectiunea totala de producere de perechi electron-pozitron cu electronul creat in subpatura 2S.

Expresia sectiunii eficace de producere de perechi electron - positron poate fi obtinuta prin teorema optica daca este calculata partea imaginara a amplitudinilor de imprastiere elastica (Rayleigh) a fotonilor gamma pe electroni legati in atom.

Apare necesitatea de a calcula amplitudinea totala de imprastiere Rayleigh pe electronii subpaturii 2s si apoi a-i extrage partea imaginara pentru imprastierea inainte

Amplitudinile de imprastiere Rayleigh pe electronii subpaturii 2s au putut fi calculate prin utilizarea metodei functiei Green si a reprezentarii sale integrale pentru determinarea elementului de matrice S pentru imprastierea elastica a fotonilor pe electronii acestei subpaturi.

Dupa cum s-a aratat recent [1], abordarile anterioare pentru calculul elementului de matrice Kramers-Heisenberg-Waller (KHW) prezinta dificultati importante datorate prezentei diverselor singularitati dintre care cea mai importanta este chiar polul de la pragul de producere de perechi. In aceste conditii, includerea retardarii si a efectelor de multipol nu poate da rezultate corecte pentru amplitudinile de imprastiere, acestea fiind puternic supraestimate chiar si sub pragul de producere de perechi datorita influentei polului.

Un calcul correct al acestor amplitudini si implicit al sectiunilor eficace se poate face numai relativist, plecand de la ecuatia Dirac si utilizand expresia data de Hostler pentru functia Green a electronului in camp coulombian. Elementul de matrice S in ordinul doi al teoriei perturbatiilor implica sumarea dupa setul complet de stari intermediare (solutii ale ecuatiei Dirac cu camp coulombian), avand energiile corespunzand atat starilor de energie negative cat si pozitive si inlocuirea acestei sume prin functia Green pentru ecuatia Dirac, data de Hostler si Pratt [2,3]. In felul acesta se pot lua in considerare de la inceput toti termenii de cinematica relativista, dintre care unii vor compensa in mod exact unii termeni proveniti din retardare si care introduceau singularitati in elementele de matrice KHW. In consecinta, amplitudinile de imprastiere Rayleigh sunt obtinute in mod correct, in particular partea imaginara a amplitudinii de imprastiere inainte, care permite obtinerea partii imaginare a sectiunii eficace de generare de perechi.

Elementul de matrice S pentru imprastierea Rayleigh a unui foton de energie , impuls si polarizare pe un electron de polarizatie este data de expresia

(1)

unde

(2a)

(2b)

unde si sunt vectorii impuls si polarizare pentru fotonul final iar este polarizatia electronului in starea finala, iar este functia Green coulombiana a ecuatiei Dirac.

Notand energia starii 2s unde , avem si . Se observa ca este obtinut din prin schimbarea lui cu si pe cu precum si cu , si ambii au o structura rezonanta generand singularitati fizice. In special in cazul imprastierii Rayleigh starile intrmediare din continuu pentru care or au o contributie importanta la elementele de matrice si respective in cazul energiilor mari. De aceea, aceste stari intrmediare trebuiesc tratate relativistic deci ca solutii ale ecuatiei Dirac cu camp coulombian prin inlocuirea sumei respective prin functia Green coulombiana care in aproximatia Sommerfeld Maue este data de expresia [2 ]

(5)

unde satisface ecuatia de tip Schrodinger

(6)

cu

(7)

(8)

astfel incat are aceeasi expresie ca functia Green coulombiana nerelativista dar cu parametrii modificati in concordanta cu cinematica relativista.

Din ecuatiile (2) si (5) se obtine

(9)

Avand in vedere relatiile de anticomutare pentru matricele Dirac,

si ca este solutie a ecuatiei Dirac

rezulta

(10)

In acelasi mod se obtine:

(11)

astfel incat din ecuatia (2) rezulta:

(12)

where

(13)

(14)

(15)

Exact ca in cazul imprastierii Compton [1] este posibil de scris

si tinand cont ca , din ecuatia (13) rezulta

(16)

unde

(17)

este factorul de forma relativist (este evident ca nu se anuleaza numai daca ) cu , si

unde am omis si deoarece un produs de un numar impar de matrici Dirac nu aduc nici o contributie la integrala

In cazul imprastierii elastice, transferal de impuls este , iar factorul atomic este o marime reala.

Tot ca in cazul imprastierii Compton este posibi de neglijat iteratiile la termenul dominant al functiei Green, ceea ce simplifica considerabil expresiile (14) si (15).

La partea imaginara a amplitudinii de imprastiere Rayleigh contribuie numai amplitudinea si daca

Pentru verificarea validitatii rezultatelor s-au utilizat mai multe metode, pornindu-se de la putinele date din literature de specialitate. Astefel se cunosc rezultate pentru sectiuni eficace de imprastiere Rayleigh in patura K pana la energii de 5 MeV precum si sectiuni totale de effect fotoelectric pentriu patura K si sectiuni totale pe atom pentru effect fotoelectric pana la 10 MeV. Unele dintre aceste marimi sunt corelate prin teorema optica. Aceasta da relatia intre sectiunile eficace de efect fotoelectric si de productie de perechi si partea imaginara a amplitudinilor de imprastiere elastica (Rayleigh) a fotonilor pe electroni legati in atom, conform ecuatiilor:

(3.2)

(3.2)

Avand in vedere ca in literatura nu se gasesc date pentru imprastierea elastica pe subpatura 2S, s-a efectuat mai intai verificarea modelului folosit de noi prin calculul sectiunilor eficace pentru patura K, pentru care exista date in literature. Rezultatele noastre, indicate in tabelul 1, sunt intr-o concordanta excelenta cu calculele anterioare ale grupurilor de la Pittsburg si Livermore, erorile nedepasind 2% pentru un interval foarte larg de energii, de pana la 5000 keV, gama in care s-au putut gasi rezultate ale grupurilor mentionate. Calculele au fost efectuate pentru un element cu Z mare (Pb), tinand cont ca efectele relativiste sunt cu atat mai importante cu cat Z este mai mare. Buna concordanta obtinuta la acest Z asigura automat corectitudinea tratarii relativiste si pentru elementele cu Z intermediar sau mic.

Tabelul 1. Sectiunile eficace de efect fotoelectric si producere de perechi pe electroni legati in patura K pentru plumb.

Energia Sectiune Sectiune Raport

(keV) prod perechi fotoelectric sectiuni

0.0113701 509.907 44846.5

8.70731 17.0993 1.96378

Graficul din figura 1 arata o comportare monoton descrescatoare peste energii de cativa MeV si o tendinta de apropiere a celor doua curbe ale sectiunilor la energii inalte.

Sectiune eficace (cm²)

Energia fotonului

(eV)

Figura1. Variatia cu energia fotonului incident a sectiunilor eficace de efect fotoelectric si producere de perechi pe electroni legati in patura K in cazul plumbului

Aplicand acelasi procedeu si model fizic pentru subpatura 2S s-au obtinut rezultatele prezentate in tabelul 2 si figura 2.

Tabelul 2. Sectiunile eficace de efect fotoelectric si producere de perechi pe electroni legati in patura 2S pentru plumb.

Energia Sectiunea Sectiunea Raport

(keV) prod perechi efect fotoel sectiuni

0.0796897 0.203287 2.55098

Sectiunea eficace (cm²)

Energie foton

(eV)

Figura2. Variatia cu energia fotonului incident a sectiunilor eficace de efect fotoelectric si producere de perechi pe electroni legati in patura 2S in cazul plumbului

Se observa ca pentru subpatura 2S s-a obtinut un grafic cu aceeasi forma ca si in cazul paturii K, elementele considerate corecte in literatura fiind urmatoarele:

a)      Sectiunea eficace de producere de perechi electron-pozitron este intotdeauna mai mica decat cea de effect fotoelectric;

b)      Cand energia fotonului incident creste, diferenta intre aceste doua sectiuni eficace, ca si raportul lor, scade;

c)      Sectiunile eficace pentru patura 2s sunt mult mai mici decat cele omoloage pentru patura k. In calculele noastre, la plumb se observa o diferenta de aproape doua ordine de marime

Concluzii

Prin utilizarea reprezentarii integrale a functiei Green coulombiene relativiste, coroborat cu tehnicile de calcul pentru functiile inalt transcendente de tip Gauss si Appell s-auputut obtine expresii deosebit de simple dar extrem de precise pentru sectiunile a doua procese atomice fundamentale: efectul fotoelectric si fotogenerarea de perechi electro-pozitron cu electronul final intr-o stare legata. Avand in vedere simetria de crossing a electrodinamicii cuantice, rezulta imediat ca si sectiunea eficace totala a unui alt proces atomic fundamental si anume recombinarea radiativa directa (captura radiativa) se poate exprima simplu numai prin functii elementare.